{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDana jest parabola o równaniu\n2\n8\n14\ny\nx\nx\n\n\n\n. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej\nparaboli jest równa\nA.\n8\nx \nB.\n4\nx \nC.\n4\nx \nD.\n8\nx \nDana jest parabola o równaniu y=x^2+8x-14. Pierwsza wspórzędna wierzchołka tej paraboli jest równa A. x = -8, B. x = -4, C. x = 4, D. x = 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznacza pierwszą współrzędną\nwierzchołka paraboli.\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli\n\nMamy parabolę w postaci ogólnej:\n\\[y = x^2 + 8x - 14\\]\n\nczyli \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), \\(c = -14\\).\n\nPierwsza współrzędna wierzchołka (odcięta) dana jest wzorem:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{8}{2 \\cdot 1} = -\\frac{8}{2} = -4\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Dopełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(y = x^2 + 8x - 14\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 + 8x - 14\\]\n\\[y = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 14\\]\n\\[y = (x + 4)^2 - 30\\]\n\nPostać kanoniczna to \\(y = 1 \\cdot (x - (-4))^2 + (-30)\\), więc wierzchołek to:\n\\[W = (-4,\\ -30)\\]\n\n**Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\noraz postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\n\nOba sposoby rozwiązania korzystają bezpośrednio z tych wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(x = -8\\) | Wzięto samo \\(-b\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pominięto dzielenie przez \\(2a\\) |\n| C: \\(x = 4\\) | Pominięto minus w \\(-\\frac{b}{2a}\\), licząc \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{8}{2} = 4\\) |\n| D: \\(x = 8\\) | Przepisano wartość \\(b\\) jako wynik, bez żadnego obliczenia |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Bardzo łatwo go pominąć i dostać \\(+4\\) zamiast \\(-4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(b\\) z \\(b^2\\) - do wyznaczenia \\(p\\) nie potrzeba delty, tylko samego \\(b\\) i \\(a\\). Delta przydaje się do liczenia \\(q\\) (drugiej współrzędnej wierzchołka).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie dopełniania do kwadratu pamiętaj, że \\((x+4)^2 = x^2 + 8x + 16\\) - musisz dodać i odjąć \\(16\\), żeby nie zmienić wartości wyrażenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka\nDla \\(y = ax^2+bx+c\\) mamy \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\).\nTutaj \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), więc\n\\[x_W = -\\dfrac{8}{2\\cdot 1} = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nUzupełniamy do kwadratu:\n\\[x^2+8x-14 = (x+4)^2 - 16 - 14 = (x+4)^2 - 30.\\]\nWierzchołek: \\(x_W = -4\\), \\(y_W = -30\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria\nMiejsca zerowe \\(x^2+8x-14 = 0\\): \\(x_{1,2} = \\dfrac{-8 \\pm \\sqrt{64+56}}{2} = \\dfrac{-8\\pm\\sqrt{120}}{2}\\).\nŚrednia: \\(x_W = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - to wartość \\(-b\\), brak dzielenia przez \\(2a\\).\n- **C. \\(4\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(8\\)** - ktoś wziął \\(+b\\) bez minusa.\n\n**Pamiętaj:** \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Dana jest parabola o równaniu
2
8
14
y
x
x



. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej
paraboli jest równa
A.
8
x 
B.
4
x 
C.
4
x 
D.
8
x 
Dana jest parabola o równaniu y=x^2+8x-14. Pierwsza wspórzędna wierzchołka tej paraboli jest równa A. x = -8, B. x = -4, C. x = 4, D. x = 8

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznacza pierwszą współrzędną
wierzchołka paraboli.
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -4\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli

\n

Mamy parabolę w postaci ogólnej:
\\[y = x^2 + 8x - 14\\]

\n

czyli \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), \\(c = -14\\).

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka (odcięta) dana jest wzorem:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]

\n

Podstawiamy:
\\[p = -\\frac{8}{2 \\cdot 1} = -\\frac{8}{2} = -4\\]

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\).

\n

Sposób 2 - Dopełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)

\n

Przekształcamy \\(y = x^2 + 8x - 14\\) do postaci kanonicznej \\(y = a(x-p)^2 + q\\):

\n

\\[y = x^2 + 8x - 14\\]
\\[y = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 14\\]
\\[y = (x + 4)^2 - 30\\]

\n

Postać kanoniczna to \\(y = 1 \\cdot (x - (-4))^2 + (-30)\\), więc wierzchołek to:
\\[W = (-4,\\ -30)\\]

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi \\(x = -4\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
oraz postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]

\n

Oba sposoby rozwiązania korzystają bezpośrednio z tych wzorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(x = -8\\) | Wzięto samo \\(-b\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a}\\) - pominięto dzielenie przez \\(2a\\) |
| C: \\(x = 4\\) | Pominięto minus w \\(-\\frac{b}{2a}\\), licząc \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{8}{2} = 4\\) |
| D: \\(x = 8\\) | Przepisano wartość \\(b\\) jako wynik, bez żadnego obliczenia |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na wierzchołek to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Bardzo łatwo go pominąć i dostać \\(+4\\) zamiast \\(-4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(b\\) z \\(b^2\\) - do wyznaczenia \\(p\\) nie potrzeba delty, tylko samego \\(b\\) i \\(a\\). Delta przydaje się do liczenia \\(q\\) (drugiej współrzędnej wierzchołka).
\n
⚠️ Uwaga: W metodzie dopełniania do kwadratu pamiętaj, że \\((x+4)^2 = x^2 + 8x + 16\\) - musisz dodać i odjąć \\(16\\), żeby nie zmienić wartości wyrażenia.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka
\n

Dla \\(y = ax^2+bx+c\\) mamy \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\).
Tutaj \\(a = 1\\), \\(b = 8\\), więc
\\[x_W = -\\dfrac{8}{2\\cdot 1} = -4.\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

Uzupełniamy do kwadratu:
\\[x^2+8x-14 = (x+4)^2 - 16 - 14 = (x+4)^2 - 30.\\]
Wierzchołek: \\(x_W = -4\\), \\(y_W = -30\\).

\n
Sposób 3 - Symetria
\n

Miejsca zerowe \\(x^2+8x-14 = 0\\): \\(x_{1,2} = \\dfrac{-8 \\pm \\sqrt{64+56}}{2} = \\dfrac{-8\\pm\\sqrt{120}}{2}\\).
Średnia: \\(x_W = \\dfrac{x_1+x_2}{2} = \\dfrac{-8}{2} = -4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(x_W = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest kluczowy.

"}]}