{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nWykaż, że jeżeli\n0\nc \n, to trójmian kwadratowy\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\n ma dwa różne miejsca\nzerowe.\n\nPoziom podstawowy\n14\nWykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x^2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że jeżeli\n0\nc \n, to trójmian kwadratowy\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\n ma dwa różne miejsca\nzerowe.\nRozwiązanie\nZapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego:\n2\n4\n\n\nb\nc .\nPonieważ\n0\n\nc\nto\n4\n0\n\n\nc\n. Stąd  jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego,\nczyli jest dodatnia.\nA zatem trójmian\n2\ny\nx\nbx\nc\n\n\nma dwa różne miejsca zerowe.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.\nUwaga:\nJeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Wykazano - trójmian ma dwa różne miejsca zerowe\n\n(Zadanie otwarte - dowód. Wynik: \\(\\Delta > 0\\), co gwarantuje dwa różne pierwiastki.)\n\n## Sposób 1 - Analiza wyróżnika (bezpośredni dowód)\n\n**Cel:** pokazać, że \\(\\Delta > 0\\), bo wtedy trójmian kwadratowy ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.\n\nDany trójmian: \\(y = x^2 + bx + c\\), gdzie \\(a = 1\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot c = b^2 - 4c\\]\n\n**Krok 2.** Oszacowujemy każdy składnik:\n- \\(b^2 \\geq 0\\) - dla każdej liczby rzeczywistej \\(b\\), kwadrat jest nieujemny\n- Skoro \\(c < 0\\), to \\(-4c > 0\\) - minus razy ujemna liczba daje dodatnią\n\n**Krok 3.** Sumujemy:\n\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(-4c)}_{>\\, 0}\\]\n\nSuma liczby nieujemnej i liczby **ściśle dodatniej** jest **ściśle dodatnia**, zatem:\n\\[\\Delta > 0\\]\n\n**Krok 4.** Wniosek:\n\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian \\(y = x^2 + bx + c\\) ma **dwa różne miejsca zerowe**:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód przez wskazanie dwóch różnych pierwiastków\n\nZamiast liczyć \\(\\Delta\\), można wprost pokazać, że istnieją dwa różne \\(x\\) zerujące trójmian.\n\n**Krok 1.** Szukamy znaku wartości funkcji w kilku punktach.\n\nObliczamy \\(y(0)\\):\n\\[y(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c < 0\\]\n\nZatem \\(y(0) < 0\\) - parabola jest **poniżej osi \\(x\\)** w punkcie \\(x = 0\\).\n\n**Krok 2.** Sprawdzamy zachowanie dla dużych \\(|x|\\).\n\nPonieważ współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami ku górze**, więc:\n\\[\\lim_{x \\to +\\infty} y(x) = +\\infty \\quad \\text{i} \\quad \\lim_{x \\to -\\infty} y(x) = +\\infty\\]\n\n**Krok 3.** Stosujemy twierdzenie Darboux (o wartości pośredniej).\n\n- Na osi \\(x\\) istnieje punkt \\(x_0 > 0\\) taki, że \\(y(x_0) > 0\\). Ponieważ \\(y(0) < 0 < y(x_0)\\), z ciągłości funkcji wynika, że istnieje \\(x_1 \\in (0, x_0)\\) taki, że \\(y(x_1) = 0\\).\n- Analogicznie istnieje \\(x_{-} < 0\\) z \\(y(x_{-}) > 0\\), więc istnieje \\(x_2 \\in (x_{-}, 0)\\) taki, że \\(y(x_2) = 0\\).\n\nMamy \\(x_2 < 0 < x_1\\), więc \\(x_1 \\neq x_2\\) - **dwa różne miejsca zerowe**. \\(\\blacksquare\\)\n\n> **Uwaga:** Ten dowód jest elegancki, ale na maturze bezpieczniejszy i krótszy jest **Sposób 1** - wystarczy pokazać \\(\\Delta > 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nKryterium liczby miejsc zerowych: \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne miejsca zerowe.\n\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** jako głównego narzędzia dowodu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „wyróżnik jest dodatni\" - trzeba **uzasadnić**, dlaczego \\(\\Delta > 0\\). Kluczowy krok to: \\(c < 0 \\Rightarrow -4c > 0\\), a zatem \\(b^2 + (-4c) > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że \\(b^2 \\geq 0\\) to nie jest \\(b^2 > 0\\). Gdy \\(b = 0\\), mamy \\(\\Delta = -4c\\), co nadal jest dodatnie - dowód działa dla **każdego** \\(b \\in \\mathbb{R}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(c < 0\\) jest **wystarczający**, ale nie konieczny - trójmian może mieć dwa miejsca zerowe także dla \\(c > 0\\) (jeśli \\(\\Delta > 0\\) z innego powodu). Zadanie prosi jednak tylko o implikację w jedną stronę, więc to nie problem.\n\n**Odpowiedź:** Wykazujemy, że \\(\\Delta > 0\\), co oznacza istnienie dwóch różnych pierwiastków.\n\n### Sposób 1 - Analiza wyróżnika\nWyróżnik trójmianu \\(y = x^2+bx+c\\) (gdzie \\(a=1\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c.\\]\n\nZ założenia \\(c < 0\\), więc \\(-4c > 0\\). Natomiast \\(b^2 \\ge 0\\) dla dowolnego rzeczywistego \\(b\\).\n\nZatem\n\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}_{\\ge 0} + \\underbrace{(-4c)}_{>0} > 0.\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian ma **dwa różne** miejsca zerowe. $\\blacksquare$\n\n### Sposób 2 - Iloczyn pierwiastków (wzory Viète'a)\nZakładając, że istnieją pierwiastki \\(x_1, x_2\\), mamy\n\\[x_1\\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a} = c < 0.\\]\nIloczyn ujemny oznacza, że pierwiastki **muszą mieć różne znaki**, więc są różne. Dodatkowo, gdyby nie istniały (\\(\\Delta < 0\\)), nie można by mówić o iloczynie. Formalnie jednak wystarczy argument z \\(\\Delta\\).\n\n### Sposób 3 - Wartość trójmianu w zerze\nDla \\(x = 0\\): \\(y(0) = c < 0\\). Ponieważ parabola otwiera się do góry (\\(a=1>0\\)) i w pewnym punkcie przyjmuje wartość ujemną, to musi przeciąć oś \\(OX\\) w dwóch różnych punktach - czyli ma dwa różne miejsca zerowe.\n\n**Pamiętaj:** znak \\(\\Delta\\) decyduje o liczbie pierwiastków; \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne pierwiastki.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Wykaż, że jeżeli
0
c 
, to trójmian kwadratowy
2
y
x
bx
c


 ma dwa różne miejsca
zerowe.

\n

Poziom podstawowy
14
Wykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x^2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wykaż, że jeżeli
0
c 
, to trójmian kwadratowy
2
y
x
bx
c


 ma dwa różne miejsca
zerowe.
Rozwiązanie
Zapisujemy wyróżnik danego trójmianu kwadratowego:
2
4


b
c .
Ponieważ
0

c
to
4
0


c
. Stąd  jest sumą dwóch wyrażeń: nieujemnego i dodatniego,
czyli jest dodatnia.
A zatem trójmian
2
y
x
bx
c


ma dwa różne miejsca zerowe.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy uzasadni, że trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.
Uwaga:
Jeżeli zdający podstawi konkretną wartość w miejsce c, to otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Wykazano - trójmian ma dwa różne miejsca zerowe

\n

(Zadanie otwarte - dowód. Wynik: \\(\\Delta > 0\\), co gwarantuje dwa różne pierwiastki.)

\n

Sposób 1 - Analiza wyróżnika (bezpośredni dowód)

\n

Cel: pokazać, że \\(\\Delta > 0\\), bo wtedy trójmian kwadratowy ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.

\n

Dany trójmian: \\(y = x^2 + bx + c\\), gdzie \\(a = 1\\).

\n

Krok 1. Wyznaczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot c = b^2 - 4c\\]

\n

Krok 2. Oszacowujemy każdy składnik:

\n\n

Krok 3. Sumujemy:
\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}{\\geq\\, 0} + \\underbrace{(-4c)}{>\\, 0}\\]

\n

Suma liczby nieujemnej i liczby ściśle dodatniej jest ściśle dodatnia, zatem:
\\[\\Delta > 0\\]

\n

Krok 4. Wniosek:

\n

Ponieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian \\(y = x^2 + bx + c\\) ma dwa różne miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2}\\]

\n

Co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Dowód przez wskazanie dwóch różnych pierwiastków

\n

Zamiast liczyć \\(\\Delta\\), można wprost pokazać, że istnieją dwa różne \\(x\\) zerujące trójmian.

\n

Krok 1. Szukamy znaku wartości funkcji w kilku punktach.

\n

Obliczamy \\(y(0)\\):
\\[y(0) = 0^2 + b \\cdot 0 + c = c < 0\\]

\n

Zatem \\(y(0) < 0\\) - parabola jest poniżej osi \\(x\\) w punkcie \\(x = 0\\).

\n

Krok 2. Sprawdzamy zachowanie dla dużych \\(|x|\\).

\n

Ponieważ współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze, więc:
\\[\\lim_{x \\to +\\infty} y(x) = +\\infty \\quad \\text{i} \\quad \\lim_{x \\to -\\infty} y(x) = +\\infty\\]

\n

Krok 3. Stosujemy twierdzenie Darboux (o wartości pośredniej).

\n\n

Mamy \\(x_2 < 0 < x_1\\), więc \\(x_1 \\neq x_2\\) - dwa różne miejsca zerowe. \\(\\blacksquare\\)

\n
Uwaga: Ten dowód jest elegancki, ale na maturze bezpieczniejszy i krótszy jest Sposób 1 - wystarczy pokazać \\(\\Delta > 0\\).
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik trójmianu kwadratowego:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Kryterium liczby miejsc zerowych: \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne miejsca zerowe.

\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako głównego narzędzia dowodu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać „wyróżnik jest dodatni" - trzeba uzasadnić, dlaczego \\(\\Delta > 0\\). Kluczowy krok to: \\(c < 0 \\Rightarrow -4c > 0\\), a zatem \\(b^2 + (-4c) > 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Uczniowie często zapominają, że \\(b^2 \\geq 0\\) to nie jest \\(b^2 > 0\\). Gdy \\(b = 0\\), mamy \\(\\Delta = -4c\\), co nadal jest dodatnie - dowód działa dla każdego \\(b \\in \\mathbb{R}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(c < 0\\) jest wystarczający, ale nie konieczny - trójmian może mieć dwa miejsca zerowe także dla \\(c > 0\\) (jeśli \\(\\Delta > 0\\) z innego powodu). Zadanie prosi jednak tylko o implikację w jedną stronę, więc to nie problem.
\n

Odpowiedź: Wykazujemy, że \\(\\Delta > 0\\), co oznacza istnienie dwóch różnych pierwiastków.

\n
Sposób 1 - Analiza wyróżnika
\n

Wyróżnik trójmianu \\(y = x^2+bx+c\\) (gdzie \\(a=1\\)):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c.\\]

\n

Z założenia \\(c < 0\\), więc \\(-4c > 0\\). Natomiast \\(b^2 \\ge 0\\) dla dowolnego rzeczywistego \\(b\\).

\n

Zatem
\\[\\Delta = \\underbrace{b^2}{\\ge 0} + \\underbrace{(-4c)}{>0} > 0.\\]

\n

Ponieważ \\(\\Delta > 0\\), trójmian ma dwa różne miejsca zerowe. $\\blacksquare$

\n
Sposób 2 - Iloczyn pierwiastków (wzory Viète'a)
\n

Zakładając, że istnieją pierwiastki \\(x_1, x_2\\), mamy
\\[x_1\\cdot x_2 = \\dfrac{c}{a} = c < 0.\\]
Iloczyn ujemny oznacza, że pierwiastki muszą mieć różne znaki, więc są różne. Dodatkowo, gdyby nie istniały (\\(\\Delta < 0\\)), nie można by mówić o iloczynie. Formalnie jednak wystarczy argument z \\(\\Delta\\).

\n
Sposób 3 - Wartość trójmianu w zerze
\n

Dla \\(x = 0\\): \\(y(0) = c < 0\\). Ponieważ parabola otwiera się do góry (\\(a=1>0\\)) i w pewnym punkcie przyjmuje wartość ujemną, to musi przeciąć oś \\(OX\\) w dwóch różnych punktach - czyli ma dwa różne miejsca zerowe.

\n

Pamiętaj: znak \\(\\Delta\\) decyduje o liczbie pierwiastków; \\(\\Delta > 0 \\Rightarrow\\) dwa różne pierwiastki.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}