{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S\ntrójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany\nbocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).\nS\nA\nB\nC\nD\nS\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n18\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S\ntrójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany\nbocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).\nI sposób rozwiązania:\n1) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS:\n3\n4 3\n2\nb\nH \n\n, gdzie\n8\nb \nlub z trójkąta prostokątnego AOS :\n2\n2\n2\nb\nH\nb\n\n\n\n\n\n\n\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n6,93\nH \n2) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu:\n2\n8\na\n\n,\n4 2\na \nlub\n5,66\na \n3) Obliczenie h\nSE\n\n(wysokości ściany bocznej) z trójkąta prostokątnego SOE:\n2\n2\n2\na\nh\nH\n\n\n\n\n\n\n\n,\n2 14\nh \nlub z trójkąta prostokątnego SEA:\n2\n2\n2\na\nh\nb\n\n\n\n\n\n\n\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznacza związki miarowe w wielościanach; znajduje\nzwiązki miarowe w figurach płaskich, w tym stosuje\nwłasności trójkąta równobocznego i prostokątnego\ni wykorzystuje definicję i własności funkcji\ntrygonometrycznych.\nA\nB\nC\nD\nS\nO\nE\n\nH\nh\na\nb\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n7,48\nh \n4) Obliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\nH\nh\n\n\nlub obliczenie cosinusa kąta , np. z twierdzenia cosinusów:\n2\n2\n2\n2\ncos\nh\na\nh\nah\n\n\n\n\n,\n7\ncos\n7\n\n, a następnie sinusa kąta\n, np. z jedynki trygonometrycznej:\n2\n7\n42\nsin\n1\ncos\n1\n49\n7\n\n\n\n\n\n\n\nlub wykorzystanie dokonanych przybliżeń do obliczenia sin\n0,93\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nalbo\n\nobliczenie a (długości krawędzi podstawy):\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\n\nobliczenie h (wysokości ściany bocznej ostrosłupa):\n2 14\nh \nlub\n7,48\nh \noraz\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\n\nlub sin\n0,93\n\nII sposób rozwiązania:\n1) Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS\n3\n4 3\n2\nb\nH \n\n, gdzie\n8\nb \nlub z trójkąta prostokątnego AOS :\n2\n2\n2\nb\nH\nb\n\n\n\n\n\n\n\nZdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:\n6,93\nH \n2) Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu\n2\n8\na\n\n,\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3) Obliczenie tangensa kąta :\n2\ntg\n6\n2\nH\nH\na\na\n\n\n\nlub tg\n2,45\n\n4) Odczytanie wartości kąta :\n68\n\n i sinusa tego kąta z tablic trygonometrycznych:\nsin\n0,93\n\nlub obliczenie sin z układu równań:\n2\n2\nsin\n6\ncos\nsin\ncos\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n42\nsin\n7\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n\nobliczenie H (wysokości ostrosłupa):\n8 3\n4 3\n2\nH \n\nlub\n6,93\nH \nalbo\n\nobliczenie a (długości krawędzi podstawy):\n4 2\na \nlub\n5,66\na \nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie tangensa kąta : tg\n6\n\nlub tg\n2,45\n\nZostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały\npopełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie sinusa kąta :\n42\nsin\n7\n\nlub sin\n0,93\n\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nNie obniżamy punktacji za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczył wysokość\nostrosłupa, ale przy obliczaniu sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny\npodstawy podstawił błędną wartość.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Apotema i wysokość ostrosłupa\n\n**Krok 1: Wyznacz bok podstawy (kwadratu)**\n\nTrójkąt \\(ACS\\) jest równoboczny z bokiem \\(8\\), więc:\n\\[AC = AS = CS = 8\\]\n\n\\(AC\\) to przekątna kwadratu \\(ABCD\\). Jeśli bok kwadratu to \\(a\\):\n\\[AC = a\\sqrt{2} = 8 \\implies a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wysokość ostrosłupa \\(h\\)**\n\nNiech \\(O\\) będzie centrum kwadratu (punkt przecięcia przekątnych = rzut \\(S\\) na podstawę).\n\nOdległość od \\(O\\) do wierzchołka \\(A\\) to połowa przekątnej:\n\\[OA = \\frac{AC}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(OAS\\):\n\\[AS^2 = OA^2 + h^2\\]\n\\[64 = 16 + h^2\\]\n\\[h^2 = 48 \\implies h = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz apotema ściany bocznej**\n\nNiech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Kąt nachylenia ściany bocznej (trójkąta \\(ABS\\)) do podstawy to kąt \\(\\varphi = \\angle SMO\\).\n\nApotema podstawy (odległość od \\(O\\) do krawędzi \\(AB\\)):\n\\[OM = \\frac{a}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nApotema ściany bocznej \\(SM\\) (linia, po której mierzymy kąt):\n\\[SM^2 = h^2 + OM^2 = 48 + 8 = 56 \\implies SM = 2\\sqrt{14}\\]\n\n**Krok 4: Oblicz sinus kąta nachylenia**\n\nW trójkącie prostokątnym \\(OMS\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):\n\\[\n\\sin\\varphi = \\frac{h}{SM} = \\frac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{14}}{14} = \\frac{2\\sqrt{42}}{14}\n\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\varphi = \\frac{\\sqrt{42}}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez współrzędne kartezjańskie\n\nUmieśćmy ostrosłup w układzie współrzędnych z \\(O = (0, 0, 0)\\):\n\\[A = (2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad B = (-2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad S = (0,\\ 0,\\ 4\\sqrt{3})\\]\n\nŚrodek krawędzi \\(AB\\): \\(M = (0,\\ 2\\sqrt{2},\\ 0)\\)\n\nKąt diedralny między ścianą \\(ABS\\) a podstawą wyznaczamy przez wektory prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - oba wychodzące z \\(M\\):\n- W podstawie: \\(\\vec{MO} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 0)\\)\n- W ścianie: \\(\\vec{MS} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 4\\sqrt{3})\\)\n\n\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\vec{MO} \\cdot \\vec{MS}}{|\\vec{MO}|\\ |\\vec{MS}|} = \\frac{0 + 8 + 0}{2\\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{14}} = \\frac{8}{4\\sqrt{28}} = \\frac{8}{8\\sqrt{7}} = \\frac{1}{\\sqrt{7}}\\]\n\n\\[\\sin\\varphi = \\sqrt{1 - \\cos^2\\varphi} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{7}} = \\sqrt{\\frac{6}{7}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{7}} = \\frac{\\sqrt{42}}{7}\\]\n\nWynik zgodny: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie: do wyznaczenia \\(h\\) (w trójkącie \\(OAS\\)) i apotemy \\(SM\\) (w trójkącie \\(OMS\\)).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności ostrosłupa prawidłowego: wysokość pada prostopadle na środek podstawy. Z tej własności wynikało, że \\(OA = \\frac{AC}{2}\\) i \\(OM \\perp AB\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - iloczyn skalarny wektorów do wyznaczenia kąta (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia ściany mierzymy **od apotemy ściany bocznej** (\\(SM\\)) - czyli od linii łączącej wierzchołek \\(S\\) ze **środkiem** krawędzi podstawy. Częsty błąd to pomiar kąta przy krawędzi bocznej \\(SA\\) - to jest coś zupełnie innego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema podstawy to \\(OM = \\frac{a}{2}\\), **nie** \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Nie mylić z odległością od środka do wierzchołka (= połowa przekątnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoboczność trójkąta \\(ACS\\) daje nam **przekątną** jako bok, czyli \\(AC = 8\\) - stąd bok kwadratu to \\(a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\), **a nie** \\(8\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\approx 0{,}93\\).\n\n### Sposób 1 - Pełna trygonometria\nOznaczmy: \\(b = |AS| = |CS| = 8\\) (bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\)), \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa, \\(h\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - szukany kąt.\n\n**Krok 1. Wysokość ostrosłupa \\(H\\).** \\(AC\\) to przekątna kwadratu i jednocześnie bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\). Wysokość trójkąta równobocznego \\(ACS\\) (czyli wysokość ostrosłupa \\(H\\)):\n\\[H = \\dfrac{b\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 2. Krawędź podstawy \\(a\\).** Przekątna kwadratu \\(a\\sqrt{2} = |AC| = 8\\), więc\n\\[a = \\dfrac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}.\\]\n\n**Krok 3. Wysokość ściany bocznej \\(h\\).** \\(E\\) - środek boku \\(AB\\) (spodek wysokości ściany bocznej). W trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), gdzie \\(O\\) - środek podstawy, mamy \\(|OE| = \\tfrac{a}{2} = 2\\sqrt{2}\\).\n\\[h = \\sqrt{H^2 + |OE|^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{3})^2 + (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{48 + 8} = \\sqrt{56} = 2\\sqrt{14}.\\]\n\n**Krok 4. Sinus kąta \\(\\alpha\\).**\nKąt \\(\\alpha\\) ma miarę takiego kąta w trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), że naprzeciw leży \\(H\\), a przeciwprostokątną jest \\(h\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{H}{h} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{14}}{14} = \\dfrac{2\\sqrt{42}}{14} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens\nW trójkącie prostokątnym \\(SOE\\): \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OE|} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{6}\\).\nZatem \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1+\\tan^2\\alpha}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\\), a\n\\[\\sin\\alpha = \\tan\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\sqrt{6}\\cdot\\dfrac{1}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{\\dfrac{6}{7}} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]\n\n**Pamiętaj:** kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej a jej rzutem na płaszczyznę podstawy.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 33. (4 pkt)<br>W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S<br>trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany<br>bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).<br>S<br>A<br>B<br>C<br>D<br>S<br>A<br>B<br>C</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>17<br>Odpowiedź:</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>18<br>W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S<br>trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany<br>bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).<br>I sposób rozwiązania:</p>\n<ol><li>Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS:</li></ol>\n<p>3<br>4 3<br>2<br>b<br>H <br><br>, gdzie<br>8<br>b <br>lub z trójkąta prostokątnego AOS :<br>2<br>2<br>2<br>b<br>H<br>b<br><br><br><br><br><br><br><br>Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:<br>6,93<br>H </p>\n<ol><li>Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość</li></ol>\n<p>przekątnej kwadratu:<br>2<br>8<br>a<br><br>,<br>4 2<br>a <br>lub<br>5,66<br>a </p>\n<ol><li>Obliczenie h</li></ol>\n<p>SE<br><br>(wysokości ściany bocznej) z trójkąta prostokątnego SOE:<br>2<br>2<br>2<br>a<br>h<br>H<br><br><br><br><br><br><br><br>,<br>2 14<br>h <br>lub z trójkąta prostokątnego SEA:<br>2<br>2<br>2<br>a<br>h<br>b<br><br><br><br><br><br><br><br>Użycie i tworzenie strategii<br>Wyznacza związki miarowe w wielościanach; znajduje<br>związki miarowe w figurach płaskich, w tym stosuje<br>własności trójkąta równobocznego i prostokątnego<br>i wykorzystuje definicję i własności funkcji<br>trygonometrycznych.<br>A<br>B<br>C<br>D<br>S<br>O<br>E<br><br>H<br>h<br>a<br>b<br>Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy<br>Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:<br>7,48<br>h </p>\n<ol><li>Obliczenie sinusa kąta :</li></ol>\n<p>42<br>sin<br>7<br>H<br>h<br><br><br>lub obliczenie cosinusa kąta , np. z twierdzenia cosinusów:<br>2<br>2<br>2<br>2<br>cos<br>h<br>a<br>h<br>ah<br><br><br><br><br>,<br>7<br>cos<br>7<br><br>, a następnie sinusa kąta<br>, np. z jedynki trygonometrycznej:<br>2<br>7<br>42<br>sin<br>1<br>cos<br>1<br>49<br>7<br><br><br><br><br><br><br><br>lub wykorzystanie dokonanych przybliżeń do obliczenia sin<br>0,93<br><br>Schemat oceniania I sposobu rozwiązania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 pkt<br><br>obliczenie H (wysokości ostrosłupa):<br>8 3<br>4 3<br>2<br>H <br><br>lub<br>6,93<br>H <br>albo<br><br>obliczenie a (długości krawędzi podstawy):<br>4 2<br>a <br>lub<br>5,66<br>a <br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt<br><br>obliczenie h (wysokości ściany bocznej ostrosłupa):<br>2 14<br>h <br>lub<br>7,48<br>h <br>oraz<br><br>obliczenie H (wysokości ostrosłupa):<br>8 3<br>4 3<br>2<br>H <br><br>lub<br>6,93<br>H <br>Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały<br>popełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt<br>Rozwiązanie pełne 4 pkt<br>Obliczenie sinusa kąta :<br>42<br>sin<br>7<br><br>lub sin<br>0,93<br><br>II sposób rozwiązania:</p>\n<ol><li>Obliczenie H (wysokości ostrosłupa), np. z własności trójkąta równobocznego ACS</li></ol>\n<p>3<br>4 3<br>2<br>b<br>H <br><br>, gdzie<br>8<br>b <br>lub z trójkąta prostokątnego AOS :<br>2<br>2<br>2<br>b<br>H<br>b<br><br><br><br><br><br><br><br>Zdający może wykonać obliczenia i zapisać wynik w przybliżeniu:<br>6,93<br>H </p>\n<ol><li>Obliczenie a (długości krawędzi podstawy ostrosłupa), np. ze wzoru na długość</li></ol>\n<p>przekątnej kwadratu<br>2<br>8<br>a<br><br>,<br>4 2<br>a <br>lub<br>5,66<br>a <br>Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy</p>\n<ol><li>Obliczenie tangensa kąta :</li></ol>\n<p>2<br>tg<br>6<br>2<br>H<br>H<br>a<br>a<br><br><br><br>lub tg<br>2,45<br></p>\n<ol><li>Odczytanie wartości kąta :</li></ol>\n<p>68<br><br> i sinusa tego kąta z tablic trygonometrycznych:<br>sin<br>0,93<br><br>lub obliczenie sin z układu równań:<br>2<br>2<br>sin<br>6<br>cos<br>sin<br>cos<br>1<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>Stąd<br>42<br>sin<br>7<br><br>Schemat oceniania II sposobu rozwiązania<br>Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego<br>rozwiązania 1 pkt<br><br>obliczenie H (wysokości ostrosłupa):<br>8 3<br>4 3<br>2<br>H <br><br>lub<br>6,93<br>H <br>albo<br><br>obliczenie a (długości krawędzi podstawy):<br>4 2<br>a <br>lub<br>5,66<br>a <br>Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt<br>Obliczenie tangensa kąta : tg<br>6<br><br>lub tg<br>2,45<br><br>Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały<br>popełnione błędy rachunkowe, usterki 2 pkt<br>Rozwiązanie pełne 4 pkt<br>Obliczenie sinusa kąta :<br>42<br>sin<br>7<br><br>lub sin<br>0,93<br><br>Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Nie obniżamy punktacji za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczył wysokość<br>ostrosłupa, ale przy obliczaniu sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny<br>podstawy podstawił błędną wartość.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Apotema i wysokość ostrosłupa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz bok podstawy (kwadratu)</strong></p>\n<p>Trójkąt \\(ACS\\) jest równoboczny z bokiem \\(8\\), więc:<br>\\[AC = AS = CS = 8\\]</p>\n<p>\\(AC\\) to przekątna kwadratu \\(ABCD\\). Jeśli bok kwadratu to \\(a\\):<br>\\[AC = a\\sqrt{2} = 8 \\implies a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wysokość ostrosłupa \\(h\\)</strong></p>\n<p>Niech \\(O\\) będzie centrum kwadratu (punkt przecięcia przekątnych = rzut \\(S\\) na podstawę).</p>\n<p>Odległość od \\(O\\) do wierzchołka \\(A\\) to połowa przekątnej:<br>\\[OA = \\frac{AC}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(OAS\\):<br>\\[AS^2 = OA^2 + h^2\\]<br>\\[64 = 16 + h^2\\]<br>\\[h^2 = 48 \\implies h = 4\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz apotema ściany bocznej</strong></p>\n<p>Niech \\(M\\) będzie środkiem krawędzi \\(AB\\). Kąt nachylenia ściany bocznej (trójkąta \\(ABS\\)) do podstawy to kąt \\(\\varphi = \\angle SMO\\).</p>\n<p>Apotema podstawy (odległość od \\(O\\) do krawędzi \\(AB\\)):<br>\\[OM = \\frac{a}{2} = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Apotema ściany bocznej \\(SM\\) (linia, po której mierzymy kąt):<br>\\[SM^2 = h^2 + OM^2 = 48 + 8 = 56 \\implies SM = 2\\sqrt{14}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Oblicz sinus kąta nachylenia</strong></p>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(OMS\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):<br>\\[<br>\\sin\\varphi = \\frac{h}{SM} = \\frac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\frac{2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{14}}{14} = \\frac{2\\sqrt{42}}{14}<br>\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\sin\\varphi = \\frac{\\sqrt{42}}{7}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez współrzędne kartezjańskie</h4>\n<p>Umieśćmy ostrosłup w układzie współrzędnych z \\(O = (0, 0, 0)\\):<br>\\[A = (2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad B = (-2\\sqrt{2},\\ 2\\sqrt{2},\\ 0),\\quad S = (0,\\ 0,\\ 4\\sqrt{3})\\]</p>\n<p>Środek krawędzi \\(AB\\): \\(M = (0,\\ 2\\sqrt{2},\\ 0)\\)</p>\n<p>Kąt diedralny między ścianą \\(ABS\\) a podstawą wyznaczamy przez wektory prostopadłe do \\(AB\\) w obu płaszczyznach - oba wychodzące z \\(M\\):</p>\n<ul><li>W podstawie: \\(\\vec{MO} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 0)\\)</li><li>W ścianie: \\(\\vec{MS} = (0,\\ -2\\sqrt{2},\\ 4\\sqrt{3})\\)</li></ul>\n<p>\\[\\cos\\varphi = \\frac{\\vec{MO} \\cdot \\vec{MS}}{|\\vec{MO}|\\ |\\vec{MS}|} = \\frac{0 + 8 + 0}{2\\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{14}} = \\frac{8}{4\\sqrt{28}} = \\frac{8}{8\\sqrt{7}} = \\frac{1}{\\sqrt{7}}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\varphi = \\sqrt{1 - \\cos^2\\varphi} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{7}} = \\sqrt{\\frac{6}{7}} = \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{7}} = \\frac{\\sqrt{42}}{7}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny: \\(\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy dwukrotnie: do wyznaczenia \\(h\\) (w trójkącie \\(OAS\\)) i apotemy \\(SM\\) (w trójkącie \\(OMS\\)).</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - własności ostrosłupa prawidłowego: wysokość pada prostopadle na środek podstawy. Z tej własności wynikało, że \\(OA = \\frac{AC}{2}\\) i \\(OM \\perp AB\\).</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - iloczyn skalarny wektorów do wyznaczenia kąta (Sposób 2).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt nachylenia ściany mierzymy <strong>od apotemy ściany bocznej</strong> (\\(SM\\)) - czyli od linii łączącej wierzchołek \\(S\\) ze <strong>środkiem</strong> krawędzi podstawy. Częsty błąd to pomiar kąta przy krawędzi bocznej \\(SA\\) - to jest coś zupełnie innego!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Apotema podstawy to \\(OM = \\frac{a}{2}\\), <strong>nie</strong> \\(\\frac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Nie mylić z odległością od środka do wierzchołka (= połowa przekątnej).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równoboczność trójkąta \\(ACS\\) daje nam <strong>przekątną</strong> jako bok, czyli \\(AC = 8\\) - stąd bok kwadratu to \\(a = \\frac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}\\), <strong>a nie</strong> \\(8\\).</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}\\approx 0{,}93\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Pełna trygonometria</h5>\n<p>Oznaczmy: \\(b = |AS| = |CS| = 8\\) (bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\)), \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(H\\) - wysokość ostrosłupa, \\(h\\) - wysokość ściany bocznej, \\(\\alpha\\) - szukany kąt.</p>\n<p><strong>Krok 1. Wysokość ostrosłupa \\(H\\).</strong> \\(AC\\) to przekątna kwadratu i jednocześnie bok trójkąta równobocznego \\(ACS\\). Wysokość trójkąta równobocznego \\(ACS\\) (czyli wysokość ostrosłupa \\(H\\)):<br>\\[H = \\dfrac{b\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Krawędź podstawy \\(a\\).</strong> Przekątna kwadratu \\(a\\sqrt{2} = |AC| = 8\\), więc<br>\\[a = \\dfrac{8}{\\sqrt{2}} = 4\\sqrt{2}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Wysokość ściany bocznej \\(h\\).</strong> \\(E\\) - środek boku \\(AB\\) (spodek wysokości ściany bocznej). W trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), gdzie \\(O\\) - środek podstawy, mamy \\(|OE| = \\tfrac{a}{2} = 2\\sqrt{2}\\).<br>\\[h = \\sqrt{H^2 + |OE|^2} = \\sqrt{(4\\sqrt{3})^2 + (2\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{48 + 8} = \\sqrt{56} = 2\\sqrt{14}.\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Sinus kąta \\(\\alpha\\).</strong><br>Kąt \\(\\alpha\\) ma miarę takiego kąta w trójkącie prostokątnym \\(SOE\\), że naprzeciw leży \\(H\\), a przeciwprostokątną jest \\(h\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{H}{h} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{14}} = \\dfrac{2\\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{14}}{14} = \\dfrac{2\\sqrt{42}}{14} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez tangens</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(SOE\\): \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|OE|} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{6}\\).<br>Zatem \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{1+\\tan^2\\alpha}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\\), a<br>\\[\\sin\\alpha = \\tan\\alpha\\cdot\\cos\\alpha = \\sqrt{6}\\cdot\\dfrac{1}{\\sqrt{7}} = \\sqrt{\\dfrac{6}{7}} = \\dfrac{\\sqrt{42}}{7}.\\]</p>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej a jej rzutem na płaszczyznę podstawy.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\\\sin \\\\alpha = \\\\dfrac{\\\\sqrt{42}}{7}$ lub $\\\\sin \\\\alpha \\\\approx 0{,}93$</p>"}]}