{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nLiczba \n\n2\n2\n3 2\n\njest równa\nA.\n14\n\nB. 22\nC.\n14 12 2\n\n\nD. 22 12 2\n\nLiczba (2 - 3 * pierwiastek z 2)^2 jest równa A. -14, B. 22, C. -14 - 12 pierwiasteków z 2, D. 22 - 12 pierwiastków z 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykonuje obliczenia z wykorzystaniem\nwzorów skróconego mnożenia.\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(22 - 12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2\\)\n\nRozpoznajemy postać \\((a - b)^2\\), gdzie \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).\n\nStosujemy wzór:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 2^2 - 2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} + \\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\\[2^2 = 4\\]\n\\[2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\]\n\\[\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wymnożenie „na krzyż\" (bez wzoru)\n\nZapisujemy jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:\n\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = \\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\]\n\nMnożymy każdy wyraz przez każdy:\n\\[= 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right) + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot 2 + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\]\n\\[= 4 - 6\\sqrt{2} - 6\\sqrt{2} + 9 \\cdot 2\\]\n\\[= 4 - 12\\sqrt{2} + 18\\]\n\\[= \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]\n\nWynik ten samo - odpowiedź **D** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - to podstawowy wzór, który trzeba znać na pamięć.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 3^2 \\cdot \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(-14\\) | Uczeń liczy \\(2^2 - (3\\sqrt{2})^2 = 4 - 18 = -14\\), czyli stosuje wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast \\((a-b)^2\\) |\n| **B** \\(22\\) | Uczeń poprawnie liczy część całkowitą \\(4 + 18 = 22\\), ale zapomina o środkowym składniku \\(-12\\sqrt{2}\\) |\n| **C** \\(-14 - 12\\sqrt{2}\\) | Połączenie dwóch błędów: liczy \\(4 - 18 = -14\\) zamiast \\(4 + 18 = 22\\), ale dodaje środkowy składnik \\(-12\\sqrt{2}\\) - błędny znak przy \\(b^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a-b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To jest jeden z najczęstszych błędów. Wzór na różnicę kwadratów to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\) potęgujemy **cały** wyraz - zarówno \\(3\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\). Wynik to \\(9 \\cdot 2 = 18\\), nie \\(3 \\cdot 2 = 6\\) ani \\(9\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik zawiera \\(\\sqrt{2}\\) - jest to liczba niewymierna i **nie upraszczamy** jej dalej. Odpowiedź \\(22 - 12\\sqrt{2}\\) jest już w najprostszej postaci.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nKorzystamy z \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):\n\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 2^2 - 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} + (3\\sqrt{2})^2.\\]\nObliczamy każdy składnik:\n\\[2^2 = 4,\\quad 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2},\\quad (3\\sqrt{2})^2 = 9\\cdot 2 = 18.\\]\n\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = 22 - 12\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(\\sqrt{2}\\approx 1{,}414\\); \\(2 - 3\\cdot 1{,}414 = 2 - 4{,}243 = -2{,}243\\).\n\\((-2{,}243)^2 \\approx 5{,}03\\).\nZ drugiej strony \\(22 - 12\\cdot 1{,}414 \\approx 22 - 16{,}97 \\approx 5{,}03\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-14\\)** - to \\(2^2 - (3\\sqrt{2})^2 = 4 - 18\\), czyli błędne zastosowanie wzoru \\((a-b)(a+b)\\).\n- **B. \\(22\\)** - pominięto składnik \\(-2ab\\).\n- **C. \\(-14-12\\sqrt{2}\\)** - błąd: \\(-14\\) zamiast \\(+22\\).\n\n**Pamiętaj:** \\((a-b)^2 \\ne a^2 - b^2\\); środkowy wyraz \\(-2ab\\) musi być.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Liczba 

2
2
3 2

jest równa
A.
14

B. 22
C.
14 12 2


D. 22 12 2

Liczba (2 - 3 * pierwiastek z 2)^2 jest równa A. -14, B. 22, C. -14 - 12 pierwiasteków z 2, D. 22 - 12 pierwiastków z 2

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykonuje obliczenia z wykorzystaniem
wzorów skróconego mnożenia.
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(22 - 12\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2\\)

\n

Rozpoznajemy postać \\((a - b)^2\\), gdzie \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).

\n

Stosujemy wzór:
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]

\n

Podstawiamy:
\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 2^2 - 2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} + \\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\]

\n

Liczymy każdy składnik osobno:
\\[2^2 = 4\\]
\\[2 \\cdot 2 \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\]
\\[\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]

\n

Składamy razem:
\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]

\n

Sposób 2 - Wymnożenie „na krzyż" (bez wzoru)

\n

Zapisujemy jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:
\\[\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)^2 = \\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(2 - 3\\sqrt{2}\\right)\\]

\n

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:
\\[= 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right) + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot 2 + \\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\cdot\\left(-3\\sqrt{2}\\right)\\]
\\[= 4 - 6\\sqrt{2} - 6\\sqrt{2} + 9 \\cdot 2\\]
\\[= 4 - 12\\sqrt{2} + 18\\]
\\[= \\boxed{22 - 12\\sqrt{2}}\\]

\n

Wynik ten samo - odpowiedź D jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - to podstawowy wzór, który trzeba znać na pamięć.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]
Użyliśmy przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2 = 3^2 \\cdot \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(-14\\) | Uczeń liczy \\(2^2 - (3\\sqrt{2})^2 = 4 - 18 = -14\\), czyli stosuje wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast \\((a-b)^2\\) |
| B \\(22\\) | Uczeń poprawnie liczy część całkowitą \\(4 + 18 = 22\\), ale zapomina o środkowym składniku \\(-12\\sqrt{2}\\) |
| C \\(-14 - 12\\sqrt{2}\\) | Połączenie dwóch błędów: liczy \\(4 - 18 = -14\\) zamiast \\(4 + 18 = 22\\), ale dodaje środkowy składnik \\(-12\\sqrt{2}\\) - błędny znak przy \\(b^2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\((a-b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To jest jeden z najczęstszych błędów. Wzór na różnicę kwadratów to \\((a-b)(a+b)\\), a nie \\((a-b)^2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\left(3\\sqrt{2}\\right)^2\\) potęgujemy cały wyraz - zarówno \\(3\\), jak i \\(\\sqrt{2}\\). Wynik to \\(9 \\cdot 2 = 18\\), nie \\(3 \\cdot 2 = 6\\) ani \\(9\\sqrt{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik zawiera \\(\\sqrt{2}\\) - jest to liczba niewymierna i nie upraszczamy jej dalej. Odpowiedź \\(22 - 12\\sqrt{2}\\) jest już w najprostszej postaci.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

Korzystamy z \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) dla \\(a = 2\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):
\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 2^2 - 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} + (3\\sqrt{2})^2.\\]
Obliczamy każdy składnik:
\\[2^2 = 4,\\quad 2\\cdot 2\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2},\\quad (3\\sqrt{2})^2 = 9\\cdot 2 = 18.\\]
\\[(2-3\\sqrt{2})^2 = 4 - 12\\sqrt{2} + 18 = 22 - 12\\sqrt{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna
\n

\\(\\sqrt{2}\\approx 1{,}414\\); \\(2 - 3\\cdot 1{,}414 = 2 - 4{,}243 = -2{,}243\\).
\\((-2{,}243)^2 \\approx 5{,}03\\).
Z drugiej strony \\(22 - 12\\cdot 1{,}414 \\approx 22 - 16{,}97 \\approx 5{,}03\\) ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\((a-b)^2 \\ne a^2 - b^2\\); środkowy wyraz \\(-2ab\\) musi być.

"}]}