{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n7\n0\nx\nx\n\n\n\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność x^2-8x+7 >= 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n8\n7\n0\nx\nx\n\n\n\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nprawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1\nx ,\n2\n7\nx \ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\nrozłoży trójmian kwadratowy\n2\n8\n7\nx\nx\n\n\nna czynniki liniowe i zapisze nierówność\n\n\n\n1\n7\n0\nx\nx\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\n\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność\nalbo\n\ndoprowadzi nierówność do postaci\n4\n3\n\n\nx\n(na przykład z postaci \n\n2\n4\n9\n0\n\n\n\nx\notrzymuje\n\n2\n4\n9\n\n\nx\n, a następnie\n4\n3\n\n\nx\n) i na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n\n\n\n,1\n7,\n\n\n\nalbo\n\n1\nx  lub\n7\nx \nalbo\n\n1\nx ,\n7\nx \nalbo\n\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.\nUwaga:\nW związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym\ni formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np.\n\n,1\nx\ni\n\n7,\nx\n.\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n7\nx \n,\n1\nx  i zapisze np.\n\n\n, 1\n7,\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n\n,7\n1,\n\n\n, to przyznajemy 2 punkty.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązuje nierówność kwadratową.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz wyróżnik.**\n\nMamy trójmian \\(f(x) = x^2 - 8x + 7\\), gdzie \\(a = 1,\\ b = -8,\\ c = 7\\).\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 7 = 64 - 28 = 36\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe.**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 + 6}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\n**Krok 3: Ustal postać iloczynową i znak funkcji.**\n\n\\[f(x) = 1 \\cdot (x - 1)(x - 7)\\]\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w górę** - funkcja jest:\n- ujemna dla \\(x \\in (1, 7)\\) - między miejscami zerowymi,\n- nieujemna (czyli \\(\\geq 0\\)) dla \\(x \\leq 1\\) lub \\(x \\geq 7\\).\n\n**Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\).**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle}\\]\n\nKońce przedziałów są **domknięte**, bo nierówność jest nieostro (\\(\\geq\\)).\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja \"na oko\" (rozkład na czynniki)\n\n**Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-8\\), a iloczyn \\(7\\).**\n\nWzory Viète'a mówią, że \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 8\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = 7\\).\n\nOd razu widać: \\(1 + 7 = 8\\) i \\(1 \\cdot 7 = 7\\), więc:\n\n\\[x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\\]\n\n**Analiza znaku iloczynu \\((x-1)(x-7) \\geq 0\\):**\n\nIloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy **oba mają ten sam znak**.\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 7\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(1 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 7\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:**\n\n\\[x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 7\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - pozwoliły znaleźć pierwiastki bez liczenia delty.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nKluczowa do analizy znaku w obu sposobach.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla nierówności \\(\\geq 0\\) (nieostrej) końce przedziału **należą** do rozwiązania - piszemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\). Dla ostrego \\(> 0\\) byłyby otwarte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z \\(a > 0\\) jest **powyżej osi** na zewnątrz pierwiastków, a **poniżej** między nimi - wielu uczniów myli kierunek i zapisuje odpowiedź jako \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\), co jest rozwiązaniem nierówności odwrotnej (\\(\\leq 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik to **suma dwóch przedziałów**, nie jeden - nie wolno zapisać \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) ani \\(1 \\leq x \\leq 7\\) jako odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x\\in(-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\), czyli \\(x\\le 1\\) lub \\(x\\ge 7\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki\nTrójmian \\(f(x) = x^2-8x+7\\), \\(a=1\\), \\(b=-8\\), \\(c=7\\).\n\\[\\Delta = b^2-4ac = 64-28 = 36.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{8-6}{2} = 1,\\qquad x_2 = \\dfrac{8+6}{2} = 7.\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian przyjmuje wartości nieujemne na zewnątrz (lub w) pierwiastków:\n\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]\n\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète'a)\nSzukamy \\(x_1, x_2\\) takich, że \\(x_1+x_2 = 8\\), \\(x_1 x_2 = 7\\). To \\(1\\) i \\(7\\).\n\\[x^2-8x+7 = (x-1)(x-7).\\]\nNierówność \\((x-1)(x-7)\\ge 0\\) zachodzi, gdy oba czynniki są nieujemne lub oba niedodatnie:\n\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie do wartości bezwzględnej (CKE)\nPrzekształcamy: \\(x^2-8x+7 = (x-4)^2 - 9\\).\n\\[(x-4)^2 - 9\\ge 0 \\iff (x-4)^2\\ge 9 \\iff |x-4|\\ge 3.\\]\nZatem \\(x-4\\ge 3\\) lub \\(x-4\\le -3\\), czyli \\(x\\ge 7\\) lub \\(x\\le 1\\).\n\n**Pamiętaj:** dla \\(a>0\\) \\(\\to\\) \\(f(x)\\ge 0\\) na zewnątrz pierwiastków; \\(f(x)\\le 0\\) między nimi.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
8
7
0
x
x



Odpowiedź:
Rozwiąż nierówność x^2-8x+7 >= 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
2
8
7
0
x
x



Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:

prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
1
x ,
2
7
x 
i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo

rozłoży trójmian kwadratowy
2
8
7
x
x


na czynniki liniowe i zapisze nierówność



1
7
0
x
x



i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo

popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność
albo

doprowadzi nierówność do postaci
4
3


x
(na przykład z postaci 

2
4
9
0



x
otrzymuje

2
4
9


x
, a następnie
4
3


x
) i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:



,1
7,



albo

1
x  lub
7
x 
albo

1
x ,
7
x 
albo

w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.
Uwaga:
W związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym
i formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np.

,1
x
i

7,
x
.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

7
x 
,
1
x  i zapisze np.


, 1
7,
x

, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
\n

nierówności w postaci

,7
1,


, to przyznajemy 2 punkty.
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązuje nierówność kwadratową.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe i analiza znaku paraboli

\n

Krok 1: Wyznacz wyróżnik.

\n

Mamy trójmian \\(f(x) = x^2 - 8x + 7\\), gdzie \\(a = 1,\\ b = -8,\\ c = 7\\).

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 7 = 64 - 28 = 36\\]

\n

Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe.

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 + 6}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]

\n

Krok 3: Ustal postać iloczynową i znak funkcji.

\n

\\[f(x) = 1 \\cdot (x - 1)(x - 7)\\]

\n

Ponieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami w górę - funkcja jest:

\n\n

Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności \\(f(x) \\geq 0\\).

\n

\\[\\boxed{x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle}\\]

\n

Końce przedziałów są domknięte, bo nierówność jest nieostro (\\(\\geq\\)).

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja "na oko" (rozkład na czynniki)

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-8\\), a iloczyn \\(7\\).

\n

Wzory Viète'a mówią, że \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 8\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = 7\\).

\n

Od razu widać: \\(1 + 7 = 8\\) i \\(1 \\cdot 7 = 7\\), więc:

\n

\\[x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\\]

\n

Analiza znaku iloczynu \\((x-1)(x-7) \\geq 0\\):

\n

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy oba mają ten sam znak.

\n

| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(x - 7\\) | Iloczyn |
| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(1 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 7\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Wynik:

\n

\\[x \\in \\langle -\\infty, 1 \\rangle \\cup \\langle 7, +\\infty \\rangle\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 7\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - pozwoliły znaleźć pierwiastki bez liczenia delty.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Kluczowa do analizy znaku w obu sposobach.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla nierówności \\(\\geq 0\\) (nieostrej) końce przedziału należą do rozwiązania - piszemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\). Dla ostrego \\(> 0\\) byłyby otwarte.
\n
⚠️ Uwaga: Parabola z \\(a > 0\\) jest powyżej osi na zewnątrz pierwiastków, a poniżej między nimi - wielu uczniów myli kierunek i zapisuje odpowiedź jako \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\), co jest rozwiązaniem nierówności odwrotnej (\\(\\leq 0\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik to suma dwóch przedziałów, nie jeden - nie wolno zapisać \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) ani \\(1 \\leq x \\leq 7\\) jako odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).
\n

Odpowiedź: \\(x\\in(-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\), czyli \\(x\\le 1\\) lub \\(x\\ge 7\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik i pierwiastki
\n

Trójmian \\(f(x) = x^2-8x+7\\), \\(a=1\\), \\(b=-8\\), \\(c=7\\).
\\[\\Delta = b^2-4ac = 64-28 = 36.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 6.\\]
\\[x_1 = \\dfrac{8-6}{2} = 1,\\qquad x_2 = \\dfrac{8+6}{2} = 7.\\]

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian przyjmuje wartości nieujemne na zewnątrz (lub w) pierwiastków:
\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]

\n

Zbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1\\rangle\\cup\\langle 7, +\\infty)\\).

\n
Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète'a)
\n

Szukamy \\(x_1, x_2\\) takich, że \\(x_1+x_2 = 8\\), \\(x_1 x_2 = 7\\). To \\(1\\) i \\(7\\).
\\[x^2-8x+7 = (x-1)(x-7).\\]
Nierówność \\((x-1)(x-7)\\ge 0\\) zachodzi, gdy oba czynniki są nieujemne lub oba niedodatnie:
\\[x\\le 1\\ \\text{lub}\\ x\\ge 7.\\]

\n
Sposób 3 - Przekształcenie do wartości bezwzględnej (CKE)
\n

Przekształcamy: \\(x^2-8x+7 = (x-4)^2 - 9\\).
\\[(x-4)^2 - 9\\ge 0 \\iff (x-4)^2\\ge 9 \\iff |x-4|\\ge 3.\\]
Zatem \\(x-4\\ge 3\\) lub \\(x-4\\le -3\\), czyli \\(x\\ge 7\\) lub \\(x\\le 1\\).

\n

Pamiętaj: dla \\(a>0\\) \\(\\to\\) \\(f(x)\\ge 0\\) na zewnątrz pierwiastków; \\(f(x)\\le 0\\) między nimi.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in (-\\\\infty, 1\\\\rangle \\\\cup \\\\langle 7, \\\\infty)$

"}]}