{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n3\n3\nlog 27\nlog 1\n\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\nLiczba log_3 27 - log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nOblicza wartości logarytmu.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa **3**.\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu\n\nObliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji.\n\n**Krok 1:** Oblicz \\(\\log_3 27\\).\n\nPytamy: **do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 27?**\n\n\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]\n\n**Krok 2:** Oblicz \\(\\log_3 1\\).\n\nPytamy: **do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 1?**\n\n\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]\n\n**Krok 3:** Oblicz różnicę.\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - własność logarytmu ilorazu\n\nMożemy skorzystać z własności logarytmu różnicy:\n\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]\n\nTeraz obliczamy jeden logarytm:\n\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]\n\n(korzystamy z tego, że \\(\\log_3 3 = 1\\), bo \\(3^1 = 3\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej przy obliczaniu \\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\) (bo \\(3^0 = 1\\)).\n\nWłasność logarytmu ilorazu (Sposób 2):\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2: \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3(27 - 1) = \\log_3 26 \\approx 0\\)? Albo utożsamia logarytm z zerem, bo „log i log się odejmują\" - to błędne myślenie |\n| B (\\(1\\)) | Uczeń oblicza \\(\\log_3 27 = 3\\), ale potem myli \\(\\log_3 1 = 1\\) zamiast \\(0\\), bo myli \\(\\log_3 1\\) z \\(\\log_3 3\\) |\n| C (\\(2\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 27 = 2\\) (bo myśli: \"trzy razy po trzy to dziewięć, więc może dwa?\") albo liczy \\(27 = 3^2 \\cdot 3\\) i gubi jedynkę w wykładniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - dla dowolnej podstawy \\(a > 0, a \\neq 1\\) mamy \\(\\log_a 1 = 0\\), bo \\(a^0 = 1\\). Nie myl z \\(\\log_a a = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno odejmować argumentów logarytmów zamiast obliczać iloraz - \\(\\log 27 - \\log 1 \\neq \\log(27-1)\\). Reguła ilorazu mówi: różnica logarytmów = logarytm **ilorazu**, nie różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy potrafisz zapisać liczbę jako potęgę podstawy (\\(27 = 3^3\\)). To kluczowy krok przy obliczaniu logarytmów z liczb wymiernych.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie logarytmów\n\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3.\\]\n\\[\\log_3 1 = 0\\quad\\text{(logarytm z 1 przy dowolnej podstawie jest zerem).}\\]\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na różnicę logarytmów\n\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\dfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - ktoś wziął \\(\\log_3 27 = 0\\) zamiast \\(\\log_3 1 = 0\\).\n- **B. \\(1\\)** - błąd: \\(\\log_3 3 = 1\\), ale \\(27\\ne 3\\).\n- **C. \\(2\\)** - błąd: \\(\\log_3 9 = 2\\), ale \\(27\\ne 9\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej poprawnej podstawy \\(a\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>Liczba<br>3<br>3<br>log 27<br>log 1<br><br>jest równa<br>A. 0<br>B. 1<br>C. 2<br>D. 3<br>Liczba log_3 27 - log_3 1 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Oblicza wartości logarytmu.<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Liczba \\(\\log_3 27 - \\log_3 1\\) jest równa <strong>3</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie każdego logarytmu</h4>\n<p>Obliczamy każdy logarytm osobno, korzystając z definicji.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Oblicz \\(\\log_3 27\\).</p>\n<p>Pytamy: <strong>do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 27?</strong></p>\n<p>\\[3^? = 27 = 3^3 \\implies \\log_3 27 = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Oblicz \\(\\log_3 1\\).</p>\n<p>Pytamy: <strong>do jakiej potęgi podnieść 3, żeby otrzymać 1?</strong></p>\n<p>\\[3^? = 1 = 3^0 \\implies \\log_3 1 = 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Oblicz różnicę.</p>\n<p>\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - własność logarytmu ilorazu</h4>\n<p>Możemy skorzystać z własności logarytmu różnicy:</p>\n<p>\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\frac{27}{1} = \\log_3 27\\]</p>\n<p>Teraz obliczamy jeden logarytm:</p>\n<p>\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3 \\cdot 1 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p>(korzystamy z tego, że \\(\\log_3 3 = 1\\), bo \\(3^1 = 3\\))</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong></p>\n<p>Definicja logarytmu:<br>\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]<br>Użyliśmy jej przy obliczaniu \\(\\log_3 27 = 3\\) (bo \\(3^3 = 27\\)) i \\(\\log_3 1 = 0\\) (bo \\(3^0 = 1\\)).</p>\n<p>Własność logarytmu ilorazu (Sposób 2):<br>\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]</p>\n<p>Własność logarytmu potęgi:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2: \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3(27 - 1) = \\log_3 26 \\approx 0\\)? Albo utożsamia logarytm z zerem, bo „log i log się odejmują&quot; - to błędne myślenie |<br>| B (\\(1\\)) | Uczeń oblicza \\(\\log_3 27 = 3\\), ale potem myli \\(\\log_3 1 = 1\\) zamiast \\(0\\), bo myli \\(\\log_3 1\\) z \\(\\log_3 3\\) |<br>| C (\\(2\\)) | Uczeń myli \\(\\log_3 27 = 2\\) (bo myśli: &quot;trzy razy po trzy to dziewięć, więc może dwa?&quot;) albo liczy \\(27 = 3^2 \\cdot 3\\) i gubi jedynkę w wykładniku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log_3 1 = 0\\) zawsze - dla dowolnej podstawy \\(a &gt; 0, a \\neq 1\\) mamy \\(\\log_a 1 = 0\\), bo \\(a^0 = 1\\). Nie myl z \\(\\log_a a = 1\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno odejmować argumentów logarytmów zamiast obliczać iloraz - \\(\\log 27 - \\log 1 \\neq \\log(27-1)\\). Reguła ilorazu mówi: różnica logarytmów = logarytm <strong>ilorazu</strong>, nie różnicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź zawsze, czy potrafisz zapisać liczbę jako potęgę podstawy (\\(27 = 3^3\\)). To kluczowy krok przy obliczaniu logarytmów z liczb wymiernych.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie logarytmów</h5>\n<p>\\[\\log_3 27 = \\log_3 3^3 = 3.\\]<br>\\[\\log_3 1 = 0\\quad\\text{(logarytm z 1 przy dowolnej podstawie jest zerem).}\\]<br>\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = 3 - 0 = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór na różnicę logarytmów</h5>\n<p>\\[\\log_3 27 - \\log_3 1 = \\log_3 \\dfrac{27}{1} = \\log_3 27 = 3.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\)</strong> - ktoś wziął \\(\\log_3 27 = 0\\) zamiast \\(\\log_3 1 = 0\\).</li><li><strong>B. \\(1\\)</strong> - błąd: \\(\\log_3 3 = 1\\), ale \\(27\\ne 3\\).</li><li><strong>C. \\(2\\)</strong> - błąd: \\(\\log_3 9 = 2\\), ale \\(27\\ne 9\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(\\log_a 1 = 0\\) dla dowolnej poprawnej podstawy \\(a\\).</p>"}]}