{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że\n1\n2\nCE\nAC\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy\nwiększe od pola trójkąta DCE.\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\n13\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE| = 1/2 * |AC| (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że\n1\n2\nCE\nAC\n\n(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy\nwiększe od pola trójkąta DCE.\nRozwiązanie\nRysujemy wysokość\n1\nDD trójkąta ACD. Wysokość\n1\nDD jest również wysokością trójkąta\nDCE o podstawie CE.\n1\n1\n2\nDCE\nP\nCE\nDD\n\n\nPonieważ\n1\n2\nCE\nAC\n\n, więc\n1\n1 1\n1\n2 2\n2\nDCE\nACD\nP\nAC\nDD\nP\n\n\n\n\n\n2\n4\nABCD\nACD\nDCE\nP\nP\nP\n\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze związek między polem trójkąta ACD, a polem trójkąta DCE, np.:\n1\n2\nDCE\nACD\nP\nP\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wykaże, że\n4\nABCD\nDCE\nP\nP\n\nRozumowanie i argumentacja\nZnajduje związki miarowe w figurach płaskich;\nwykorzystuje związek między polami trójkątów o takiej\nsamej wysokości.\nA\nB\nC\nD\nE\nD1\nA\nB\nC\nD\nE\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte - uzasadnienie\n\nTo zadanie otwarte - nie ma opcji ABCD. Należy udowodnić, że \\(P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\).\n\n## Sposób 1 - przez porównanie trójkątów o wspólnym wierzchołku\n\n**Krok 1: Przekątna dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty.**\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok \\(ABCD\\) na dwa trójkąty: \\(\\triangle ABC\\) i \\(\\triangle ACD\\).\n\nW równoległoboku \\(\\triangle ABC \\cong \\triangle CDA\\) (mają równe boki i kąty - można to uzasadnić przystającością), więc:\n\\[P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2} P(ABCD)\\]\n\n**Krok 2: Porównanie trójkątów \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\).**\n\nTrójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) mają **wspólny wierzchołek \\(D\\)**. Ich podstawy \\(CA\\) i \\(CE\\) leżą na **tej samej prostej** (punkt \\(E\\) leży na przedłużeniu \\(AC\\) za punkt \\(C\\)).\n\nDla trójkątów o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej, stosunek pól równa się stosunkowi długości podstaw:\n\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{|CE|}{|CA|}\\]\n\nZ treści zadania: \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC|\\), więc:\n\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{\\frac{1}{2}|AC|}{|AC|} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Stąd wynika:**\n\\[P(\\triangle DCA) = 2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]\n\n**Krok 3: Złożenie obu równości.**\n\\[P(ABCD) = 2 \\cdot P(\\triangle ACD) = 2 \\cdot \\big(2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\big) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]\n\n**Pole równoległoboku \\(ABCD\\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \\(DCE\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - przez środek \\(O\\) przekątnych\n\n**Krok 1: Wprowadzamy punkt \\(O\\) - środek przekątnych.**\n\nW każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc \\(O\\) jest środkiem \\(AC\\):\n\\[|AO| = |OC| = \\frac{1}{2}|AC|\\]\n\n**Krok 2: Lokalizujemy punkt \\(E\\) względem \\(O\\).**\n\nSkoro \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC| = |OC|\\) oraz punkty \\(O, C, E\\) leżą na jednej prostej i \\(E\\) jest po tej samej stronie co \\(E\\) (za punktem \\(C\\)):\n\\[|OC| = |CE| \\implies C \\text{ jest środkiem odcinka } OE\\]\n\n**Krok 3: Pole \\(\\triangle DOC\\).**\n\nPrzekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach:\n\\[\\triangle AOB \\cong \\triangle COD \\cong \\triangle BOC \\cong \\triangle AOD\\]\n\\[P(\\triangle DOC) = \\frac{1}{4} P(ABCD)\\]\n\n**Krok 4: Pole \\(\\triangle DOE\\).**\n\nTrójkąty \\(\\triangle DOE\\) i \\(\\triangle DOC\\) mają wspólny wierzchołek \\(D\\) i podstawy \\(OE\\) i \\(OC\\) na tej samej prostej. Ponieważ \\(|OE| = 2|OC|\\):\n\\[P(\\triangle DOE) = 2 \\cdot P(\\triangle DOC) = 2 \\cdot \\frac{1}{4}P(ABCD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]\n\n**Krok 5: Pole \\(\\triangle DCE\\).**\n\nTrójkąt \\(\\triangle DCE\\) ma wierzchołek \\(D\\) i podstawę \\(CE\\) na tej samej prostej co \\(OE\\). Ponieważ \\(C\\) jest środkiem \\(OE\\), mamy \\(|CE| = \\frac{1}{2}|OE|\\):\n\\[P(\\triangle DCE) = \\frac{1}{2} \\cdot P(\\triangle DOE) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}P(ABCD) = \\frac{1}{4}P(ABCD)\\]\n\n**Zatem:**\n\\[P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE) \\quad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku i trójkąta:\n\\[P_{\\text{równoległobok}} = a \\cdot h, \\qquad P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]\nKluczowa własność: **trójkąty o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej** mają pola proporcjonalne do długości podstaw. Ta zasada wynika z definicji pola przez podstawę i wysokość (wysokość jest taka sama dla obu trójkątów).\n\nBezpośrednio z karty korzystamy też z faktu, że:\n\\[P(\\triangle ABC) = P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]\n- co wynika z symetrii przekątnej w równoległoboku.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba użycia wzorów współrzędnościowych bez uzasadnienia geometrycznego. W zadaniu uzasadnieniowym wymagane jest odwołanie do własności figur, nie tylko wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) **nie mają tej samej podstawy** \\(DC\\) - wspólnym elementem jest wierzchołek \\(D\\), a podstawy (\\(CA\\) i \\(CE\\)) leżą na tej samej prostej. To subtelna, ale ważna różnica w uzasadnieniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pisać tylko \"stosunek pól = stosunek podstaw\" bez uzasadnienia, że wysokości trójkątów są równe. W obu sposobach wysokość od \\(D\\) do prostej \\(ACE\\) jest **ta sama** - to kluczowy argument!\n\n**Odpowiedź:** \\(P_{ABCD} = 4\\cdot P_{DCE}\\). Dowód poniżej.\n\n### Sposób 1 - Porównanie trójkątów \\(ACD\\) i \\(DCE\\) po wspólnej wysokości\nPoprowadźmy z punktu \\(D\\) prostopadłą do prostej \\(AE\\) i oznaczmy spodek prostopadłej przez \\(D_1\\). Odcinek \\(DD_1\\) jest wysokością zarówno trójkąta \\(ACD\\) (o podstawie \\(AC\\)), jak i trójkąta \\(DCE\\) (o podstawie \\(CE\\)), ponieważ oba leżą na tej samej prostej \\(AE\\).\n\n\\[P_{ACD} = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1|,\\qquad P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}|CE|\\cdot|DD_1|.\\]\n\nZ warunku zadania \\(|CE| = \\dfrac{1}{2}|AC|\\), więc\n\\[P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1| = \\dfrac{1}{2}P_{ACD}.\\]\n\nPrzekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty \\(ABC\\) i \\(ACD\\), więc\n\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD}.\\]\n\nStąd\n\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 2\\cdot 2P_{DCE} = 4P_{DCE}.\\]\n\n### Sposób 2 - Skala i stosunki pól\nTrójkąty \\(ACD\\) i \\(ECD\\) mają wspólną wysokość z \\(D\\) do prostej \\(AE\\). Stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw: \\(\\dfrac{P_{ECD}}{P_{ACD}} = \\dfrac{|CE|}{|AC|} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nZatem \\(P_{ACD} = 2P_{DCE}\\), a \\(P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 4P_{DCE}\\). $\\blacksquare$\n\n**Pamiętaj:** dwa trójkąty o wspólnej wysokości mają pola w stosunku podstaw; przekątna równoległoboku dzieli go na dwie równe części.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że
1
2
CE
AC

(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy
większe od pola trójkąta DCE.
A
B
C
D
E

\n

Poziom podstawowy
13
Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE| = 1/2 * |AC| (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy większe od pola trójkąta DCE.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że
1
2
CE
AC

(zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest cztery razy
większe od pola trójkąta DCE.
Rozwiązanie
Rysujemy wysokość
1
DD trójkąta ACD. Wysokość
1
DD jest również wysokością trójkąta
DCE o podstawie CE.
1
1
2
DCE
P
CE
DD


Ponieważ
1
2
CE
AC

, więc
1
1 1
1
2 2
2
DCE
ACD
P
AC
DD
P





2
4
ABCD
ACD
DCE
P
P
P


Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze związek między polem trójkąta ACD, a polem trójkąta DCE, np.:
1
2
DCE
ACD
P
P

Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wykaże, że
4
ABCD
DCE
P
P

Rozumowanie i argumentacja
Znajduje związki miarowe w figurach płaskich;
wykorzystuje związek między polami trójkątów o takiej
samej wysokości.
A
B
C
D
E
D1
A
B
C
D
E
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte - uzasadnienie

\n

To zadanie otwarte - nie ma opcji ABCD. Należy udowodnić, że \\(P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\).

\n

Sposób 1 - przez porównanie trójkątów o wspólnym wierzchołku

\n

Krok 1: Przekątna dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty.

\n

Przekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok \\(ABCD\\) na dwa trójkąty: \\(\\triangle ABC\\) i \\(\\triangle ACD\\).

\n

W równoległoboku \\(\\triangle ABC \\cong \\triangle CDA\\) (mają równe boki i kąty - można to uzasadnić przystającością), więc:
\\[P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2} P(ABCD)\\]

\n

Krok 2: Porównanie trójkątów \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\).

\n

Trójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) mają wspólny wierzchołek \\(D\\). Ich podstawy \\(CA\\) i \\(CE\\) leżą na tej samej prostej (punkt \\(E\\) leży na przedłużeniu \\(AC\\) za punkt \\(C\\)).

\n

Dla trójkątów o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej, stosunek pól równa się stosunkowi długości podstaw:
\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{|CE|}{|CA|}\\]

\n

Z treści zadania: \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC|\\), więc:
\\[\\frac{P(\\triangle DCE)}{P(\\triangle DCA)} = \\frac{\\frac{1}{2}|AC|}{|AC|} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Stąd wynika:
\\[P(\\triangle DCA) = 2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]

\n

Krok 3: Złożenie obu równości.
\\[P(ABCD) = 2 \\cdot P(\\triangle ACD) = 2 \\cdot \\big(2 \\cdot P(\\triangle DCE)\\big) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE)\\]

\n

Pole równoległoboku \\(ABCD\\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \\(DCE\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - przez środek \\(O\\) przekątnych

\n

Krok 1: Wprowadzamy punkt \\(O\\) - środek przekątnych.

\n

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, więc \\(O\\) jest środkiem \\(AC\\):
\\[|AO| = |OC| = \\frac{1}{2}|AC|\\]

\n

Krok 2: Lokalizujemy punkt \\(E\\) względem \\(O\\).

\n

Skoro \\(|CE| = \\frac{1}{2}|AC| = |OC|\\) oraz punkty \\(O, C, E\\) leżą na jednej prostej i \\(E\\) jest po tej samej stronie co \\(E\\) (za punktem \\(C\\)):
\\[|OC| = |CE| \\implies C \\text{ jest środkiem odcinka } OE\\]

\n

Krok 3: Pole \\(\\triangle DOC\\).

\n

Przekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach:
\\[\\triangle AOB \\cong \\triangle COD \\cong \\triangle BOC \\cong \\triangle AOD\\]
\\[P(\\triangle DOC) = \\frac{1}{4} P(ABCD)\\]

\n

Krok 4: Pole \\(\\triangle DOE\\).

\n

Trójkąty \\(\\triangle DOE\\) i \\(\\triangle DOC\\) mają wspólny wierzchołek \\(D\\) i podstawy \\(OE\\) i \\(OC\\) na tej samej prostej. Ponieważ \\(|OE| = 2|OC|\\):
\\[P(\\triangle DOE) = 2 \\cdot P(\\triangle DOC) = 2 \\cdot \\frac{1}{4}P(ABCD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]

\n

Krok 5: Pole \\(\\triangle DCE\\).

\n

Trójkąt \\(\\triangle DCE\\) ma wierzchołek \\(D\\) i podstawę \\(CE\\) na tej samej prostej co \\(OE\\). Ponieważ \\(C\\) jest środkiem \\(OE\\), mamy \\(|CE| = \\frac{1}{2}|OE|\\):
\\[P(\\triangle DCE) = \\frac{1}{2} \\cdot P(\\triangle DOE) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2}P(ABCD) = \\frac{1}{4}P(ABCD)\\]

\n

Zatem:
\\[P(ABCD) = 4 \\cdot P(\\triangle DCE) \\quad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole równoległoboku i trójkąta:
\\[P_{\\text{równoległobok}} = a \\cdot h, \\qquad P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]
Kluczowa własność: trójkąty o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej mają pola proporcjonalne do długości podstaw. Ta zasada wynika z definicji pola przez podstawę i wysokość (wysokość jest taka sama dla obu trójkątów).

\n

Bezpośrednio z karty korzystamy też z faktu, że:
\\[P(\\triangle ABC) = P(\\triangle ACD) = \\frac{1}{2}P(ABCD)\\]

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to próba użycia wzorów współrzędnościowych bez uzasadnienia geometrycznego. W zadaniu uzasadnieniowym wymagane jest odwołanie do własności figur, nie tylko wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Trójkąty \\(\\triangle DCA\\) i \\(\\triangle DCE\\) nie mają tej samej podstawy \\(DC\\) - wspólnym elementem jest wierzchołek \\(D\\), a podstawy (\\(CA\\) i \\(CE\\)) leżą na tej samej prostej. To subtelna, ale ważna różnica w uzasadnieniu.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno pisać tylko "stosunek pól = stosunek podstaw" bez uzasadnienia, że wysokości trójkątów są równe. W obu sposobach wysokość od \\(D\\) do prostej \\(ACE\\) jest ta sama - to kluczowy argument!
\n

Odpowiedź: \\(P_{ABCD} = 4\\cdot P_{DCE}\\). Dowód poniżej.

\n
Sposób 1 - Porównanie trójkątów \\(ACD\\) i \\(DCE\\) po wspólnej wysokości
\n

Poprowadźmy z punktu \\(D\\) prostopadłą do prostej \\(AE\\) i oznaczmy spodek prostopadłej przez \\(D_1\\). Odcinek \\(DD_1\\) jest wysokością zarówno trójkąta \\(ACD\\) (o podstawie \\(AC\\)), jak i trójkąta \\(DCE\\) (o podstawie \\(CE\\)), ponieważ oba leżą na tej samej prostej \\(AE\\).

\n

\\[P_{ACD} = \\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1|,\\qquad P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}|CE|\\cdot|DD_1|.\\]

\n

Z warunku zadania \\(|CE| = \\dfrac{1}{2}|AC|\\), więc
\\[P_{DCE} = \\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{2}|AC|\\cdot|DD_1| = \\dfrac{1}{2}P_{ACD}.\\]

\n

Przekątna \\(AC\\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty \\(ABC\\) i \\(ACD\\), więc
\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD}.\\]

\n

Stąd
\\[P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 2\\cdot 2P_{DCE} = 4P_{DCE}.\\]

\n
Sposób 2 - Skala i stosunki pól
\n

Trójkąty \\(ACD\\) i \\(ECD\\) mają wspólną wysokość z \\(D\\) do prostej \\(AE\\). Stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw: \\(\\dfrac{P_{ECD}}{P_{ACD}} = \\dfrac{|CE|}{|AC|} = \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Zatem \\(P_{ACD} = 2P_{DCE}\\), a \\(P_{ABCD} = 2P_{ACD} = 4P_{DCE}\\). $\\blacksquare$

\n

Pamiętaj: dwa trójkąty o wspólnej wysokości mają pola w stosunku podstaw; przekątna równoległoboku dzieli go na dwie równe części.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}