{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n6\nAC\nBC\n\n\ni\n30\nACB \n\n\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.\nA\nB\nC\n30\nD\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n12\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i |kąt ACB| = 30 stopni (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są\n6\nAC\nBC\n\n\ni\n30\nACB \n\n\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.\nA\nB\nC\n30\nD\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależność, z której można obliczyć wysokość AD , np.:\nsin30\n6\nAD\n\nlub 1\n1\n6 6 sin30\n6\n2\n2\nAD\n\n\n\n.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC:\n3\nAD \nUwaga:\nJeśli zdający od razu zapisze, że\n3\nAD \n, to otrzymuje 2 punkty.\nUżycie i tworzenie strategii\nZnajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem trygonometrii.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(AD = 3\\)\n\n## Sposób 1 - trygonometria w trójkącie ACD\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt D leży na boku \\(BC\\), a \\(AD \\perp BC\\), więc trójkąt \\(ACD\\) jest **prostokątny** (kąt prosty przy D).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):\n- kąt przy wierzchołku \\(C\\) wynosi \\(\\angle ACD = 30°\\) (to ten sam kąt co \\(\\angle ACB\\))\n- przeciwprostokątna \\(|AC| = 6\\)\n- szukamy przyprostokątnej \\(AD\\) (naprzeciwko kąta 30°)\n\nKorzystamy z definicji sinusa:\n\\[\\sin(\\angle ACD) = \\frac{AD}{|AC|}\\]\n\\[\\sin 30° = \\frac{AD}{6}\\]\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{AD}{6}\\]\n\n**Stąd:**\n\\[AD = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{3}\\]\n\n## Sposób 2 - pole trójkąta (weryfikacja)\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(ABC\\) dwoma sposobami.**\n\n**Sposób przez wzór z sinusem** (znamy dwa boki i kąt między nimi):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB) = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]\n\n**Sposób przez podstawę i wysokość** (podstawa \\(BC = 6\\), wysokość \\(AD\\)):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot AD = 3 \\cdot AD\\]\n\n**Przyrównujemy oba wyrażenia:**\n\\[3 \\cdot AD = 9\\]\n\\[\\boxed{AD = 3}\\]\n\nWynik zgodny - wysokość \\(AD = 3\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\Rightarrow AD = |AC| \\cdot \\sin 30°\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość \\(\\sin 30°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** D leży na boku \\(BC\\), więc kąt \\(\\angle ACD\\) to **ten sam** kąt co \\(\\angle ACB = 30°\\) - nie trzeba liczyć żadnych dodatkowych kątów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, z którego wierzchołka jest opuszczona wysokość. \\(AD \\perp BC\\) oznacza, że **kąt prosty jest przy D**, nie przy A - więc to trójkąt ACD ma kąt prosty przy D, a nie \\(ADB\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości \\(AD\\) (na bok \\(BC\\)) z wysokością trójkąta opuszczoną z \\(C\\) na \\(AB\\) - to zupełnie inne odcinki! W tym zadaniu podstawą jest \\(BC = 6\\), a wysokość \\(AD = 3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|AD| = 3\\).\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ACD\\)\nWysokość \\(AD\\) opuszczona z \\(A\\) na bok \\(BC\\) tworzy trójkąt prostokątny \\(ACD\\) o kącie prostym w \\(D\\).\nKąt przy \\(C\\) ma miarę \\(30^\\circ\\), a przeciwprostokątna \\(|AC| = 6\\).\n\\[\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|AD|}{6}.\\]\n\\[|AD| = 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 6\\cdot\\dfrac{1}{2} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Pole trójkąta dwoma sposobami\nPole z sinusa kąta między bokami:\n\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BC|\\cdot\\sin(\\angle ACB) = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9.\\]\nPole z podstawy \\(BC\\) i wysokości \\(AD\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|BC|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot|AD| = 3|AD|.\\]\nPorównanie: \\(3|AD| = 9 \\implies |AD| = 3\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór 30-60-90\nW trójkącie prostokątnym z kątem \\(30^\\circ\\) stosunek boków to \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\). Przy przeciwprostokątnej \\(6\\) bok naprzeciw \\(30^\\circ\\) ma długość \\(\\tfrac{6}{2} = 3\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\sin 30^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\); wysokość w trójkącie ostrokątnym opuszcza się z wierzchołka na bok przeciwny.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są
6
AC
BC


i
30
ACB 


(zobacz rysunek).
Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
A
B
C
30
D
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
12
W trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i |kąt ACB| = 30 stopni (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są
6
AC
BC


i
30
ACB 


(zobacz rysunek).
Oblicz wysokość AD trójkąta opuszczoną z wierzchołka A na bok BC.
A
B
C
30
D
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze zależność, z której można obliczyć wysokość AD , np.:
sin30
6
AD

lub 1
1
6 6 sin30
6
2
2
AD



.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wysokość opuszczoną z wierzchołka A na bok BC:
3
AD 
Uwaga:
Jeśli zdający od razu zapisze, że
3
AD 
, to otrzymuje 2 punkty.
Użycie i tworzenie strategii
Znajduje związki miarowe w figurach płaskich
z zastosowaniem trygonometrii.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(AD = 3\\)

\n

Sposób 1 - trygonometria w trójkącie ACD

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Punkt D leży na boku \\(BC\\), a \\(AD \\perp BC\\), więc trójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny (kąt prosty przy D).

\n

W trójkącie prostokątnym \\(ACD\\):

\n\n

Korzystamy z definicji sinusa:
\\[\\sin(\\angle ACD) = \\frac{AD}{|AC|}\\]
\\[\\sin 30° = \\frac{AD}{6}\\]
\\[\\frac{1}{2} = \\frac{AD}{6}\\]

\n

Stąd:
\\[AD = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{3}\\]

\n

Sposób 2 - pole trójkąta (weryfikacja)

\n

Obliczamy pole trójkąta \\(ABC\\) dwoma sposobami.

\n

Sposób przez wzór z sinusem (znamy dwa boki i kąt między nimi):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB) = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin 30° = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot \\frac{1}{2} = 9\\]

\n

Sposób przez podstawę i wysokość (podstawa \\(BC = 6\\), wysokość \\(AD\\)):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot AD = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot AD = 3 \\cdot AD\\]

\n

Przyrównujemy oba wyrażenia:
\\[3 \\cdot AD = 9\\]
\\[\\boxed{AD = 3}\\]

\n

Wynik zgodny - wysokość \\(AD = 3\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\Rightarrow AD = |AC| \\cdot \\sin 30°\\]
Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - wartość \\(\\sin 30°\\):
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\):
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ACB)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: D leży na boku \\(BC\\), więc kąt \\(\\angle ACD\\) to ten sam kąt co \\(\\angle ACB = 30°\\) - nie trzeba liczyć żadnych dodatkowych kątów.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, z którego wierzchołka jest opuszczona wysokość. \\(AD \\perp BC\\) oznacza, że kąt prosty jest przy D, nie przy A - więc to trójkąt ACD ma kąt prosty przy D, a nie \\(ADB\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl wysokości \\(AD\\) (na bok \\(BC\\)) z wysokością trójkąta opuszczoną z \\(C\\) na \\(AB\\) - to zupełnie inne odcinki! W tym zadaniu podstawą jest \\(BC = 6\\), a wysokość \\(AD = 3\\).
\n

Odpowiedź: \\(|AD| = 3\\).

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ACD\\)
\n

Wysokość \\(AD\\) opuszczona z \\(A\\) na bok \\(BC\\) tworzy trójkąt prostokątny \\(ACD\\) o kącie prostym w \\(D\\).
Kąt przy \\(C\\) ma miarę \\(30^\\circ\\), a przeciwprostokątna \\(|AC| = 6\\).
\\[\\sin 30^\\circ = \\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|AD|}{6}.\\]
\\[|AD| = 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 6\\cdot\\dfrac{1}{2} = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Pole trójkąta dwoma sposobami
\n

Pole z sinusa kąta między bokami:
\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|BC|\\cdot\\sin(\\angle ACB) = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot 6\\cdot\\sin 30^\\circ = 18\\cdot\\dfrac{1}{2} = 9.\\]
Pole z podstawy \\(BC\\) i wysokości \\(AD\\):
\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot|BC|\\cdot|AD| = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\cdot|AD| = 3|AD|.\\]
Porównanie: \\(3|AD| = 9 \\implies |AD| = 3\\).

\n
Sposób 3 - Wzór 30-60-90
\n

W trójkącie prostokątnym z kątem \\(30^\\circ\\) stosunek boków to \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\). Przy przeciwprostokątnej \\(6\\) bok naprzeciw \\(30^\\circ\\) ma długość \\(\\tfrac{6}{2} = 3\\).

\n

Pamiętaj: \\(\\sin 30^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\); wysokość w trójkącie ostrokątnym opuszcza się z wierzchołka na bok przeciwny.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|AD|=3$

"}]}