{"id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2012,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nZbiorem rozwiązań nierówności \n\n6\n0\nx x \n\njest\nA. \n\n6,0\n\nB. \n\n0,6\nC. \n\n\n\n, 6\n0,\n\n\n\nD. \n\n\n\n,0\n6,\n\n\n\nZbiorem rozwiązań nierówności x(x+6) < 0 jest A. (-6,0), B. (0,6), C. (-oo,-6)u(0,+oo), D. (-oo,0)u(6,+oo)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązuje nierówności kwadratowe;\nzapisuje rozwiązanie w postaci\nprzedziałów liczbowych.\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-6, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Miejsca zerowe i znak paraboli\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** lewej strony nierówności:\n\\[x(x+6) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nMamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x(x+6) = x^2 + 6x\\) z **współczynnikiem \\(a = 1 > 0\\)**, więc parabola jest skierowana **ramionami ku górze** (∪).\n\nDla paraboli skierowanej w górę:\n- **poniżej osi \\(x\\)** (czyli \\(f(x) < 0\\)) - tylko **między** miejscami zerowymi\n- **powyżej osi \\(x\\)** (czyli \\(f(x) > 0\\)) - na zewnątrz miejsc zerowych\n\nSzukamy \\(x(x+6) < 0\\), czyli kiedy funkcja jest **ujemna**:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-6, 0)}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\nNierówność \\(x(x+6) < 0\\) to iloczyn dwóch czynników: \\(x\\) oraz \\((x+6)\\).\n\nIloczyn jest ujemny, gdy **jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny**.\n\nWyznaczamy znaki każdego czynnika na przedziałach wyznaczonych przez zera \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\):\n\n| Przedział | \\(x+6\\) | \\(x\\) | \\(x(x+6)\\) |\n| \\(x < -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-6 < x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-6, 0)\\). **Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - analiza znaku funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]\n\nKluczowa zasada: gdy \\(a > 0\\), funkcja przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\):\n\\[f(x) < 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]\n\nW naszym zadaniu: \\(a = 1 > 0\\), \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\), więc \\(f(x) < 0\\) dla \\(x \\in (-6, 0)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zamiana miejsc zerowych: uczeń widzi \"6\" i przyjmuje zera w \\(0\\) i \\(6\\), zapominając że drugie zero to \\(-6\\), nie \\(6\\) |\n| C | Zamiana znaku nierówności: to jest rozwiązanie \\(x(x+6) > 0\\) - na zewnątrz miejsc zerowych, nie między nimi |\n| D | Podwójny błąd: zamiana miejsca zerowego (\\(-6\\) na \\(6\\)) **i** znaku nierówności jednocześnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli skierowanej **w górę** (\\(a > 0\\)), wartości ujemne są **między** miejscami zerowymi - wielu uczniów intuicyjnie wybiera \"zewnątrz\" (odpowiedź C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały są **otwarte** (nawiasy okrągłe), bo nierówność jest **ostra** (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)). W punktach \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\), więc nie spełnia \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj niepotrzebnie \\(x(x+6)\\) do \\(x^2 + 6x\\) - miejsca zerowe widać od razu z postaci iloczynowej!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i parabola\nTrójmian \\(f(x) = x(x+6) = x^2+6x\\). Miejsca zerowe: \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\).\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1>0\\)), więc parabola otwiera się do góry.\n\nWartości ujemne (\\(f(x)<0\\)) przyjmuje **pomiędzy** miejscami zerowymi:\n\\[x\\in(-6, 0).\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza znaków\n\\(x(x+6)<0\\) oznacza, że czynniki \\(x\\) i \\(x+6\\) mają **różne znaki**.\n- Przypadek 1: \\(x>0\\) i \\(x+6<0\\) → \\(x>0\\) i \\(x<-6\\) → niemożliwe.\n- Przypadek 2: \\(x<0\\) i \\(x+6>0\\) → \\(x<0\\) i \\(x>-6\\) → \\(x\\in(-6, 0)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((0,6)\\)** - pomylone znaki miejsc zerowych.\n- **C.** To jest zbiór rozwiązań \\(x(x+6)>0\\).\n- **D.** Błędne miejsca zerowe i błędny kierunek nierówności.\n\n**Pamiętaj:** dla \\(a>0\\) trójmian jest ujemny między pierwiastkami, dodatni na zewnątrz.","image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2012 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Zbiorem rozwiązań nierówności <br><br>6<br>0<br>x x <br><br>jest<br>A. <br><br>6,0<br><br>B. <br><br>0,6<br>C. <br><br><br><br>, 6<br>0,<br><br><br><br>D. <br><br><br><br>,0<br>6,<br><br><br><br>Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6) &lt; 0 jest A. (-6,0), B. (0,6), C. (-oo,-6)u(0,+oo), D. (-oo,0)u(6,+oo)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Rozwiązuje nierówności kwadratowe;<br>zapisuje rozwiązanie w postaci<br>przedziałów liczbowych.<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2012-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\((-6, 0)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Miejsca zerowe i znak paraboli</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy miejsca zerowe</strong> lewej strony nierówności:<br>\\[x(x+6) = 0\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]</p>\n<p>Mamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x(x+6) = x^2 + 6x\\) z <strong>współczynnikiem \\(a = 1 &gt; 0\\)</strong>, więc parabola jest skierowana <strong>ramionami ku górze</strong> (∪).</p>\n<p>Dla paraboli skierowanej w górę:</p>\n<ul><li><strong>poniżej osi \\(x\\)</strong> (czyli \\(f(x) &lt; 0\\)) - tylko <strong>między</strong> miejscami zerowymi</li><li><strong>powyżej osi \\(x\\)</strong> (czyli \\(f(x) &gt; 0\\)) - na zewnątrz miejsc zerowych</li></ul>\n<p>Szukamy \\(x(x+6) &lt; 0\\), czyli kiedy funkcja jest <strong>ujemna</strong>:</p>\n<p>\\[\\boxed{x \\in (-6, 0)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)</h4>\n<p>Nierówność \\(x(x+6) &lt; 0\\) to iloczyn dwóch czynników: \\(x\\) oraz \\((x+6)\\).</p>\n<p>Iloczyn jest ujemny, gdy <strong>jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny</strong>.</p>\n<p>Wyznaczamy znaki każdego czynnika na przedziałach wyznaczonych przez zera \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\):</p>\n<p>| Przedział | \\(x+6\\) | \\(x\\) | \\(x(x+6)\\) |<br>| \\(x &lt; -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| \\(-6 &lt; x &lt; 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |<br>| \\(x &gt; 0\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |</p>\n<p>Iloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-6, 0)\\). <strong>Wynik zgodny ze Sposobem 1.</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - analiza znaku funkcji kwadratowej:<br>\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad a \\neq 0\\]</p>\n<p>Kluczowa zasada: gdy \\(a &gt; 0\\), funkcja przyjmuje wartości ujemne <strong>między</strong> miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\):<br>\\[f(x) &lt; 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]</p>\n<p>W naszym zadaniu: \\(a = 1 &gt; 0\\), \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\), więc \\(f(x) &lt; 0\\) dla \\(x \\in (-6, 0)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Zamiana miejsc zerowych: uczeń widzi &quot;6&quot; i przyjmuje zera w \\(0\\) i \\(6\\), zapominając że drugie zero to \\(-6\\), nie \\(6\\) |<br>| C | Zamiana znaku nierówności: to jest rozwiązanie \\(x(x+6) &gt; 0\\) - na zewnątrz miejsc zerowych, nie między nimi |<br>| D | Podwójny błąd: zamiana miejsca zerowego (\\(-6\\) na \\(6\\)) <strong>i</strong> znaku nierówności jednocześnie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla paraboli skierowanej <strong>w górę</strong> (\\(a &gt; 0\\)), wartości ujemne są <strong>między</strong> miejscami zerowymi - wielu uczniów intuicyjnie wybiera &quot;zewnątrz&quot; (odpowiedź C).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedziały są <strong>otwarte</strong> (nawiasy okrągłe), bo nierówność jest <strong>ostra</strong> (\\(&lt;\\), nie \\(\\leq\\)). W punktach \\(x = -6\\) i \\(x = 0\\) iloczyn wynosi dokładnie \\(0\\), więc nie spełnia \\(&lt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie rozwijaj niepotrzebnie \\(x(x+6)\\) do \\(x^2 + 6x\\) - miejsca zerowe widać od razu z postaci iloczynowej!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Miejsca zerowe i parabola</h5>\n<p>Trójmian \\(f(x) = x(x+6) = x^2+6x\\). Miejsca zerowe: \\(x_1 = -6\\), \\(x_2 = 0\\).<br>Współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1&gt;0\\)), więc parabola otwiera się do góry.</p>\n<p>Wartości ujemne (\\(f(x)&lt;0\\)) przyjmuje <strong>pomiędzy</strong> miejscami zerowymi:<br>\\[x\\in(-6, 0).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza znaków</h5>\n<p>\\(x(x+6)&lt;0\\) oznacza, że czynniki \\(x\\) i \\(x+6\\) mają <strong>różne znaki</strong>.</p>\n<ul><li>Przypadek 1: \\(x&gt;0\\) i \\(x+6&lt;0\\) → \\(x&gt;0\\) i \\(x&lt;-6\\) → niemożliwe.</li><li>Przypadek 2: \\(x&lt;0\\) i \\(x+6&gt;0\\) → \\(x&lt;0\\) i \\(x&gt;-6\\) → \\(x\\in(-6, 0)\\).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\((0,6)\\)</strong> - pomylone znaki miejsc zerowych.</li><li><strong>C.</strong> To jest zbiór rozwiązań \\(x(x+6)&gt;0\\).</li><li><strong>D.</strong> Błędne miejsca zerowe i błędny kierunek nierówności.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dla \\(a&gt;0\\) trójmian jest ujemny między pierwiastkami, dodatni na zewnątrz.</p>"}]}