{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nLiczba \n\n2\n\njest miejscem zerowym funkcji liniowej\n\n2\nf x\nmx\n\n\n. Wtedy\nA.\n3\nm \nB.\n1\nm \nC.\n2\nm \nD.\n4\nm \nLiczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy A. m = 3, B. m = 1, C. m = -2, D. m = -4.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznacza wzór funkcji liniowej.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 1\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego do wzoru funkcji\n\nJeśli \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to **z definicji** \\(f(-2) = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = -2\\) do wzoru \\(f(x) = mx + 2\\):\n\n\\[f(-2) = m \\cdot (-2) + 2 = 0\\]\n\n\\[-2m + 2 = 0\\]\n\n\\[-2m = -2\\]\n\n\\[\\boxed{m = 1}\\]\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)\n\nPodstawiamy \\(m = 1\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(x) = 1 \\cdot x + 2 = x + 2\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym:\n\n\\[f(-2) = -2 + 2 = 0 \\checkmark\\]\n\nRzeczywiście \\(f(-2) = 0\\), więc \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f(x) = x + 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (wartość argumentu, dla której funkcja przyjmuje wartość \\(0\\)) oraz podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(m = 3\\) | Uczeń podstawia \\(f(m) = 0\\) zamiast \\(f(-2) = 0\\), czyli wpisuje \\(x = m\\) i rozwiązuje \\(m \\cdot m + 2 = 0\\), co daje \\(m^2 = -2\\) - bez sensu. Lub po prostu zgaduje. |\n| C: \\(m = -2\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z parametrem - bo argument to \\(-2\\), wpisuje \\(m = -2\\) bez żadnych obliczeń. |\n| D: \\(m = -4\\) | Uczeń popełnia błąd znaku: zapisuje \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = -4\\) (dzieli zamiast tego, że \\(-2m = -2\\) daje \\(m = 1\\), nie \\(m = -4\\)). Błąd rachunkowy przy dzieleniu przez \\(-2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to **argument** (wartość \\(x\\)), dla którego \\(f(x) = 0\\). Trzeba podstawić tę wartość jako \\(x\\) i przyrównać wynik do zera. Nie mylić z wartością funkcji równą \\(-2\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów łatwo zgubić znak. \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = 1\\) - dzielenie obu stron przez \\(-2\\) daje \\(+1\\), nie \\(-4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić** wynik - podstaw obliczone \\(m\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-2) = 0\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nJeśli \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(-2) = 0\\).\n\\[m\\cdot(-2) + 2 = 0.\\]\n\\[-2m = -2.\\]\n\\[m = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać funkcji\nFunkcja \\(f(x) = mx + 2\\) ma miejsce zerowe \\(x_0 = -\\dfrac{2}{m}\\).\n\\[-\\dfrac{2}{m} = -2 \\iff \\dfrac{2}{m} = 2 \\iff m = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = 3\\)** - wtedy \\(f(-2) = -6+2 = -4 \\ne 0\\).\n- **C. \\(m = -2\\)** - wtedy \\(f(-2) = 4+2 = 6\\ne 0\\).\n- **D. \\(m = -4\\)** - wtedy \\(f(-2) = 8+2 = 10\\ne 0\\).\n\n**Pamiętaj:** miejsce zerowe to argument, przy którym wartość funkcji jest równa 0.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 5. (1 pkt)<br>Liczba <br><br>2<br><br>jest miejscem zerowym funkcji liniowej<br><br>2<br>f x<br>mx<br><br><br>. Wtedy<br>A.<br>3<br>m <br>B.<br>1<br>m <br>C.<br>2<br>m <br>D.<br>4<br>m <br>Liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=mx+2. Wtedy A. m = 3, B. m = 1, C. m = -2, D. m = -4.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Wyznacza wzór funkcji liniowej.<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 1\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego do wzoru funkcji</h4>\n<p>Jeśli \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f\\), to <strong>z definicji</strong> \\(f(-2) = 0\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = -2\\) do wzoru \\(f(x) = mx + 2\\):</p>\n<p>\\[f(-2) = m \\cdot (-2) + 2 = 0\\]</p>\n<p>\\[-2m + 2 = 0\\]</p>\n<p>\\[-2m = -2\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 1}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź B jest poprawna.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)</h4>\n<p>Podstawiamy \\(m = 1\\) do wzoru funkcji:</p>\n<p>\\[f(x) = 1 \\cdot x + 2 = x + 2\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym:</p>\n<p>\\[f(-2) = -2 + 2 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Rzeczywiście \\(f(-2) = 0\\), więc \\((-2)\\) jest miejscem zerowym funkcji \\(f(x) = x + 2\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (wartość argumentu, dla której funkcja przyjmuje wartość \\(0\\)) oraz podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(m = 3\\) | Uczeń podstawia \\(f(m) = 0\\) zamiast \\(f(-2) = 0\\), czyli wpisuje \\(x = m\\) i rozwiązuje \\(m \\cdot m + 2 = 0\\), co daje \\(m^2 = -2\\) - bez sensu. Lub po prostu zgaduje. |<br>| C: \\(m = -2\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z parametrem - bo argument to \\(-2\\), wpisuje \\(m = -2\\) bez żadnych obliczeń. |<br>| D: \\(m = -4\\) | Uczeń popełnia błąd znaku: zapisuje \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = -4\\) (dzieli zamiast tego, że \\(-2m = -2\\) daje \\(m = 1\\), nie \\(m = -4\\)). Błąd rachunkowy przy dzieleniu przez \\(-2\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsce zerowe to <strong>argument</strong> (wartość \\(x\\)), dla którego \\(f(x) = 0\\). Trzeba podstawić tę wartość jako \\(x\\) i przyrównać wynik do zera. Nie mylić z wartością funkcji równą \\(-2\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy przenoszeniu wyrazów łatwo zgubić znak. \\(-2m + 2 = 0 \\Rightarrow -2m = -2 \\Rightarrow m = 1\\) - dzielenie obu stron przez \\(-2\\) daje \\(+1\\), nie \\(-4\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto <strong>sprawdzić</strong> wynik - podstaw obliczone \\(m\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-2) = 0\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego</h5>\n<p>Jeśli \\(x = -2\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(-2) = 0\\).<br>\\[m\\cdot(-2) + 2 = 0.\\]<br>\\[-2m = -2.\\]<br>\\[m = 1.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać funkcji</h5>\n<p>Funkcja \\(f(x) = mx + 2\\) ma miejsce zerowe \\(x_0 = -\\dfrac{2}{m}\\).<br>\\[-\\dfrac{2}{m} = -2 \\iff \\dfrac{2}{m} = 2 \\iff m = 1.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m = 3\\)</strong> - wtedy \\(f(-2) = -6+2 = -4 \\ne 0\\).</li><li><strong>C. \\(m = -2\\)</strong> - wtedy \\(f(-2) = 4+2 = 6\\ne 0\\).</li><li><strong>D. \\(m = -4\\)</strong> - wtedy \\(f(-2) = 8+2 = 10\\ne 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> miejsce zerowe to argument, przy którym wartość funkcji jest równa 0.</p>"}]}