{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n9\n54\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-9x+54 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n9\n54\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzedstawi\nlewą\nstronę\nrównania\nw\npostaci\niloczynu\n\n\n\n2\n9\n6\nx\nx\n\n\nlub\n\n\n\n\n3\n3\n6\nx\nx\nx\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba\n3\n jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n3\nx \ni otrzyma \n\n2\n9\n18\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n3\nx \ni otrzyma \n\n2\n3\n18\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\nsprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian\n3\n2\n6\n9\n54\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n6\nx \ni otrzyma \n\n2\n9\nx \ni na tym poprzestanie lub\ndalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n3,\n3,\n6\nx\nx\nx\n\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\nZauważamy, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, które mają wspólny czynnik.\n\nZapisujemy równanie:\n\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0\\]\n\n**Grupujemy** dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy:\n\\[(x^3 - 6x^2) + (-9x + 54) = 0\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\\[x^2(x - 6) - 9(x - 6) = 0\\]\n\nTeraz \\((x - 6)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:\n\\[(x^2 - 9)(x - 6) = 0\\]\n\nRóżnica kwadratów: \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\), więc:\n\\[(x - 3)(x + 3)(x - 6) = 0\\]\n\nZ zasady: iloczyn równa się zero, gdy któryś czynnik = 0:\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\n\\[x - 6 = 0 \\implies x = 6\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)**\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego)\n\nJeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek całkowity, to musi on być **dzielnikiem wyrazu wolnego** (54).\n\nDzielniki liczby 54: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\)\n\nSprawdzamy \\(x = 3\\):\n\\[3^3 - 6 \\cdot 3^2 - 9 \\cdot 3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy wielomian przez \\((x - 3)\\) - schemat Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-9\\) | \\(54\\) |\n| \\(x=3\\) | \\(1\\) | \\(1 \\cdot 3 - 6 = -3\\) | \\(-3 \\cdot 3 - 9 = -18\\) | \\(-18 \\cdot 3 + 54 = 0\\) |\n\nWynik dzielenia: \\(x^2 - 3x - 18\\)\n\nRozwiązujemy \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\):\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-18) = 9 + 72 = 81\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{81}}{2} = \\frac{3 \\pm 9}{2}\\]\n\\[x_1 = \\frac{3 - 9}{2} = -3, \\qquad x_2 = \\frac{3 + 9}{2} = 6\\]\n\n**Odpowiedź potwierdzona: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 przy rozkładzie \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwiązania trójmianu \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu wyrazów upewnij się, że wyciągasz czynnik **ze znakiem** - łatwo pomylić: \\(-9x + 54 = -9(x - 6)\\), a nie \\(-9(x + 6)\\). Błąd znaku tutaj to najczęstsza wpadka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę kwadratów \\(x^2 - 9\\) uczniowie często zostawiają nierozłożoną i tracą dwa pierwiastki - pamiętaj, że \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) daje **dwa** rozwiązania, nie jedno!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Bézouta daje kandydatów na pierwiastki wymierne - ale musisz ich **sprawdzić** podstawiając. Nie każdy dzielnik wyrazu wolnego jest pierwiastkiem.\n\n**Odpowiedź:** \\(x=-3\\), \\(x=3\\), \\(x=6\\).\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy po parach:\n\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = x^2(x-6) - 9(x-6) = (x-6)(x^2-9).\\]\nKorzystamy z wzoru \\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3).\\]\nZatem\n\\[x^3-6x^2-9x+54 = (x-6)(x-3)(x+3).\\]\nRównanie \\((x-6)(x-3)(x+3) = 0\\) ma rozwiązania:\n\\[x = 6,\\quad x = 3,\\quad x = -3.\\]\n\n### Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych\nCałkowite pierwiastki dzielą wyraz wolny \\(54\\): kandydaci \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\).\nSprawdzamy \\(x = 3\\): \\(27 - 54 - 27 + 54 = 0\\) ✓\nPodzielmy wielomian przez \\((x-3)\\): \\(x^3-6x^2-9x+54 = (x-3)(x^2-3x-18)\\).\nPierwiastki \\(x^2-3x-18 = 0\\): \\(\\Delta = 9+72 = 81\\), \\(x = \\dfrac{3\\pm 9}{2}\\), czyli \\(x = 6\\) lub \\(x = -3\\).\nZatem \\(x\\in\\{-3, 3, 6\\}\\).\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja\nPodstawmy: \\(x = 3 \\Rightarrow 27-54-27+54 = 0\\) ✓; \\(x = -3 \\Rightarrow -27-54+27+54 = 0\\) ✓; \\(x = 6 \\Rightarrow 216-216-54+54 = 0\\) ✓.\n\n**Pamiętaj:** grupowanie wyrazów to szybka metoda dla 4-wyrazowych wielomianów.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
6
9
54
0
x
x
x




Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Rozwiąż równanie x^3-6x^2-9x+54 = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Rozwiąż równanie
3
2
6
9
54
0
x
x
x




Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
przedstawi
lewą
stronę
równania
w
postaci
iloczynu



2
9
6
x
x


lub




3
3
6
x
x
x



i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy
albo
sprawdzi, że liczba
3
 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian
3
2
6
9
54
x
x
x



przez dwumian 

3
x 
i otrzyma 

2
9
18
x
x


i na tym poprzestanie
lub dalej popełnia błędy
albo
sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian
3
2
6
9
54
x
x
x



przez dwumian 

3
x 
i otrzyma 

2
3
18
x
x


i na tym poprzestanie
lub dalej popełnia błędy
albo
sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian
3
2
6
9
54
x
x
x



przez dwumian 

6
x 
i otrzyma 

2
9
x 
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
3,
3,
6
x
x
x


","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 3\\) lub \\(x = 6\\)

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów

\n

Zauważamy, że wielomian można podzielić na dwie pary wyrazów, które mają wspólny czynnik.

\n

Zapisujemy równanie:
\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0\\]

\n

Grupujemy dwa pierwsze i dwa ostatnie wyrazy:
\\[(x^3 - 6x^2) + (-9x + 54) = 0\\]

\n

Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:
\\[x^2(x - 6) - 9(x - 6) = 0\\]

\n

Teraz \\((x - 6)\\) jest wspólnym czynnikiem obu składników:
\\[(x^2 - 9)(x - 6) = 0\\]

\n

Różnica kwadratów: \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\), więc:
\\[(x - 3)(x + 3)(x - 6) = 0\\]

\n

Z zasady: iloczyn równa się zero, gdy któryś czynnik = 0:
\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]
\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]
\\[x - 6 = 0 \\implies x = 6\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)

\n

Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego)

\n

Jeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek całkowity, to musi on być dzielnikiem wyrazu wolnego (54).

\n

Dzielniki liczby 54: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\)

\n

Sprawdzamy \\(x = 3\\):
\\[3^3 - 6 \\cdot 3^2 - 9 \\cdot 3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0 \\checkmark\\]

\n

Zatem \\((x - 3)\\) jest czynnikiem. Dzielimy wielomian przez \\((x - 3)\\) - schemat Hornera:

\n

| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-9\\) | \\(54\\) |
| \\(x=3\\) | \\(1\\) | \\(1 \\cdot 3 - 6 = -3\\) | \\(-3 \\cdot 3 - 9 = -18\\) | \\(-18 \\cdot 3 + 54 = 0\\) |

\n

Wynik dzielenia: \\(x^2 - 3x - 18\\)

\n

Rozwiązujemy \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\):
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-18) = 9 + 72 = 81\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{81}}{2} = \\frac{3 \\pm 9}{2}\\]
\\[x_1 = \\frac{3 - 9}{2} = -3, \\qquad x_2 = \\frac{3 + 9}{2} = 6\\]

\n

Odpowiedź potwierdzona: \\(x \\in \\{-3,\\ 3,\\ 6\\}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 przy rozkładzie \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzór na miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do rozwiązania trójmianu \\(x^2 - 3x - 18 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu wyrazów upewnij się, że wyciągasz czynnik ze znakiem - łatwo pomylić: \\(-9x + 54 = -9(x - 6)\\), a nie \\(-9(x + 6)\\). Błąd znaku tutaj to najczęstsza wpadka.
\n
⚠️ Uwaga: Różnicę kwadratów \\(x^2 - 9\\) uczniowie często zostawiają nierozłożoną i tracą dwa pierwiastki - pamiętaj, że \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) daje dwa rozwiązania, nie jedno!
\n
⚠️ Uwaga: Twierdzenie Bézouta daje kandydatów na pierwiastki wymierne - ale musisz ich sprawdzić podstawiając. Nie każdy dzielnik wyrazu wolnego jest pierwiastkiem.
\n

Odpowiedź: \\(x=-3\\), \\(x=3\\), \\(x=6\\).

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania
\n

Grupujemy po parach:
\\[x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = x^2(x-6) - 9(x-6) = (x-6)(x^2-9).\\]
Korzystamy z wzoru \\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\\):
\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3).\\]
Zatem
\\[x^3-6x^2-9x+54 = (x-6)(x-3)(x+3).\\]
Równanie \\((x-6)(x-3)(x+3) = 0\\) ma rozwiązania:
\\[x = 6,\\quad x = 3,\\quad x = -3.\\]

\n
Sposób 2 - Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
\n

Całkowite pierwiastki dzielą wyraz wolny \\(54\\): kandydaci \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 9, \\pm 18, \\pm 27, \\pm 54\\).
Sprawdzamy \\(x = 3\\): \\(27 - 54 - 27 + 54 = 0\\) ✓
Podzielmy wielomian przez \\((x-3)\\): \\(x^3-6x^2-9x+54 = (x-3)(x^2-3x-18)\\).
Pierwiastki \\(x^2-3x-18 = 0\\): \\(\\Delta = 9+72 = 81\\), \\(x = \\dfrac{3\\pm 9}{2}\\), czyli \\(x = 6\\) lub \\(x = -3\\).
Zatem \\(x\\in\\{-3, 3, 6\\}\\).

\n
Sposób 3 - Weryfikacja
\n

Podstawmy: \\(x = 3 \\Rightarrow 27-54-27+54 = 0\\) ✓; \\(x = -3 \\Rightarrow -27-54+27+54 = 0\\) ✓; \\(x = 6 \\Rightarrow 216-216-54+54 = 0\\) ✓.

\n

Pamiętaj: grupowanie wyrazów to szybka metoda dla 4-wyrazowych wielomianów.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\\\in \\\\{-3, 3, 6\\\\}$

"}]}