{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nPewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników\nsą równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest\nrówna\nA. 3400 zł\nB. 3500 zł\nC. 6000 zł\nD. 7000 zł\nPewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa A. 3400, B. 3500, C. 6000, D. 7000","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOblicza medianę podanych danych\nliczbowych.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 3500 zł\n\n## Sposób 1 - Uszeregowanie i obliczenie mediany\n\n**Krok 1: Uszereguj wszystkie zarobki rosnąco.**\n\nMamy 6 osób. Zebranie wszystkich pensji:\n\n\\[2000, \\quad 2800, \\quad 3400, \\quad 3600, \\quad 4200, \\quad 8000\\]\n\nDane są już ułożone rosnąco - świetnie, nie trzeba nic przestawiać.\n\n**Krok 2: Wyznacz medianę dla parzystej liczby danych.**\n\nMamy \\(n = 6\\) wartości (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów** - czyli wyrazów na pozycji \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).\n\n\\[\n\\text{pozycja 3: } 3400, \\qquad \\text{pozycja 4: } 3600\n\\]\n\n**Krok 3: Oblicz średnią tych dwóch wartości.**\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{3400 + 3600}{2} = \\frac{7000}{2} = \\mathbf{3500 \\text{ zł}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie warunku definicyjnego mediany\n\nMediana to taka wartość, że **połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa**.\n\nDla \\(n = 6\\) dokładnie 3 wartości powinny być \\(\\leq \\text{mediany}\\) i 3 wartości \\(\\geq \\text{mediany}\\).\n\nSprawdzamy \\(m = 3500\\):\n\n| Zarobki | Relacja do 3500 zł |\n| 2000 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 2800 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 3400 | \\(< 3500\\) ✓ |\n| 3600 | \\(> 3500\\) ✓ |\n| 4200 | \\(> 3500\\) ✓ |\n| 8000 | \\(> 3500\\) ✓ |\n\nDokładnie 3 wartości poniżej i 3 powyżej - **warunek mediany spełniony**. Wynik potwierdzony: \\(\\mathbf{3500 \\text{ zł}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz uporządkowanego ciągu (dla nieparzystego \\(n\\)) lub **średnia dwóch środkowych wyrazów** (dla parzystego \\(n\\)).\n\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2} \\quad \\text{(dla parzystego } n\\text{)}\n\\]\n\nUżyliśmy tego wprost w Kroku 3 - \\(n = 6\\) (parzyste), więc bierzemy wyrazy 3. i 4.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\((3400 \\text{ zł})\\) | Wzięto sam 3. wyraz zamiast uśrednić wyrazy 3. i 4. - błąd przy parzystym \\(n\\) |\n| **C** \\((6000 \\text{ zł})\\) | Prawdopodobnie policzono **średnią arytmetyczną** \\(\\frac{2000+2800+3400+3600+4200+8000}{6} = \\frac{24000}{6} = 4000\\) i pomylono ją z medianą, albo wzięto inne liczby - tak czy inaczej mylenie mediany ze średnią |\n| **D** \\((7000 \\text{ zł})\\) | To wartość licznika \\(3400 + 3600 = 7000\\) - zapomniano podzielić przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana ≠ Średnia. Średnia arytmetyczna (tu \\(\\approx 4000\\) zł) jest \"ciągnięta w górę\" przez wysoką pensję dyrektora. Mediana jest odporna na wartości skrajne - dlatego lepiej opisuje \"typowe\" zarobki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediana to zawsze **średnia dwóch środkowych**, nigdy sam jeden wyraz. Przy **nieparzystej** - to dokładnie jeden środkowy wyraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw **uszereguj dane rosnąco** - dopiero potem licz pozycje środkowych wyrazów. Jeśli zapomnisz uszeregować, trafisz na zły wyraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany dla parzystej liczby danych\nUporządkujmy pensje niemalejąco:\n\\[2000,\\ 2800,\\ 3400,\\ 3600,\\ 4200,\\ 8000.\\]\nLiczba elementów: \\(n=6\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (3. i 4. wyrazu):\n\\[\\text{Me} = \\dfrac{3400 + 3600}{2} = \\dfrac{7000}{2} = 3500\\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nDwa środkowe wyrazy: \\(3400\\) (3. pozycja) i \\(3600\\) (4. pozycja). Średnia: \\(3500\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3400\\)** - wzięto tylko trzeci wyraz, pomijając średnią.\n- **C. \\(6000\\)** - to średnia dwóch wartości skrajnych (\\(4200, 8000\\)).\n- **D. \\(7000\\)** - suma dwóch środkowych, bez podziału przez \\(2\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(n\\) parzystego mediana \\(= \\tfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników
są równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest
równa
A. 3400 zł
B. 3500 zł
C. 6000 zł
D. 7000 zł
Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa A. 3400, B. 3500, C. 6000, D. 7000

","answer_text_html":"

Zadanie 24. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Oblicza medianę podanych danych
liczbowych.
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 3500 zł

\n

Sposób 1 - Uszeregowanie i obliczenie mediany

\n

Krok 1: Uszereguj wszystkie zarobki rosnąco.

\n

Mamy 6 osób. Zebranie wszystkich pensji:

\n

\\[2000, \\quad 2800, \\quad 3400, \\quad 3600, \\quad 4200, \\quad 8000\\]

\n

Dane są już ułożone rosnąco - świetnie, nie trzeba nic przestawiać.

\n

Krok 2: Wyznacz medianę dla parzystej liczby danych.

\n

Mamy \\(n = 6\\) wartości (liczba parzysta), więc mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów - czyli wyrazów na pozycji \\(\\frac{n}{2} = 3\\) oraz \\(\\frac{n}{2} + 1 = 4\\).

\n

\\[
\\text{pozycja 3: } 3400, \\qquad \\text{pozycja 4: } 3600
\\]

\n

Krok 3: Oblicz średnią tych dwóch wartości.

\n

\\[
\\text{Mediana} = \\frac{3400 + 3600}{2} = \\frac{7000}{2} = \\mathbf{3500 \\text{ zł}}
\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie warunku definicyjnego mediany

\n

Mediana to taka wartość, że połowa danych jest od niej mniejsza lub równa, a połowa większa lub równa.

\n

Dla \\(n = 6\\) dokładnie 3 wartości powinny być \\(\\leq \\text{mediany}\\) i 3 wartości \\(\\geq \\text{mediany}\\).

\n

Sprawdzamy \\(m = 3500\\):

\n

| Zarobki | Relacja do 3500 zł |
| 2000 | \\(< 3500\\) ✓ |
| 2800 | \\(< 3500\\) ✓ |
| 3400 | \\(< 3500\\) ✓ |
| 3600 | \\(> 3500\\) ✓ |
| 4200 | \\(> 3500\\) ✓ |
| 8000 | \\(> 3500\\) ✓ |

\n

Dokładnie 3 wartości poniżej i 3 powyżej - warunek mediany spełniony. Wynik potwierdzony: \\(\\mathbf{3500 \\text{ zł}}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja mediany:

\n
Mediana: środkowy wyraz uporządkowanego ciągu (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)).
\n

\\[
\\text{Mediana} = \\frac{a_{\\frac{n}{2}} + a_{\\frac{n}{2}+1}}{2} \\quad \\text{(dla parzystego } n\\text{)}
\\]

\n

Użyliśmy tego wprost w Kroku 3 - \\(n = 6\\) (parzyste), więc bierzemy wyrazy 3. i 4.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((3400 \\text{ zł})\\) | Wzięto sam 3. wyraz zamiast uśrednić wyrazy 3. i 4. - błąd przy parzystym \\(n\\) |
| C \\((6000 \\text{ zł})\\) | Prawdopodobnie policzono średnią arytmetyczną \\(\\frac{2000+2800+3400+3600+4200+8000}{6} = \\frac{24000}{6} = 4000\\) i pomylono ją z medianą, albo wzięto inne liczby - tak czy inaczej mylenie mediany ze średnią |
| D \\((7000 \\text{ zł})\\) | To wartość licznika \\(3400 + 3600 = 7000\\) - zapomniano podzielić przez 2 |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mediana ≠ Średnia. Średnia arytmetyczna (tu \\(\\approx 4000\\) zł) jest "ciągnięta w górę" przez wysoką pensję dyrektora. Mediana jest odporna na wartości skrajne - dlatego lepiej opisuje "typowe" zarobki.
\n
⚠️ Uwaga: Przy parzystej liczbie danych mediana to zawsze średnia dwóch środkowych, nigdy sam jeden wyraz. Przy nieparzystej - to dokładnie jeden środkowy wyraz.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw uszereguj dane rosnąco - dopiero potem licz pozycje środkowych wyrazów. Jeśli zapomnisz uszeregować, trafisz na zły wyraz.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Definicja mediany dla parzystej liczby danych
\n

Uporządkujmy pensje niemalejąco:
\\[2000,\\ 2800,\\ 3400,\\ 3600,\\ 4200,\\ 8000.\\]
Liczba elementów: \\(n=6\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (3. i 4. wyrazu):
\\[\\text{Me} = \\dfrac{3400 + 3600}{2} = \\dfrac{7000}{2} = 3500\\text{ zł}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja
\n

Dwa środkowe wyrazy: \\(3400\\) (3. pozycja) i \\(3600\\) (4. pozycja). Średnia: \\(3500\\) ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: dla \\(n\\) parzystego mediana \\(= \\tfrac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}\\).

"}]}