{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności\n4\n7\nx \n\nA.\n3\nx\n-11\nB.\n11\nx\n-3\nC.\n3\nx\n-11\nD.\n11\nx\n-3\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nMatura próbna z matematyki 2010. Zadanie 2. Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x-2|>=3.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystuje pojęcia wartości\nbezwzględnej i jej interpretacje\ngeometryczną; zaznacza na osi liczbowej\nzbiory opisane nierównością.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiór rozwiązań nierówności \\(|x+4| \\leq 7\\) to przedział \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\), czyli odcinek domknięty z obu stron - co przedstawia rysunek **A**.\n\n## Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (nierówność \\(|x-a| \\leq r\\))\n\nZ karty wzorów wiemy, że:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\n\nNasza nierówność: \\(|x + 4| \\leq 7\\), czyli \\(|x - (-4)| \\leq 7\\).\n\nMamy \\(a = -4\\), \\(r = 7\\), więc:\n\\[-4 - 7 \\leq x \\leq -4 + 7\\]\n\\[-11 \\leq x \\leq 3\\]\n\n**Zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\)**\n\nNa osi liczbowej to **domknięty odcinek** od \\(-11\\) do \\(3\\) (oba końce zaznaczone jako \"pełne\" kropki, bo nierówność nieostra \\(\\leq\\)).\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki\n\nWartość bezwzględna z definicji:\n\n\\[|x+4| \\leq 7 \\iff \\begin{cases} x + 4 \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 \\geq 0 \\\\ -(x+4) \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 < 0 \\end{cases}\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x \\geq -4\\)\n\\[x + 4 \\leq 7 \\implies x \\leq 3\\]\nRazem z założeniem: \\(-4 \\leq x \\leq 3\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(x < -4\\)\n\\[-(x+4) \\leq 7 \\implies -x - 4 \\leq 7 \\implies -x \\leq 11 \\implies x \\geq -11\\]\nRazem z założeniem: \\(-11 \\leq x < -4\\)\n\nSuma obu przypadków:\n\\[-11 \\leq x < -4 \\;\\cup\\; -4 \\leq x \\leq 3 \\;=\\; \\langle -11, 3 \\rangle\\]\n\n**Ten sam wynik: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\)**. Zgadza się z Odpowiedzią A.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - wzór na nierówność z wartością bezwzględną:\n\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do natychmiastowego wyznaczenia przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Zbiór na rysunku | Błąd, który do niego prowadzi |\n| B | \\((-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Pomylono \\(\\leq\\) z \\(\\geq\\) - wzięto dopełnienie; do tego źle policzono granice (\\(-4+7=3\\), nie \\(11\\)) |\n| C | Odcinek \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) | Opis AI wskazuje identyczny wynik jak A - prawdopodobnie różnica w zaznaczeniu końców (np. otwarte zamiast domkniętych) lub inne drobne różnice graficzne |\n| D | \\((-\\infty, -5\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Błędne obliczenia: np. \\(-4-7=-11\\) pomylono z \\(-5\\), i znów wzięto dopełnienie zamiast przedziału domkniętego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|x+4|\\) to \\(|x - (-4)|\\), nie \\(|x - 4|\\). Środek przedziału to \\(-4\\), a nie \\(+4\\). Błąd znaku to **najczęstszy błąd** w tym typie zadania - daje przedział \\(\\langle -3, 11 \\rangle\\) zamiast poprawnego \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\leq\\) (nieostra) daje przedział **domknięty** \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań, więc na osi liczbowej zaznaczamy **pełne kropki**. Przy \\(<\\) byłyby puste.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(|x+4| \\leq 7\\) (jeden przedział domknięty) z \\(|x+4| \\geq 7\\) (suma dwóch nieograniczonych ramion). Odpowiedzi B i D to właśnie pułapka dla tych, którzy odwrócą kierunek nierówności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie\nNierówność \\(|x+4|\\le 7\\) jest równoważna\n\\[-7 \\le x+4 \\le 7.\\]\nOdejmując \\(4\\) od każdej ze stron:\n\\[-11 \\le x \\le 3.\\]\nZbiorem rozwiązań jest przedział domknięty \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna\n\\(|x+4| = |x-(-4)|\\) to odległość \\(x\\) od \\(-4\\). Nierówność \\(|x-(-4)|\\le 7\\) oznacza: wszystkie liczby odległe od \\(-4\\) o nie więcej niż \\(7\\).\nKońce: \\(-4 - 7 = -11\\) oraz \\(-4 + 7 = 3\\). Przedział \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Przedział \\(\\langle -3, 11\\rangle\\) - odpowiada \\(|x-4|\\le 7\\), nie \\(|x+4|\\le 7\\).\n- **C.** Dopełnienie \\(\\langle -11, 3\\rangle\\) - odpowiada \\(|x+4|\\ge 7\\).\n- **D.** Dopełnienie \\(\\langle -3, 11\\rangle\\) - odpowiada \\(|x-4|\\ge 7\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(|x-a|\\le r \\iff a-r \\le x \\le a+r\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności
4
7
x 

A.
3
x
-11
B.
11
x
-3
C.
3
x
-11
D.
11
x
-3

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Matura próbna z matematyki 2010. Zadanie 2. Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x-2|>=3.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystuje pojęcia wartości
bezwzględnej i jej interpretacje
geometryczną; zaznacza na osi liczbowej
zbiory opisane nierównością.
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Zbiór rozwiązań nierówności \\(|x+4| \\leq 7\\) to przedział \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\), czyli odcinek domknięty z obu stron - co przedstawia rysunek A.

\n

Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (nierówność \\(|x-a| \\leq r\\))

\n

Z karty wzorów wiemy, że:
\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]

\n

Nasza nierówność: \\(|x + 4| \\leq 7\\), czyli \\(|x - (-4)| \\leq 7\\).

\n

Mamy \\(a = -4\\), \\(r = 7\\), więc:
\\[-4 - 7 \\leq x \\leq -4 + 7\\]
\\[-11 \\leq x \\leq 3\\]

\n

Zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\)

\n

Na osi liczbowej to domknięty odcinek od \\(-11\\) do \\(3\\) (oba końce zaznaczone jako "pełne" kropki, bo nierówność nieostra \\(\\leq\\)).

\n

Sposób 2 - Rozbicie na dwa przypadki

\n

Wartość bezwzględna z definicji:

\n

\\[|x+4| \\leq 7 \\iff \\begin{cases} x + 4 \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 \\geq 0 \\\\ -(x+4) \\leq 7 & \\text{gdy } x + 4 < 0 \\end{cases}\\]

\n

Przypadek 1: \\(x \\geq -4\\)
\\[x + 4 \\leq 7 \\implies x \\leq 3\\]
Razem z założeniem: \\(-4 \\leq x \\leq 3\\)

\n

Przypadek 2: \\(x < -4\\)
\\[-(x+4) \\leq 7 \\implies -x - 4 \\leq 7 \\implies -x \\leq 11 \\implies x \\geq -11\\]
Razem z założeniem: \\(-11 \\leq x < -4\\)

\n

Suma obu przypadków:
\\[-11 \\leq x < -4 \\;\\cup\\; -4 \\leq x \\leq 3 \\;=\\; \\langle -11, 3 \\rangle\\]

\n

Ten sam wynik: \\(x \\in \\langle -11, 3 \\rangle\\). Zgadza się z Odpowiedzią A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - wzór na nierówność z wartością bezwzględną:
\\[|x - a| \\leq r \\iff a - r \\leq x \\leq a + r\\]
Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do natychmiastowego wyznaczenia przedziału.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Zbiór na rysunku | Błąd, który do niego prowadzi |
| B | \\((-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Pomylono \\(\\leq\\) z \\(\\geq\\) - wzięto dopełnienie; do tego źle policzono granice (\\(-4+7=3\\), nie \\(11\\)) |
| C | Odcinek \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) | Opis AI wskazuje identyczny wynik jak A - prawdopodobnie różnica w zaznaczeniu końców (np. otwarte zamiast domkniętych) lub inne drobne różnice graficzne |
| D | \\((-\\infty, -5\\rangle \\cup \\langle 11, +\\infty)\\) | Błędne obliczenia: np. \\(-4-7=-11\\) pomylono z \\(-5\\), i znów wzięto dopełnienie zamiast przedziału domkniętego |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(|x+4|\\) to \\(|x - (-4)|\\), nie \\(|x - 4|\\). Środek przedziału to \\(-4\\), a nie \\(+4\\). Błąd znaku to najczęstszy błąd w tym typie zadania - daje przedział \\(\\langle -3, 11 \\rangle\\) zamiast poprawnego \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\(\\leq\\) (nieostra) daje przedział domknięty \\(\\langle -11, 3 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań, więc na osi liczbowej zaznaczamy pełne kropki. Przy \\(<\\) byłyby puste.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(|x+4| \\leq 7\\) (jeden przedział domknięty) z \\(|x+4| \\geq 7\\) (suma dwóch nieograniczonych ramion). Odpowiedzi B i D to właśnie pułapka dla tych, którzy odwrócą kierunek nierówności.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie
\n

Nierówność \\(|x+4|\\le 7\\) jest równoważna
\\[-7 \\le x+4 \\le 7.\\]
Odejmując \\(4\\) od każdej ze stron:
\\[-11 \\le x \\le 3.\\]
Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).

\n
Sposób 2 - Interpretacja geometryczna
\n

\\(|x+4| = |x-(-4)|\\) to odległość \\(x\\) od \\(-4\\). Nierówność \\(|x-(-4)|\\le 7\\) oznacza: wszystkie liczby odległe od \\(-4\\) o nie więcej niż \\(7\\).
Końce: \\(-4 - 7 = -11\\) oraz \\(-4 + 7 = 3\\). Przedział \\(\\langle -11, 3\\rangle\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(|x-a|\\le r \\iff a-r \\le x \\le a+r\\).

"}]}