{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest\n\n2,\n\n.\nA.\nB.\nC.\nD.\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\n-2\n-1\n1\n2\n3\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nWskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest <-2,+oo).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nOdczytuje z wykresu zbiór wartości\nfunkcji.\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nParabola otwarta **w górę** z wierzchołkiem na wysokości \\(y = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej\n\n**Krok 1: Co mówi nam zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\)?**\n\nZbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza, że:\n- funkcja przyjmuje **wszystkie wartości większe lub równe** \\(-2\\),\n- wartość minimalna wynosi \\(-2\\) - to jest **dolne ograniczenie**,\n- funkcja rośnie bez ograniczenia ku górze (\\(+\\infty\\)).\n\n**Krok 2: Jaki kształt paraboli?**\n\nPonieważ wartości idą do \\(+\\infty\\), a istnieje minimum - parabola musi być otwarta **w górę** (\\(a > 0\\)).\n\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad a > 0\\]\n\n**Krok 3: Gdzie jest wierzchołek?**\n\nMinimum funkcji kwadratowej otwartej w górę to **wartość \\(q\\)** w wierzchołku \\(W = (p, q)\\).\n\nSkoro minimum \\(= -2\\), to:\n\\[q = -2\\]\n\n**Wniosek:** Szukamy paraboli otwartej w górę, której wierzchołek leży na poziomie \\(y = -2\\).\n\nOdpowiedź **B** pokazuje dokładnie taki wykres. ✓\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez analizę pozostałych odpowiedzi\n\nSprawdzamy, jakie zbiory wartości odpowiadają pozostałym wykresom:\n\n| Wykres | Kierunek otwarcia | Wierzchołek \\(q\\) | Zbiór wartości |\n| A | w górę ↑ | \\(q > 0\\) | \\(\\langle q, +\\infty)\\), gdzie \\(q > 0\\) - **nie pasuje** |\n| **B** | **w górę ↑** | \\(q = -2\\) | \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓ |\n| C | w dół ↓ | \\(q > 0\\) | \\((-\\infty, q\\rangle\\), gdzie \\(q > 0\\) - **nie pasuje** |\n| D | w dół ↓ | \\(q \\approx -2\\) | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - **nie pasuje** |\n\nTylko B daje zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n- Gdy \\(a > 0\\): funkcja ma **minimum** równe \\(q\\), zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\)\n- Gdy \\(a < 0\\): funkcja ma **maksimum** równe \\(q\\), zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\)\n\nTego wzoru używamy do odczytu zbioru wartości bezpośrednio z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Parabola otwarta w górę - dobry kierunek, ale wierzchołek powyżej osi \\(x\\) (\\(q > 0\\)), więc zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) z \\(q > 0\\), nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |\n| C | Parabola otwarta w **dół** - zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\), a nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\). Typowy błąd: patrzymy na wartość \\(q = -2\\), ale zapominamy sprawdzić kierunek otwarcia |\n| D | Parabola otwarta w **dół** z wierzchołkiem przy \\(y \\approx -2\\) - zbiór wartości to \\((-\\infty, -2\\rangle\\), czyli \"odwrócony\" przedział |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias \\(\\langle\\) (domknięty) od lewej oznacza, że **minimum jest osiągane** - to wskazuje na parabolę otwartą w górę. Nawias \\((-\\infty,\\) od lewej oznacza, że nie ma minimum - parabola w dół!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów skupia się tylko na wartości \\(-2\\) i wybiera każdą parabolę, której wierzchołek jest blisko \\(y = -2\\) - zapominając sprawdzić kierunek otwarcia. Sprawdź ZAWSZE **dwa warunki**: wartość \\(q\\) **oraz** znak \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ≠ \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - to zbiory \"lustrzane\"! Odpowiedź D daje właśnie ten \"odwrócony\" przedział.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\nZbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza:\n- parabola otwiera się **do góry** (\\(a > 0\\), bo zbiór wartości jest nieograniczony z góry),\n- minimum funkcji wynosi \\(y_{\\min} = -2\\), czyli druga współrzędna wierzchołka to \\(-2\\).\n\nSzukamy rysunku, na którym parabola otwiera się do góry, a jej wierzchołek leży na wysokości \\(y = -2\\). To jest rysunek **B**.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A. Parabola otwarta w górę, ale wierzchołek na wysokości \\(\\approx 1\\) → zbiór wartości \\(\\langle 1, +\\infty)\\) ✗\n- B. Parabola otwarta w górę, wierzchołek na wysokości \\(-2\\) ✓\n- C, D. Paraboli otwierające się w dół mają zbiór wartości \\((-\\infty, y_W\\rangle\\) ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Dolna granica zbioru wartości jest inna (wyższa niż \\(-2\\)).\n- **C, D.** Paraboli otwierające się w dół dają zbiór w postaci \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).\n\n**Pamiętaj:** zbiór wartości paraboli z \\(a>0\\) to \\(\\langle y_W, +\\infty)\\); z \\(a<0\\) - \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest

2,

.
A.
B.
C.
D.
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest <-2,+oo).

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Odczytuje z wykresu zbiór wartości
funkcji.
B
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Parabola otwarta w górę z wierzchołkiem na wysokości \\(y = -2\\).

\n

Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej

\n

Krok 1: Co mówi nam zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\)?

\n

Zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza, że:

\n\n

Krok 2: Jaki kształt paraboli?

\n

Ponieważ wartości idą do \\(+\\infty\\), a istnieje minimum - parabola musi być otwarta w górę (\\(a > 0\\)).

\n

\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad a > 0\\]

\n

Krok 3: Gdzie jest wierzchołek?

\n

Minimum funkcji kwadratowej otwartej w górę to wartość \\(q\\) w wierzchołku \\(W = (p, q)\\).

\n

Skoro minimum \\(= -2\\), to:
\\[q = -2\\]

\n

Wniosek: Szukamy paraboli otwartej w górę, której wierzchołek leży na poziomie \\(y = -2\\).

\n

Odpowiedź B pokazuje dokładnie taki wykres. ✓

\n

Sposób 2 - Eliminacja przez analizę pozostałych odpowiedzi

\n

Sprawdzamy, jakie zbiory wartości odpowiadają pozostałym wykresom:

\n

| Wykres | Kierunek otwarcia | Wierzchołek \\(q\\) | Zbiór wartości |
| A | w górę ↑ | \\(q > 0\\) | \\(\\langle q, +\\infty)\\), gdzie \\(q > 0\\) - nie pasuje |
| B | w górę ↑ | \\(q = -2\\) | \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓ |
| C | w dół ↓ | \\(q > 0\\) | \\((-\\infty, q\\rangle\\), gdzie \\(q > 0\\) - nie pasuje |
| D | w dół ↓ | \\(q \\approx -2\\) | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - nie pasuje |

\n

Tylko B daje zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]

\n\n

Tego wzoru używamy do odczytu zbioru wartości bezpośrednio z wykresu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Parabola otwarta w górę - dobry kierunek, ale wierzchołek powyżej osi \\(x\\) (\\(q > 0\\)), więc zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) z \\(q > 0\\), nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |
| C | Parabola otwarta w dół - zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\), a nie \\(\\langle -2, +\\infty)\\). Typowy błąd: patrzymy na wartość \\(q = -2\\), ale zapominamy sprawdzić kierunek otwarcia |
| D | Parabola otwarta w dół z wierzchołkiem przy \\(y \\approx -2\\) - zbiór wartości to \\((-\\infty, -2\\rangle\\), czyli "odwrócony" przedział |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nawias \\(\\langle\\) (domknięty) od lewej oznacza, że minimum jest osiągane - to wskazuje na parabolę otwartą w górę. Nawias \\((-\\infty,\\) od lewej oznacza, że nie ma minimum - parabola w dół!
\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów skupia się tylko na wartości \\(-2\\) i wybiera każdą parabolę, której wierzchołek jest blisko \\(y = -2\\) - zapominając sprawdzić kierunek otwarcia. Sprawdź ZAWSZE dwa warunki: wartość \\(q\\) oraz znak \\(a\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ≠ \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - to zbiory "lustrzane"! Odpowiedź D daje właśnie ten "odwrócony" przedział.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Analiza zbioru wartości
\n

Zbiór wartości \\(\\langle -2, +\\infty)\\) oznacza:

\n\n

Szukamy rysunku, na którym parabola otwiera się do góry, a jej wierzchołek leży na wysokości \\(y = -2\\). To jest rysunek B.

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: zbiór wartości paraboli z \\(a>0\\) to \\(\\langle y_W, +\\infty)\\); z \\(a<0\\) - \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).

"}]}