Zadanie 34. (5 pkt)
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h,
to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał
ten kolarz.
Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
20
BRUDNOPIS
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Zadanie 34. (0-5)
Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h,
to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał
ten kolarz.
I sposób rozwiązania:
Przyjmujemy oznaczenia, np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach, v - średnia
prędkość w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależności między czasem a prędkością
w obu sytuacjach opisanych w zadaniu:
114
v t
oraz
9,5
2
114
v
t
Modelowanie matematyczne
Rozwiązuje zadania dotyczących sytuacji praktycznych,
prowadzące do równania kwadratowego.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Następnie zapisujemy układ równań
114
9,5
2
114
v t
v
t
Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:
114
9,5
2
114
t
t
228
114
9,5
19
114
t
t
Mnożymy obie strony przez t:
2
9,5
19
228
0
t
t
Dzielimy obie strony przez 9,5:
2
2
24
0
t
t
6
4
0
t
t
1
6
t
lub 2
4
t
1t jest sprzeczne z warunkami zadania.
Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz:
114
28,5
4
v
II sposób rozwiązania:
Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu:
114
v t
oraz
9,5
2
114
v
t
Następnie zapisujemy układ równań
114
9,5
2
114
v t
v
t
Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:
114
9,5
2
114
v
v
1083
114
2
19
114
v
v
Mnożymy obie strony przez v
2
2
19
1083
0
v
v
2
19
8 1083
9025
95
1
19
95
4
v
2
19
95
114
28,5
4
4
v
1v jest sprzeczne z warunkami zadania.
Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
III sposób rozwiązania:
Przyjmujemy oznaczenia, np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach, v - średnia
prędkość w kilometrach na godzinę.
Narysowane duże prostokąty reprezentują trasę przebytą przez kolarza w obu sytuacjach
opisanych w zadaniu, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów
są równe. Stąd równość
9,5
2
9,5
t
v
i następnie
9,5
2
2
t
v
i
4,75
2
v
t
Ponieważ trasa przebyta przez kolarza ma długość 114 km, otrzymujemy równanie:
4,75
2
114
t
t
2
4,75
9,5
114
0
t
t
Dzielimy obie strony przez 4,75:
2
2
24
0
t
t
6
4
0
t
t
1
6
t
lub 2
4
t
1t jest sprzeczne z warunkami zadania.
Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz:
114
28,5
4
v
Odp. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę.
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania całej trasy
w godzinach, a v średnią prędkość rowerzysty w kilometrach na godzinę)
114
5,9
2
v
t
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:
114
5,9
2
114
v
t
v
t
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:
114
9,5
2
114
t
t
lub
114
9,5
2
114
v
v
lub
4,75
2
114
t
t
t +2
t
v - 9,5
v
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania
zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki 2 pkt
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
obliczenie czasu:
4
t
lub
6
t
i nie obliczenie prędkości lub obliczenie prędkości
z błędem rachunkowym
albo
obliczenie czasu:
4
t
lub
6
t
i obliczenie prędkości:
28,5
v
i
19
v
i niewyeliminowanie prędkości niezgodnej z warunkami zadania
albo
obliczenie czasu z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości
albo
rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie średniej prędkości, z jaką jechał kolarz:
28,5km/godzinę
v
Uwagi:
rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza
114
9,5
2
v
t
114
114
9,5
2
v t
v
t
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
ujął wyrażenia
2
t
w nawias. Zapis równania
114
9,5
2
v
t
wskazuje na poprawną
interpretację zależności między wielkościami.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza
114
9,5
2
v
t
114
210
9,5
v
t
v
t
411
114
9,5
t
t
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu 411
114
9,5
t
t
zdający
przestawił cyfry w zapisie liczby 114 i pominął liczbę 2 w mianowniku ułamka.
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np.
2
2
19
1083
0
v
v
zamiast równania
2
2
19
1083
0
v
v
(np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie
jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi
wynik, który może być realną prędkością jazdy kolarza, to takie rozwiązanie kwalifikujemy
do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.
Oznaczamy: niech \\(v\\) [km/h] oznacza średnią prędkość kolarza.
\nCzas przejazdu przy prędkości \\(v\\):
\\[t_1 = \\frac{114}{v}\\]
Czas przejazdu przy prędkości o \\(9{,}5\\) km/h mniejszej:
\\[t_2 = \\frac{114}{v - 9{,}5}\\]
Warunek zadania - czas drugi jest o 2 godziny dłuższy:
\\[\\frac{114}{v - 9{,}5} = \\frac{114}{v} + 2\\]
Przenosimy \\(\\frac{114}{v}\\) na lewą stronę:
\\[\\frac{114}{v - 9{,}5} - \\frac{114}{v} = 2\\]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(v(v - 9{,}5)\\):
\\[\\frac{114v - 114(v - 9{,}5)}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]
Upraszczamy licznik:
\\[\\frac{114v - 114v + 114 \\cdot 9{,}5}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]
\\[\\frac{1083}{v(v - 9{,}5)} = 2\\]
Mnożymy obustronnie przez \\(v(v - 9{,}5)\\):
\\[1083 = 2v(v - 9{,}5)\\]
\\[1083 = 2v^2 - 19v\\]
\\[2v^2 - 19v - 1083 = 0\\]
Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-19)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-1083) = 361 + 8664 = 9025\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{9025} = 95\\]
Pierwiastki:
\\[v_1 = \\frac{19 + 95}{4} = \\frac{114}{4} = 28{,}5\\]
\\[v_2 = \\frac{19 - 95}{4} = \\frac{-76}{4} = -19\\]
Prędkość musi być dodatnia, więc \\(v_2 = -19\\) odrzucamy.
\nKolarz jechał ze średnią prędkością \\(\\boldsymbol{28{,}5}\\) km/h.
\nSprawdzamy, czy \\(v = 28{,}5\\) km/h spełnia warunki zadania.
\nCzas przy prędkości \\(28{,}5\\) km/h:
\\[t_1 = \\frac{114}{28{,}5} = 4 \\text{ h}\\]
Czas przy prędkości \\(28{,}5 - 9{,}5 = 19\\) km/h:
\\[t_2 = \\frac{114}{19} = 6 \\text{ h}\\]
Różnica czasów:
\\[t_2 - t_1 = 6 - 4 = 2 \\text{ h} \\checkmark\\]
Oba warunki zadania są spełnione - odpowiedź jest poprawna.
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tych wzorów do rozwiązania równania kwadratowego \\(2v^2 - 19v - 1083 = 0\\), które powstało po uproszczeniu równania z prędkościami.
\n⚠️ Uwaga: Zapis „prędkość mniejsza o \\(9{,}5\\) km/h" to \\(v - 9{,}5\\), nie \\(v - 9{,}5\\%\\) ani \\(\\frac{v}{9{,}5}\\). Uważaj na słowo „mniejsza o" (różnica) vs „mniejsza \\(n\\) razy" (iloraz).\n
⚠️ Uwaga: Równanie \\(\\frac{114}{v - 9{,}5} = \\frac{114}{v} + 2\\) zawiera mianownik \\(v - 9{,}5\\). Dziedzina: \\(v \\neq 9{,}5\\) i \\(v \\neq 0\\) - oba warunki i tak wyklucza sens fizyczny (prędkość musi być dodatnia i większa niż \\(9{,}5\\) km/h).\n
⚠️ Uwaga: Po rozwiązaniu równania kwadratowego zawsze sprawdź oba pierwiastki pod kątem sensu fizycznego. Tu \\(v_2 = -19 < 0\\) - prędkość ujemna jest bez sensu, odrzucamy.\n
Odpowiedź: Średnia prędkość wynosi \\(v = 28{,}5\\) km/h.
\nOznaczenia: \\(v\\) - szukana prędkość [km/h], \\(t\\) - czas pokonania trasy [h]. Wtedy
\\[v\\cdot t = 114 \\qquad (1)\\]
\\[(v - 9{,}5)(t + 2) = 114 \\qquad (2)\\]
Z (1): \\(v = \\dfrac{114}{t}\\). Wstawiamy do (2):
\\[\\left(\\dfrac{114}{t} - 9{,}5\\right)(t+2) = 114.\\]
\\[114 + \\dfrac{228}{t} - 9{,}5t - 19 = 114.\\]
\\[\\dfrac{228}{t} - 9{,}5t - 19 = 0 \\quad\\Big/\\cdot t.\\]
\\[228 - 9{,}5t^2 - 19t = 0.\\]
\\[9{,}5t^2 + 19t - 228 = 0 \\quad\\Big/:9{,}5.\\]
\\[t^2 + 2t - 24 = 0.\\]
\\[(t+6)(t-4) = 0.\\]
\\[t = -6\\ \\text{(odrzucamy, bo } t>0\\text{)}\\ \\text{lub}\\ t = 4.\\]
Zatem \\(t = 4\\) h, a
\\[v = \\dfrac{114}{4} = 28{,}5\\ \\text{km/h}.\\]
Z (1): \\(t = \\dfrac{114}{v}\\). Wstawiamy do (2):
\\[(v-9{,}5)\\left(\\dfrac{114}{v}+2\\right) = 114.\\]
\\[114 + 2v - \\dfrac{1083}{v} - 19 = 114.\\]
\\[2v - \\dfrac{1083}{v} - 19 = 0 \\quad\\Big/\\cdot v.\\]
\\[2v^2 - 19v - 1083 = 0.\\]
\\[\\Delta = 19^2 + 8\\cdot 1083 = 361 + 8664 = 9025,\\quad\\sqrt{\\Delta} = 95.\\]
\\[v = \\dfrac{19\\pm 95}{4}.\\]
\\[v_1 = \\dfrac{-76}{4} = -19\\ \\text{(odrzucamy)},\\qquad v_2 = \\dfrac{114}{4} = 28{,}5.\\]
\\(v = 28{,}5\\) km/h, \\(t = 4\\) h, trasa \\(= 114\\) km ✓.
\\(v' = 19\\) km/h, \\(t' = 6\\) h, trasa \\(= 19\\cdot 6 = 114\\) km, \\(t' - t = 2\\) h ✓.
Pamiętaj: zadania ze zmianą prędkości/czasu sprowadzają się do układu z drogą \\(=s\\) niezmienioną; wybór niewiadomej \\(t\\) lub \\(v\\) to kwestia wygody.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$v = 28{,}5$ km/h
"}]}