{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.\nOblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nOdpowiedź:\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.\nOblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy różnicę ciągu arytmetycznego (\n4\n\nr\n) i na tym poprzestanie lub błędnie\nwyznaczy\n6\nS\nalbo\nobliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie\nlub dalej popełnia błędy\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy\n6\nS .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy\n6\n78\nS \nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nRozwiązuje równanie wielomianowe.\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nUwaga:\nZdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:\nbłędnie zapisze związek między\n1\n4\n,\na\na i r, np.\n1\n4\n15\na\nr\n\n\ni konsekwentnie do tego błędu\nwyznaczy\n6\nS ,\nzacytuje odpowiednie wzory, np.\n4\n1\n3\na\na\nr\n\n\nlub\n1\n6\n2\n5\n6\n2\na\nr\nS\n\n\n i na tym poprzestanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_6 = 78\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie różnicy i wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego.**\n\nWiemy, że \\(a_1 = 3\\) oraz \\(a_4 = 15\\).\n\nZe wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[15 = 3 + 3r\\]\n\\[3r = 12\\]\n\\[r = 4\\]\n\n**Krok 2: Wypisz sześć pierwszych wyrazów.**\n\n\\[a_1 = 3, \\quad a_2 = 7, \\quad a_3 = 11, \\quad a_4 = 15, \\quad a_5 = 19, \\quad a_6 = 23\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_6\\) wzorem.**\n\n\\[a_6 = a_1 + 5r = 3 + 5 \\cdot 4 = 3 + 20 = 23\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj wzór na sumę \\(n\\) wyrazów.**\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_6 = \\frac{a_1 + a_6}{2} \\cdot 6 = \\frac{3 + 23}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór sumy przez \\(a_1\\) i \\(r\\)\n\nUżywamy drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\), \\(n = 6\\):\n\\[S_6 = \\frac{2 \\cdot 3 + (6-1) \\cdot 4}{2} \\cdot 6 = \\frac{6 + 20}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]\n\nWynik się zgadza - sprawdzenie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r = 4\\) oraz obliczenia \\(a_6 = 23\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 pierwszej (przez \\(a_1\\) i \\(a_n\\)), w Sposobie 2 drugiej (przez \\(a_1\\) i \\(r\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czwarty wyraz to \\(a_1 + \\mathbf{3}r\\), nie \\(a_1 + 4r\\). Indeks w ciągu arytmetycznym zaczyna się od \\(1\\), więc różnica pojawia się \\((n-1)\\) razy, a nie \\(n\\) razy. Pomylenie tego daje \\(r = 3\\) zamiast \\(r = 4\\) - najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) trzeba najpierw obliczyć \\(a_6\\). Wielu uczniów wstawia tam \\(a_4 = 15\\), bo „mamy je dane\" - to błąd, do wzoru wstawiamy ostatni sumowany wyraz, czyli \\(a_6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy zadanie pyta o sumę sześciu **początkowych** wyrazów (\\(S_6\\)), nie o szósty wyraz (\\(a_6 = 23\\)). To dwa różne pytania!\n\n**Odpowiedź:** \\(S_6 = 78\\).\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy i wzór na sumę\nZ wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r.\\]\n\\[15 = 3 + 3r \\implies 3r = 12 \\implies r = 4.\\]\n\nSzósty wyraz: \\(a_6 = a_1 + 5r = 3 + 20 = 23\\).\nSuma sześciu wyrazów:\n\\[S_6 = \\dfrac{a_1 + a_6}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{3+23}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]\n\n### Sposób 2 - Drugi wzór na sumę\n\\[S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 6\\), \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\):\n\\[S_6 = \\dfrac{2\\cdot 3 + 5\\cdot 4}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{6+20}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]\n\n### Sposób 3 - Wypisanie wyrazów\n\\(a_1=3,\\ a_2=7,\\ a_3=11,\\ a_4=15,\\ a_5=19,\\ a_6=23\\).\n\\(S_6 = 3+7+11+15+19+23 = 78\\) ✓\n\n**Pamiętaj:** \\(S_n = \\tfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}\\); najpierw wyznacz \\(r\\), potem \\(a_n\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ciagi","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź:
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15.
Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
obliczy różnicę ciągu arytmetycznego (
4

r
) i na tym poprzestanie lub błędnie
wyznaczy
6
S
albo
obliczy lub zapisze poprawnie jeden z pozostałych wyrazów ciągu i na tym poprzestanie
lub dalej popełnia błędy
albo
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy
6
S .
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy
6
78
S 
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Rozwiązuje równanie wielomianowe.
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Uwaga:
Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli:
błędnie zapisze związek między
1
4
,
a
a i r, np.
1
4
15
a
r


i konsekwentnie do tego błędu
wyznaczy
6
S ,
zacytuje odpowiednie wzory, np.
4
1
3
a
a
r


lub
1
6
2
5
6
2
a
r
S


 i na tym poprzestanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(S_6 = 78\\)

\n

Sposób 1 - wyznaczenie różnicy i wzór na sumę

\n

Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego.

\n

Wiemy, że \\(a_1 = 3\\) oraz \\(a_4 = 15\\).

\n

Ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Dla \\(n = 4\\):
\\[a_4 = a_1 + 3r\\]
\\[15 = 3 + 3r\\]
\\[3r = 12\\]
\\[r = 4\\]

\n

Krok 2: Wypisz sześć pierwszych wyrazów.

\n

\\[a_1 = 3, \\quad a_2 = 7, \\quad a_3 = 11, \\quad a_4 = 15, \\quad a_5 = 19, \\quad a_6 = 23\\]

\n

Krok 3: Oblicz \\(a_6\\) wzorem.

\n

\\[a_6 = a_1 + 5r = 3 + 5 \\cdot 4 = 3 + 20 = 23\\]

\n

Krok 4: Zastosuj wzór na sumę \\(n\\) wyrazów.

\n

\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
\\[S_6 = \\frac{a_1 + a_6}{2} \\cdot 6 = \\frac{3 + 23}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]

\n

Sposób 2 - wzór sumy przez \\(a_1\\) i \\(r\\)

\n

Używamy drugiej postaci wzoru na sumę:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Podstawiamy \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\), \\(n = 6\\):
\\[S_6 = \\frac{2 \\cdot 3 + (6-1) \\cdot 4}{2} \\cdot 6 = \\frac{6 + 20}{2} \\cdot 6 = \\frac{26}{2} \\cdot 6 = 13 \\cdot 6 = \\mathbf{78}\\]

\n

Wynik się zgadza - sprawdzenie poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r = 4\\) oraz obliczenia \\(a_6 = 23\\).

\n

Wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]
Użyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 pierwszej (przez \\(a_1\\) i \\(a_n\\)), w Sposobie 2 drugiej (przez \\(a_1\\) i \\(r\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Czwarty wyraz to \\(a_1 + \\mathbf{3}r\\), nie \\(a_1 + 4r\\). Indeks w ciągu arytmetycznym zaczyna się od \\(1\\), więc różnica pojawia się \\((n-1)\\) razy, a nie \\(n\\) razy. Pomylenie tego daje \\(r = 3\\) zamiast \\(r = 4\\) - najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Przy wzorze \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) trzeba najpierw obliczyć \\(a_6\\). Wielu uczniów wstawia tam \\(a_4 = 15\\), bo „mamy je dane" - to błąd, do wzoru wstawiamy ostatni sumowany wyraz, czyli \\(a_6\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy zadanie pyta o sumę sześciu początkowych wyrazów (\\(S_6\\)), nie o szósty wyraz (\\(a_6 = 23\\)). To dwa różne pytania!
\n

Odpowiedź: \\(S_6 = 78\\).

\n
Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy i wzór na sumę
\n

Z wzoru \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):
\\[a_4 = a_1 + 3r.\\]
\\[15 = 3 + 3r \\implies 3r = 12 \\implies r = 4.\\]

\n

Szósty wyraz: \\(a_6 = a_1 + 5r = 3 + 20 = 23\\).
Suma sześciu wyrazów:
\\[S_6 = \\dfrac{a_1 + a_6}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{3+23}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]

\n
Sposób 2 - Drugi wzór na sumę
\n

\\[S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2}\\cdot n.\\]
Dla \\(n = 6\\), \\(a_1 = 3\\), \\(r = 4\\):
\\[S_6 = \\dfrac{2\\cdot 3 + 5\\cdot 4}{2}\\cdot 6 = \\dfrac{6+20}{2}\\cdot 6 = 13\\cdot 6 = 78.\\]

\n
Sposób 3 - Wypisanie wyrazów
\n

\\(a_1=3,\\ a_2=7,\\ a_3=11,\\ a_4=15,\\ a_5=19,\\ a_6=23\\).
\\(S_6 = 3+7+11+15+19+23 = 78\\) ✓

\n

Pamiętaj: \\(S_n = \\tfrac{(a_1+a_n)\\cdot n}{2}\\); najpierw wyznacz \\(r\\), potem \\(a_n\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$S_{6}=78$

"}]}