{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nZe zbioru \n\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech\np oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas\nA.\n1\n5\np \nB.\n1\n5\np \nC.\n1\n4\np \nD.\n1\n4\np \n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nZe zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas A. p < 1/5, B. p = 1/5, C. p = 1/4, D. p > 1/4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nStosuje definicję prawdopodobieństwa;\noblicza prawdopodobieństwo zdarzeń.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(p = \\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wypisanie i liczenie\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 15\\}\\) wybieramy jedną liczbę, więc:\n\\[|\\Omega| = 15\\]\n\n**Krok 2: Wypisujemy liczby podzielne przez 4 ze zbioru.**\n\nSzukamy liczb, dla których \\(4 \\mid n\\):\n\\[4, \\quad 8, \\quad 12\\]\n\nSprawdzamy: \\(16 > 15\\), więc \\(16\\) już nie wchodzi w grę. **Zdarzenie A = {4, 8, 12} ma 3 elementy.**\n\n**Krok 3: Liczymy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(p = \\dfrac{1}{5}\\), czyli odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie z sąsiednimi odpowiedziami\n\nSprawdzamy, czy \\(p = \\dfrac{1}{5}\\) jest dokładnie, a nie \"mniej niż\" lub \"więcej niż\".\n\n\\(\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{3}{15}\\) - czy \\(3\\) liczby podzielne przez 4 w zbiorze \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\) to dokładnie tyle? Tak:\n\n| Wielokrotność 4 | W zbiorze? |\n| \\(1 \\cdot 4 = 4\\) | ✓ |\n| \\(2 \\cdot 4 = 8\\) | ✓ |\n| \\(3 \\cdot 4 = 12\\) | ✓ |\n| \\(4 \\cdot 4 = 16\\) | ✗ (poza zbiorem) |\n\nWynik jest **dokładnie** \\(\\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}\\), nie przybliżeniem. Potwierdza to odpowiedź B - nie A ani C ani D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach: liczba sprzyjających wyników podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli podzielność przez 4 z podzielności przez 5 (podzielne przez 5: \\(\\{5,10,15\\}\\) → \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\)) albo liczy tylko jedną liczbę (np. tylko \\(4\\)) i wychodzi mu \\(\\frac{1}{15} < \\frac{1}{5}\\) |\n| C | Uczeń liczy \\(15 \\div 4 = 3{,}75\\) i zaokrągla do 4 elementów, przez co \\(p = \\frac{4}{15} \\approx 0{,}267 > \\frac{1}{4}\\), lub pamięta \"co 4 liczby jedna jest podzielna\" i wpisuje wprost \\(\\frac{1}{4}\\) bez sprawdzania |\n| D | Uczeń liczy 4 wielokrotności (wliczając 16 lub 0) albo stosuje intuicję \"\\(\\frac{1}{4}\\) liczb jest podzielna przez 4\" i stwierdza, że \\(p = \\frac{1}{4}\\), a potem wybiera D myśląc że wynik jest większy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \"na pamięć\" - zawsze wypisz wielokrotności i sprawdź, które mieszczą się w zbiorze. Tu \\(16\\) odpada, bo wykracza poza \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pokusa odpowiedzi C to \"reguła\" że co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc \\(p = \\frac{1}{4}\\). To prawda asymptotycznie, ale dla skończonego zbioru zawsze sprawdzaj konkretnie - tu zbiór nie jest wielokrotnością 4.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj ułamki do końca! \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\) - bez uproszczenia ciężko porównać z odpowiedziami podanymi jako \\(\\frac{1}{5}\\) czy \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZbiór ma \\(15\\) elementów (\\(|\\Omega| = 15\\)).\nLiczby podzielne przez \\(4\\) w tym zbiorze: \\(4, 8, 12\\). Jest ich \\(3\\).\n\\[p = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wypisanie\nZ zakresu \\(1-15\\) dzieli się przez \\(4\\): \\(4\\cdot 1 = 4\\), \\(4\\cdot 2 = 8\\), \\(4\\cdot 3 = 12\\). \\(4\\cdot 4 = 16 > 15\\). Zatem trzy liczby.\n\\[p = \\dfrac{3}{15} = 0{,}2 = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(p<\\tfrac{1}{5}\\)** - dokładnie \\(\\tfrac{1}{5}\\), nie mniej.\n- **C. \\(p=\\tfrac{1}{4}\\)** - \\(\\tfrac{3}{15} = \\tfrac{1}{5} \\ne \\tfrac{1}{4}\\).\n- **D. \\(p>\\tfrac{1}{4}\\)** - \\(\\tfrac{1}{5} < \\tfrac{1}{4}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(P(A) = \\tfrac{\\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\\text{liczba zdarzeń elementarnych}}\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Ze zbioru <br><br>1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech<br>p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas<br>A.<br>1<br>5<br>p <br>B.<br>1<br>5<br>p <br>C.<br>1<br>4<br>p <br>D.<br>1<br>4<br>p </p>\n<p>Poziom podstawowy<br>9<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>10<br>ZADANIA OTWARTE<br>Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach<br>pod treścią zadania.<br>Ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas A. p &lt; 1/5, B. p = 1/5, C. p = 1/4, D. p &gt; 1/4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Stosuje definicję prawdopodobieństwa;<br>oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń.<br>B<br>Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(p = \\dfrac{1}{5}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie wypisanie i liczenie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.</strong></p>\n<p>Ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, \\ldots, 15\\}\\) wybieramy jedną liczbę, więc:<br>\\[|\\Omega| = 15\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wypisujemy liczby podzielne przez 4 ze zbioru.</strong></p>\n<p>Szukamy liczb, dla których \\(4 \\mid n\\):<br>\\[4, \\quad 8, \\quad 12\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(16 &gt; 15\\), więc \\(16\\) już nie wchodzi w grę. <strong>Zdarzenie A = {4, 8, 12} ma 3 elementy.</strong></p>\n<p><strong>Krok 3: Liczymy prawdopodobieństwo.</strong></p>\n<p>\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(p = \\dfrac{1}{5}\\), czyli odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie z sąsiednimi odpowiedziami</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(p = \\dfrac{1}{5}\\) jest dokładnie, a nie &quot;mniej niż&quot; lub &quot;więcej niż&quot;.</p>\n<p>\\(\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{3}{15}\\) - czy \\(3\\) liczby podzielne przez 4 w zbiorze \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\) to dokładnie tyle? Tak:</p>\n<p>| Wielokrotność 4 | W zbiorze? |<br>| \\(1 \\cdot 4 = 4\\) | ✓ |<br>| \\(2 \\cdot 4 = 8\\) | ✓ |<br>| \\(3 \\cdot 4 = 12\\) | ✓ |<br>| \\(4 \\cdot 4 = 16\\) | ✗ (poza zbiorem) |</p>\n<p>Wynik jest <strong>dokładnie</strong> \\(\\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}\\), nie przybliżeniem. Potwierdza to odpowiedź B - nie A ani C ani D.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach: liczba sprzyjających wyników podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń myli podzielność przez 4 z podzielności przez 5 (podzielne przez 5: \\(\\{5,10,15\\}\\) → \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\)) albo liczy tylko jedną liczbę (np. tylko \\(4\\)) i wychodzi mu \\(\\frac{1}{15} &lt; \\frac{1}{5}\\) |<br>| C | Uczeń liczy \\(15 \\div 4 = 3{,}75\\) i zaokrągla do 4 elementów, przez co \\(p = \\frac{4}{15} \\approx 0{,}267 &gt; \\frac{1}{4}\\), lub pamięta &quot;co 4 liczby jedna jest podzielna&quot; i wpisuje wprost \\(\\frac{1}{4}\\) bez sprawdzania |<br>| D | Uczeń liczy 4 wielokrotności (wliczając 16 lub 0) albo stosuje intuicję &quot;\\(\\frac{1}{4}\\) liczb jest podzielna przez 4&quot; i stwierdza, że \\(p = \\frac{1}{4}\\), a potem wybiera D myśląc że wynik jest większy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie licz &quot;na pamięć&quot; - zawsze wypisz wielokrotności i sprawdź, które mieszczą się w zbiorze. Tu \\(16\\) odpada, bo wykracza poza \\(\\{1, \\ldots, 15\\}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pokusa odpowiedzi C to &quot;reguła&quot; że co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc \\(p = \\frac{1}{4}\\). To prawda asymptotycznie, ale dla skończonego zbioru zawsze sprawdzaj konkretnie - tu zbiór nie jest wielokrotnością 4.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upraszczaj ułamki do końca! \\(\\frac{3}{15} = \\frac{1}{5}\\) - bez uproszczenia ciężko porównać z odpowiedziami podanymi jako \\(\\frac{1}{5}\\) czy \\(\\frac{1}{4}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h5>\n<p>Zbiór ma \\(15\\) elementów (\\(|\\Omega| = 15\\)).<br>Liczby podzielne przez \\(4\\) w tym zbiorze: \\(4, 8, 12\\). Jest ich \\(3\\).<br>\\[p = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wypisanie</h5>\n<p>Z zakresu \\(1-15\\) dzieli się przez \\(4\\): \\(4\\cdot 1 = 4\\), \\(4\\cdot 2 = 8\\), \\(4\\cdot 3 = 12\\). \\(4\\cdot 4 = 16 &gt; 15\\). Zatem trzy liczby.<br>\\[p = \\dfrac{3}{15} = 0{,}2 = \\dfrac{1}{5}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(p&lt;\\tfrac{1}{5}\\)</strong> - dokładnie \\(\\tfrac{1}{5}\\), nie mniej.</li><li><strong>C. \\(p=\\tfrac{1}{4}\\)</strong> - \\(\\tfrac{3}{15} = \\tfrac{1}{5} \\ne \\tfrac{1}{4}\\).</li><li><strong>D. \\(p&gt;\\tfrac{1}{4}\\)</strong> - \\(\\tfrac{1}{5} &lt; \\tfrac{1}{4}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(P(A) = \\tfrac{\\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\\text{liczba zdarzeń elementarnych}}\\).</p>"}]}