{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża\nsię wzorem\nA.\n3\n3\n6\na\n\nB.\n3\n3\n8\na\n\nC.\n3\n3\n12\na\n\nD.\n3\n3\n24\na\n\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem A. (pierwiastek z 3 / 6) * pi * a^3, B. (pierwiastek z 3 / 8) * pi * a^3, C. (pierwiastek z 3 / 12) * pi * a^3, D. (pierwiastek z 3 / 24) * pi * a^3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza związki miarowe w bryłach\nobrotowych; na podstawie danych\nprzekroju osiowego stożka oblicza jego\nobjętość.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z trójkąta równobocznego\n\n**Co to jest przekrój osiowy stożka?**\nTo trójkąt powstały przez przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Ma on podstawę równą **średnicy** podstawy stożka i dwa boki równe **tworzącej** (linii bocznej) stożka.\n\n**Krok 1: Odczytaj wymiary stożka z trójkąta.**\n\nPrzekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), więc:\n- Podstawa trójkąta = średnica podstawy stożka: \\(2r = a\\), zatem\n\\[r = \\frac{a}{2}\\]\n- Boki boczne trójkąta = tworząca stożka: \\(l = a\\)\n\n**Krok 2: Wyznacz wysokość stożka.**\n\nTrójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n(wzór z karty CKE: trójkąt równoboczny)\n\nTa wysokość trójkąta = **wysokość stożka**, bo w przekroju osiowym oś stożka to właśnie wysokość trójkąta.\n\n**Krok 3: Oblicz objętość stożka.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}\\,a^3}{8} \\cdot \\pi\\]\n\n\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\,\\pi a^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa\n\nSprawdzamy, czy \\(r = \\frac{a}{2}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(l = a\\) pasują do siebie geometrycznie (trójkąt prostokątny: oś, promień, tworząca):\n\n\\[r^2 + h^2 = l^2\\]\n\\[\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{4} = \\frac{4a^2}{4} = a^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\nWymiary są spójne. Obliczamy objętość ponownie, tym razem grupując inaczej:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\pi a^3 \\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Trójkąt równoboczny:**\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia wysokości stożka z przekroju osiowego.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 28) - Objętość stożka:**\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nWzór podstawowy użyty w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji spójności wymiarów stożka.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Podstawienie \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\) - pomylono **promień** z **średnicą** (czyli bokiem trójkąta) |\n| **B** | Przyjęto \\(h = a\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - potraktowano bok trójkąta jako wysokość stożka, z pominięciem geometrii trójkąta równobocznego |\n| **C** | Podstawiono \\(r = \\frac{a}{2}\\), ale błędnie użyto \\(h = a\\) (tworząca zamiast prawdziwej wysokości), co daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\frac{a^2}{4}\\cdot a = \\frac{\\pi a^3}{12}\\), bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy stożka to **trójkąt**, którego **podstawa = średnica** (nie promień!) podstawy stożka. Bardzo łatwo pomylić \\(r = a\\) z \\(r = \\frac{a}{2}\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość stożka to wysokość **trójkąta równobocznego** - oblicz ją ze wzoru \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie zakładaj, że \\(h = a\\) (to byłaby tworząca, nie wysokość).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed podstawieniem do wzoru na objętość zawsze sprawdź, czy masz \\(r\\) (promień), nie \\(d\\) (średnicę). Jeden literówkowy błąd (\\(a^2\\) zamiast \\(\\frac{a^2}{4}\\)) zmienia wynik czterokrotnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i wysokości stożka\nPrzekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Bok podstawy przekroju (czyli średnica stożka) \\(= a\\), więc promień podstawy:\n\\[r = \\dfrac{a}{2}.\\]\nWysokość trójkąta równobocznego (czyli wysokość stożka):\n\\[H = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na objętość stożka\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{a^2}{4}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\pi a^3\\sqrt{3}}{24} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{6}\\pi a^3\\)** - błąd: pominięto czynnik \\(\\tfrac{1}{4}\\) z \\(r^2\\).\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{8}\\pi a^3\\)** - pominięto \\(\\tfrac{1}{3}\\) z wzoru na stożek.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{12}\\pi a^3\\)** - błąd liczbowy w ułamkach.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\); w trójkącie równobocznym \\(H = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 23. (1 pkt)
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża
się wzorem
A.
3
3
6
a

B.
3
3
8
a

C.
3
3
12
a

D.
3
3
24
a

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku a. Objętość tego stożka wyraża się wzorem A. (pierwiastek z 3 / 6) * pi * a^3, B. (pierwiastek z 3 / 8) * pi * a^3, C. (pierwiastek z 3 / 12) * pi * a^3, D. (pierwiastek z 3 / 24) * pi * a^3

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznacza związki miarowe w bryłach
obrotowych; na podstawie danych
przekroju osiowego stożka oblicza jego
objętość.
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^{3}\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów stożka z trójkąta równobocznego

\n

Co to jest przekrój osiowy stożka?
To trójkąt powstały przez przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Ma on podstawę równą średnicy podstawy stożka i dwa boki równe tworzącej (linii bocznej) stożka.

\n

Krok 1: Odczytaj wymiary stożka z trójkąta.

\n

Przekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), więc:

\n\n

\\[r = \\frac{a}{2}\\]

\n\n

Krok 2: Wyznacz wysokość stożka.

\n

Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
(wzór z karty CKE: trójkąt równoboczny)

\n

Ta wysokość trójkąta = wysokość stożka, bo w przekroju osiowym oś stożka to właśnie wysokość trójkąta.

\n

Krok 3: Oblicz objętość stożka.

\n

\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}\\,a^3}{8} \\cdot \\pi\\]

\n

\\[\\boxed{V = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\,\\pi a^3}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa

\n

Sprawdzamy, czy \\(r = \\frac{a}{2}\\), \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) i \\(l = a\\) pasują do siebie geometrycznie (trójkąt prostokątny: oś, promień, tworząca):

\n

\\[r^2 + h^2 = l^2\\]
\\[\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2}{4} + \\frac{3a^2}{4} = \\frac{4a^2}{4} = a^2 = l^2 \\checkmark\\]

\n

Wymiary są spójne. Obliczamy objętość ponownie, tym razem grupując inaczej:

\n

\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{a^2}{4} \\cdot \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\pi a^3 \\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Trójkąt równoboczny:
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia wysokości stożka z przekroju osiowego.

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 28) - Objętość stożka:
\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]
Wzór podstawowy użyty w obu sposobach.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji spójności wymiarów stożka.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Podstawienie \\(r = a\\) zamiast \\(r = \\frac{a}{2}\\) - pomylono promień z średnicą (czyli bokiem trójkąta) |
| B | Przyjęto \\(h = a\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) - potraktowano bok trójkąta jako wysokość stożka, z pominięciem geometrii trójkąta równobocznego |
| C | Podstawiono \\(r = \\frac{a}{2}\\), ale błędnie użyto \\(h = a\\) (tworząca zamiast prawdziwej wysokości), co daje \\(\\frac{1}{3}\\pi\\frac{a^2}{4}\\cdot a = \\frac{\\pi a^3}{12}\\), bez czynnika \\(\\sqrt{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa = średnica (nie promień!) podstawy stożka. Bardzo łatwo pomylić \\(r = a\\) z \\(r = \\frac{a}{2}\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego - oblicz ją ze wzoru \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie zakładaj, że \\(h = a\\) (to byłaby tworząca, nie wysokość).
\n
⚠️ Uwaga: Przed podstawieniem do wzoru na objętość zawsze sprawdź, czy masz \\(r\\) (promień), nie \\(d\\) (średnicę). Jeden literówkowy błąd (\\(a^2\\) zamiast \\(\\frac{a^2}{4}\\)) zmienia wynik czterokrotnie.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i wysokości stożka
\n

Przekrój osiowy to trójkąt równoboczny o boku \\(a\\). Bok podstawy przekroju (czyli średnica stożka) \\(= a\\), więc promień podstawy:
\\[r = \\dfrac{a}{2}.\\]
Wysokość trójkąta równobocznego (czyli wysokość stożka):
\\[H = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór na objętość stożka
\n

\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^2 H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}.\\]
\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{a^2}{4}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{\\pi a^3\\sqrt{3}}{24} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{24}\\pi a^3.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 H\\); w trójkącie równobocznym \\(H = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).

"}]}