{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC\nBC\n\noraz\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n1,9\nC \nPodstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej\n1\n2\ny\nx\n\n. Oblicz współrzędne wierzchołka B.\n\nPoziom podstawowy\n15\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n16\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y = 1/2x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC\nBC\n\noraz\n\n\n2,1\nA \ni\n\n\n1,9\nC \nPodstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej\n1\n2\ny\nx\n\n. Oblicz współrzędne wierzchołka B.\nI sposób rozwiązania: (odległość)\nPunkt B leży na prostej o równaniu\n1\n2\ny\nx\n\n, więc jego współrzędne można zapisać w postaci\n1\n, 2\n\n\n\n\n\n\nB\nx\nx . Obliczamy odległość punktu C od punktu A:\n65\n\nAC\noraz odległość\npunktu C od punktu B:\n\n\n2\n2\n1\n9\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nBC\nx\n. Ponieważ\n\nAC\nBC , więc możemy\nzapisać równanie z jedną niewiadomą\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\n, skąd otrzymujemy\nrównanie kwadratowe\n2\n5\n11\n17\n0\n4\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n44\n68\n0\n\n\n\nx\nx\n. Równanie to ma dwa\nRozumowanie i argumentacja\nBada funkcję kwadratową.\nUżycie i tworzenie strategii\nOblicza odległość między punktami, wyznacza środek\nodcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej,\nwyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nrozwiązania\n34\n5\n\nx\nlub\n2\n\nx\n. Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi\ndo punktu o współrzędnych \n\n2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania\npunkt A, zatem szukany punkt\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nObliczenie odległości AC:\n65\n\nAC\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n\nzapisanie\nrównania\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n2\n2\n1\n9\n65\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\ny\ny\nalbo\n\nzapisanie układu równań:\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n1\n2\n1\n9\n65\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ny\nx\nx\ny\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nDoprowadzenie do równania kwadratowego, np.\n2\n5\n11\n17\n0\n4\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n44\n68\n0\n\n\n\nx\nx\nlub\n2\n5\n22\n17\n0\n\n\n\ny\ny\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nII sposób rozwiązania: (środek odcinka)\nNiech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy\nrównanie prostej CD:\n2\n11\n\n\ny\nx\n. Obliczamy współrzędne punktu\n22 11\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nD\nWyznaczamy współrzędne punktu B:\n\nwykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:\n2\n22\n2\n5\n1\n11\n2\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nalbo\n\nwykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:\n2\n22\n2\n5\n1\n2\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nx\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nalbo\n\nporównując długości odcinków AD i DB:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\ny\nx\n2\n1\n5\n11\n5\n22\n1\n5\n11\n2\n5\n22\n2\n2\n2\n2\nOtrzymujemy\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci\n2\n11\n\n\ny\nx\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie współrzędnych punktu D:\n22 11\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nD\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze układ równań:\n2\n11\n1\n2\n\n\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nlub analogiczny i popełni błąd\nrachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nIII sposób rozwiązania: (kąt między prostymi)\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n1\n8\n\na\n. Zapisujemy równanie:\n2\n2\n1\n1\n8\n2\n2\n1\n1 4\n1\n2\n\n\n\n\n\na\na\n, korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC,\ngdzie\n2a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy\n2a :\n2\n28\n29\n\na\n(drugie\nrozwiązanie tego równania\n2\n8\n\na\nto współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy\nrównanie prostej BC:\n\n\n28\n1\n9\n29\n\n\n\ny\nx\n, a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej\ni prostej AB o równaniu\n1\n2\n\ny\nx . Rozwiązujemy układ równań:\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nx\ny\n2\n1\n9\n1\n29\n28\nOtrzymujemy współrzędne szukanego punktu:\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC:\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n4\n1\n8\n2\n1\na\na\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nWyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC:\n2\n28\n29\n\na\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie współrzędnych wierzchołka\n34 17\n,\n5\n5\n\n\n\n\n\n\nB\njako punktu wspólnego prostych\no równaniach\n1\n2\n\ny\nx oraz\n\n\n28\n1\n9\n29\n\n\n\ny\nx\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące\nwspółrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie\nrozwiązanie otrzymuje 4 punkty.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoodległości \\(|BC| = |AC|\\)\n\n**Krok 1. Oblicz \\(|AC|\\).**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(2-1)^2 + (1-9)^2} = \\sqrt{1 + 64} = \\sqrt{65}\n\\]\n\n**Krok 2. Sprawdź, że \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\).**\n\nDla \\(A = (2, 1)\\): \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✓\n\nSkoro \\(AB\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), to \\(B = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right)\\) dla pewnego \\(t \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Krok 3. Nałóż warunek \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).**\n\n\\[\n|BC|^2 = (t - 1)^2 + \\left(\\frac{t}{2} - 9\\right)^2 = 65\n\\]\n\n\\[\nt^2 - 2t + 1 + \\frac{t^2}{4} - 9t + 81 = 65\n\\]\n\n\\[\n\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 82 = 65\n\\]\n\n\\[\n\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 17 = 0 \\quad\\Big|\\cdot 4\n\\]\n\n\\[\n5t^2 - 44t + 68 = 0\n\\]\n\n**Krok 4. Rozwiąż równanie kwadratowe.**\n\n\\[\n\\Delta = 44^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576 = 24^2\n\\]\n\n\\[\nt_1 = \\frac{44 - 24}{10} = 2, \\qquad t_2 = \\frac{44 + 24}{10} = \\frac{34}{5}\n\\]\n\n**Krok 5. Odrzuć rozwiązanie trywialne.**\n\n\\(t_1 = 2\\) daje \\(B = (2, 1) = A\\) - to nie jest wierzchołek trójkąta.\n\nZatem:\n\n\\[\n\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Oś symetrii przez środek \\(AB\\) (prostopadła do podstawy)\n\nSkoro \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) jest **równoodległy od \\(A\\) i \\(B\\)**, więc leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(AB\\).\n\n**Krok 1. Wyznacz prostą prostopadłą do \\(AB\\) przechodzącą przez \\(C\\).**\n\nProsta \\(AB\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\), więc prosta prostopadła ma nachylenie \\(-2\\).\n\nProsta prostopadle dwusieczna \\(AB\\) przechodzi przez \\(C = (1, 9)\\):\n\n\\[\ny - 9 = -2(x - 1) \\implies y = -2x + 11\n\\]\n\n**Krok 2. Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\) jako przecięcie tej prostej z \\(y = \\frac{1}{2}x\\).**\n\n\\[\n\\frac{1}{2}x = -2x + 11 \\implies \\frac{5}{2}x = 11 \\implies x = \\frac{22}{5},\\quad y = \\frac{11}{5}\n\\]\n\n\\[\nM = \\left(\\frac{22}{5},\\ \\frac{11}{5}\\right)\n\\]\n\n**Krok 3. Wyznacz \\(B\\) z warunku, że \\(M\\) jest środkiem \\(AB\\).**\n\n\\[\nM = \\frac{A + B}{2} \\implies B = 2M - A\n\\]\n\n\\[\nB_x = 2 \\cdot \\frac{22}{5} - 2 = \\frac{44}{5} - \\frac{10}{5} = \\frac{34}{5}\n\\]\n\n\\[\nB_y = 2 \\cdot \\frac{11}{5} - 1 = \\frac{22}{5} - \\frac{5}{5} = \\frac{17}{5}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** Czy \\(B\\) leży na \\(y = \\frac{1}{2}x\\)?\n\\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{34}{5} = \\frac{17}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[\n|PQ| = \\sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}\n\\]\nUżyta w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i zapisania \\(|BC|\\).\n\nŚrodek odcinka:\n\\[\nx_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\n\\]\nUżyta w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(B = 2M - A\\).\n\nProste prostopadłe (warunek):\n\\[\na_1 \\cdot a_2 = -1\n\\]\nUżyta w Sposobie 2 - prosta przez \\(C\\) ma nachylenie \\(-2 = -\\frac{1}{1/2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(t = 2\\) jest poprawnym rozwiązaniem równania, ale daje \\(B = A\\) - trójkąt by nie istniał. Zawsze sprawdź, czy rozwiązanie ma sens geometrycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić - to \\(C\\) leży na prostopadłej dwusiecznej podstawy \\(AB\\), nie odwrotnie. Wynika to wprost z warunku \\(|AC| = |BC|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej prostopadłej to **odwrotność ze zmianą znaku**: prosta o nachyleniu \\(\\frac{1}{2}\\) jest prostopadła do prostej o nachyleniu \\(-2\\). Częsty błąd to wzięcie samej odwrotności \\(2\\) bez zmiany znaku.\n\n**Odpowiedź:** \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Równe odległości \\(|AC| = |BC|\\)\nPunkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = \\tfrac{1}{2}x\\), więc \\(B = \\left(x, \\tfrac{x}{2}\\right)\\).\n\nObliczmy \\(|AC|\\):\n\\[|AC|^2 = (1-2)^2 + (9-1)^2 = 1 + 64 = 65.\\]\n\nObliczmy \\(|BC|^2\\):\n\\[|BC|^2 = (x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2.\\]\n\nZ warunku \\(|AC|=|BC|\\) mamy \\(|AC|^2=|BC|^2\\):\n\\[(x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2 = 65.\\]\n\nRozwijamy:\n\\[x^2 - 2x + 1 + \\dfrac{x^2}{4} - 9x + 81 = 65.\\]\n\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 82 = 65.\\]\n\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 17 = 0 \\quad\\Big/\\cdot 4.\\]\n\\[5x^2 - 44x + 68 = 0.\\]\n\\[\\Delta = 44^2 - 4\\cdot 5\\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 24.\\]\n\\[x = \\dfrac{44\\pm 24}{10}.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{68}{10} = \\dfrac{34}{5},\\qquad x_2 = \\dfrac{20}{10} = 2.\\]\n\nDla \\(x = 2\\) mamy \\(B = (2, 1) = A\\), odrzucamy.\nZatem \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Środek odcinka \\(AB\\)\nSpodek wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) to punkt \\(D\\) (środek \\(AB\\)), leżący na prostej \\(AB\\). Wyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): współczynnik kierunkowy \\(AB\\) to \\(\\tfrac{1}{2}\\), więc \\(CD\\): \\(y = -2x + 11\\) (przechodzi przez \\(C(1,9)\\)).\n\nPunkt \\(D\\) to przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\):\n\\[\\dfrac{x}{2} = -2x + 11 \\implies x = -4x + 22 \\implies 5x = 22 \\implies x = \\dfrac{22}{5},\\ y = \\dfrac{11}{5}.\\]\n\\[D = \\left(\\dfrac{22}{5},\\ \\dfrac{11}{5}\\right).\\]\n\n\\(D\\) to środek \\(AB\\), więc:\n\\[\\dfrac{x_A + x_B}{2} = \\dfrac{22}{5} \\implies x_B = \\dfrac{44}{5} - 2 = \\dfrac{34}{5}.\\]\n\\[\\dfrac{y_A + y_B}{2} = \\dfrac{11}{5} \\implies y_B = \\dfrac{22}{5} - 1 = \\dfrac{17}{5}.\\]\n\\[B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right).\\]\n\n**Pamiętaj:** w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka do podstawy dzieli podstawę na dwie równe części.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (4 pkt)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC
BC

oraz


2,1
A 
i


1,9
C 
Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej
1
2
y
x

. Oblicz współrzędne wierzchołka B.

\n

Poziom podstawowy
15
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
16
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC| oraz A=(2,1) i C=(1,9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej y = 1/2x. Oblicz współrzędne wierzchołka B.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AC
BC

oraz


2,1
A 
i


1,9
C 
Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej
1
2
y
x

. Oblicz współrzędne wierzchołka B.
I sposób rozwiązania: (odległość)
Punkt B leży na prostej o równaniu
1
2
y
x

, więc jego współrzędne można zapisać w postaci
1
, 2






B
x
x . Obliczamy odległość punktu C od punktu A:
65

AC
oraz odległość
punktu C od punktu B:


2
2
1
9
2










x
BC
x
. Ponieważ

AC
BC , więc możemy
zapisać równanie z jedną niewiadomą


2
2
1
9
65
2










x
x
, skąd otrzymujemy
równanie kwadratowe
2
5
11
17
0
4



x
x
lub
2
5
44
68
0



x
x
. Równanie to ma dwa
Rozumowanie i argumentacja
Bada funkcję kwadratową.
Użycie i tworzenie strategii
Oblicza odległość między punktami, wyznacza środek
odcinka, interpretuje współczynniki funkcji liniowej,
wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
rozwiązania
34
5

x
lub
2

x
. Ponieważ drugie rozwiązanie tego równania prowadzi
do punktu o współrzędnych 

2,1 , co oznacza, że otrzymujemy podany w treści zadania
punkt A, zatem szukany punkt
34 17
,
5
5






B
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Obliczenie odległości AC:
65

AC
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt

zapisanie
równania


2
2
1
9
65
2
x
x










lub


2
2
1
9
65
2










x
x
lub




2
2
2
1
9
65




y
y
albo

zapisanie układu równań:




2
2
1
2
1
9
65









y
x
x
y
lub




2
2
1
2
1
9
65









y
x
x
y
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Doprowadzenie do równania kwadratowego, np.
2
5
11
17
0
4



x
x
lub
2
5
44
68
0



x
x
lub
2
5
22
17
0



y
y
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka
34 17
,
5
5






B
II sposób rozwiązania: (środek odcinka)
Niech punkt D będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka C. Wyznaczamy
równanie prostej CD:
2
11


y
x
. Obliczamy współrzędne punktu
22 11
,
5
5






D
Wyznaczamy współrzędne punktu B:

wykorzystując na przykład wzór na współrzędne środka odcinka:
2
22
2
5
1
11
2
5








x
y
albo

wykorzystując wzór na współrzędne środka odcinka i równanie prostej:
2
22
2
5
1
2







x
y
x
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
albo

porównując długości odcinków AD i DB:






























x
y
y
x
2
1
5
11
5
22
1
5
11
2
5
22
2
2
2
2
Otrzymujemy
34 17
,
5
5






B
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Wyznaczenie równania prostej CD, np. w postaci
2
11


y
x
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie współrzędnych punktu D:
22 11
,
5
5






D
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisze układ równań:
2
11
1
2





y
x
y
x
lub analogiczny i popełni błąd
rachunkowy w jego rozwiązaniu, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka
34 17
,
5
5






B
III sposób rozwiązania: (kąt między prostymi)
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC:
1
8

a
. Zapisujemy równanie:
2
2
1
1
8
2
2
1
1 4
1
2





a
a
, korzystając ze wzoru na tangens kąta między prostymi AC i BC,
gdzie
2a jest współczynnikiem kierunkowym prostej BC. Obliczamy
2a :
2
28
29

a
(drugie
rozwiązanie tego równania
2
8

a
to współczynnik kierunkowy prostej AC). Zapisujemy
równanie prostej BC:


28
1
9
29



y
x
, a następnie wyznaczamy punkt wspólny tej prostej
i prostej AB o równaniu
1
2

y
x . Rozwiązujemy układ równań:
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy












x
y
x
y
2
1
9
1
29
28
Otrzymujemy współrzędne szukanego punktu:
34 17
,
5
5






B
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie równania z niewiadomym współczynnikiem kierunkowym prostej BC:
2
2
2
1
1
2
1
4
1
8
2
1
a
a





Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej BC:
2
28
29

a
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka
34 17
,
5
5






B
jako punktu wspólnego prostych
o równaniach
1
2

y
x oraz


28
1
9
29



y
x
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów lub zamieni miejscami liczby będące
współrzędnymi danych punktów i rozwiąże konsekwentnie zadanie do końca, to za takie
rozwiązanie otrzymuje 4 punkty.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Warunek równoodległości \\(|BC| = |AC|\\)

\n

Krok 1. Oblicz \\(|AC|\\).

\n

\\[
|AC| = \\sqrt{(2-1)^2 + (1-9)^2} = \\sqrt{1 + 64} = \\sqrt{65}
\\]

\n

Krok 2. Sprawdź, że \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\).

\n

Dla \\(A = (2, 1)\\): \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✓

\n

Skoro \\(AB\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), to \\(B = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right)\\) dla pewnego \\(t \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Krok 3. Nałóż warunek \\(|BC| = \\sqrt{65}\\).

\n

\\[
|BC|^2 = (t - 1)^2 + \\left(\\frac{t}{2} - 9\\right)^2 = 65
\\]

\n

\\[
t^2 - 2t + 1 + \\frac{t^2}{4} - 9t + 81 = 65
\\]

\n

\\[
\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 82 = 65
\\]

\n

\\[
\\frac{5}{4}t^2 - 11t + 17 = 0 \\quad\\Big|\\cdot 4
\\]

\n

\\[
5t^2 - 44t + 68 = 0
\\]

\n

Krok 4. Rozwiąż równanie kwadratowe.

\n

\\[
\\Delta = 44^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576 = 24^2
\\]

\n

\\[
t_1 = \\frac{44 - 24}{10} = 2, \\qquad t_2 = \\frac{44 + 24}{10} = \\frac{34}{5}
\\]

\n

Krok 5. Odrzuć rozwiązanie trywialne.

\n

\\(t_1 = 2\\) daje \\(B = (2, 1) = A\\) - to nie jest wierzchołek trójkąta.

\n

Zatem:

\n

\\[
\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}
\\]

\n

Sposób 2 - Oś symetrii przez środek \\(AB\\) (prostopadła do podstawy)

\n

Skoro \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) jest równoodległy od \\(A\\) i \\(B\\), więc leży na prostopadłej dwusiecznej odcinka \\(AB\\).

\n

Krok 1. Wyznacz prostą prostopadłą do \\(AB\\) przechodzącą przez \\(C\\).

\n

Prosta \\(AB\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\), więc prosta prostopadła ma nachylenie \\(-2\\).

\n

Prosta prostopadle dwusieczna \\(AB\\) przechodzi przez \\(C = (1, 9)\\):

\n

\\[
y - 9 = -2(x - 1) \\implies y = -2x + 11
\\]

\n

Krok 2. Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\) jako przecięcie tej prostej z \\(y = \\frac{1}{2}x\\).

\n

\\[
\\frac{1}{2}x = -2x + 11 \\implies \\frac{5}{2}x = 11 \\implies x = \\frac{22}{5},\\quad y = \\frac{11}{5}
\\]

\n

\\[
M = \\left(\\frac{22}{5},\\ \\frac{11}{5}\\right)
\\]

\n

Krok 3. Wyznacz \\(B\\) z warunku, że \\(M\\) jest środkiem \\(AB\\).

\n

\\[
M = \\frac{A + B}{2} \\implies B = 2M - A
\\]

\n

\\[
B_x = 2 \\cdot \\frac{22}{5} - 2 = \\frac{44}{5} - \\frac{10}{5} = \\frac{34}{5}
\\]

\n

\\[
B_y = 2 \\cdot \\frac{11}{5} - 1 = \\frac{22}{5} - \\frac{5}{5} = \\frac{17}{5}
\\]

\n

\\[
\\boxed{B = \\left(\\frac{34}{5},\\ \\frac{17}{5}\\right)}
\\]

\n

Weryfikacja: Czy \\(B\\) leży na \\(y = \\frac{1}{2}x\\)?
\\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{34}{5} = \\frac{17}{5}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka:
\\[
|PQ| = \\sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}
\\]
Użyta w Sposobie 1 do obliczenia \\(|AC|\\) i zapisania \\(|BC|\\).

\n

Środek odcinka:
\\[
x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}
\\]
Użyta w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(B = 2M - A\\).

\n

Proste prostopadłe (warunek):
\\[
a_1 \\cdot a_2 = -1
\\]
Użyta w Sposobie 2 - prosta przez \\(C\\) ma nachylenie \\(-2 = -\\frac{1}{1/2}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(t = 2\\) jest poprawnym rozwiązaniem równania, ale daje \\(B = A\\) - trójkąt by nie istniał. Zawsze sprawdź, czy rozwiązanie ma sens geometrycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić - to \\(C\\) leży na prostopadłej dwusiecznej podstawy \\(AB\\), nie odwrotnie. Wynika to wprost z warunku \\(|AC| = |BC|\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nachylenie prostej prostopadłej to odwrotność ze zmianą znaku: prosta o nachyleniu \\(\\frac{1}{2}\\) jest prostopadła do prostej o nachyleniu \\(-2\\). Częsty błąd to wzięcie samej odwrotności \\(2\\) bez zmiany znaku.
\n

Odpowiedź: \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).

\n
Sposób 1 - Równe odległości \\(|AC| = |BC|\\)
\n

Punkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = \\tfrac{1}{2}x\\), więc \\(B = \\left(x, \\tfrac{x}{2}\\right)\\).

\n

Obliczmy \\(|AC|\\):
\\[|AC|^2 = (1-2)^2 + (9-1)^2 = 1 + 64 = 65.\\]

\n

Obliczmy \\(|BC|^2\\):
\\[|BC|^2 = (x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2.\\]

\n

Z warunku \\(|AC|=|BC|\\) mamy \\(|AC|^2=|BC|^2\\):
\\[(x-1)^2 + \\left(\\dfrac{x}{2}-9\\right)^2 = 65.\\]

\n

Rozwijamy:
\\[x^2 - 2x + 1 + \\dfrac{x^2}{4} - 9x + 81 = 65.\\]
\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 82 = 65.\\]
\\[\\dfrac{5x^2}{4} - 11x + 17 = 0 \\quad\\Big/\\cdot 4.\\]
\\[5x^2 - 44x + 68 = 0.\\]
\\[\\Delta = 44^2 - 4\\cdot 5\\cdot 68 = 1936 - 1360 = 576.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 24.\\]
\\[x = \\dfrac{44\\pm 24}{10}.\\]
\\[x_1 = \\dfrac{68}{10} = \\dfrac{34}{5},\\qquad x_2 = \\dfrac{20}{10} = 2.\\]

\n

Dla \\(x = 2\\) mamy \\(B = (2, 1) = A\\), odrzucamy.
Zatem \\(B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right)\\).

\n
Sposób 2 - Środek odcinka \\(AB\\)
\n

Spodek wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) to punkt \\(D\\) (środek \\(AB\\)), leżący na prostej \\(AB\\). Wyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): współczynnik kierunkowy \\(AB\\) to \\(\\tfrac{1}{2}\\), więc \\(CD\\): \\(y = -2x + 11\\) (przechodzi przez \\(C(1,9)\\)).

\n

Punkt \\(D\\) to przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\):
\\[\\dfrac{x}{2} = -2x + 11 \\implies x = -4x + 22 \\implies 5x = 22 \\implies x = \\dfrac{22}{5},\\ y = \\dfrac{11}{5}.\\]
\\[D = \\left(\\dfrac{22}{5},\\ \\dfrac{11}{5}\\right).\\]

\n

\\(D\\) to środek \\(AB\\), więc:
\\[\\dfrac{x_A + x_B}{2} = \\dfrac{22}{5} \\implies x_B = \\dfrac{44}{5} - 2 = \\dfrac{34}{5}.\\]
\\[\\dfrac{y_A + y_B}{2} = \\dfrac{11}{5} \\implies y_B = \\dfrac{22}{5} - 1 = \\dfrac{17}{5}.\\]
\\[B = \\left(\\dfrac{34}{5},\\ \\dfrac{17}{5}\\right).\\]

\n

Pamiętaj: w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka do podstawy dzieli podstawę na dwie równe części.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$B=\\\\left(\\\\dfrac{34}{5}, \\\\dfrac{17}{5}\\\\right)$

"}]}