{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nPrzedział\n1,3\n\njest opisany nierównością\nA.\n1\n2\nx \n\nB.\n2\n1 \n\nx\nC.\n2\n1 \n\nx\nD.\n1\n2\nx \n\nPrzedział <-1,3> jest opisany nierównością A. |x+1| >= 2, B. |x+1| <= 2, C. |x-1| <=2, D. |x-1| >= 2","answer":"C","answer_text":"3. Jeżeli zdający poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, ale sprawdzi, że spełnione są\nwówczas warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający systematycznie sprawdza, czy są spełnione warunki zadania dla kolejnych\nliczb od 1 do 6 i poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do\nInternetu, to otrzymuje 5 punktów.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 34. (5 pkt)\nWierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne:\n\n\n1, 5\nA \n,\n\n\n5,1\nB \n,\n\n\n1,3\nC \n,\n\n\n2,0\nD \n. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu,\na jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC\ntrapezu ABCD.\nRozwiązanie\nWyznaczamy równania prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu, odpowiednio:\n5\n10\ny\nx\n\n\noraz\n1\n7\n2\n2\ny\nx\n\n\nŚrodkiem okręgu S jest punkt przecięcia się prostych o wyznaczonych równaniach.\nAby wyznaczyć współrzędne punktu S zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:\n5\n10\n1\n7\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n1\n7\n5\n10\n2\n2\nx\nx\n\n\n\n\n, czyli\n3\nx . Zatem\n5\ny \n, czyli\n\n\n3,5\nS \n. Zauważmy, że\npromień szukanego okręgu jest równy odległości punktu S od prostej AB. Trzeba też\nsprawdzić, czy punkt styczności okręgu i prostej AB leży na podstawie tego trapezu.\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt S:\n2\ny\nx\n, a następnie wyznaczamy współrzędne punktu P przecięcia się tej prostej z prostą\nAB. Rozwiązujemy zatem układ równań\n2\n4\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\ni zapisujemy, że\n\n\n3, 1\nP \n\nZauważmy, że punkt P leży między punktami A i B, gdyż\n1\n3\n5\nA\nP\nB\nx\nx\nx\n\n\n\n\nObliczamy promień okręgu r:\n\n\n\n\n2\n2\n3 3\n1 5\n72\n6 2\nr\nSP\n\n\n\n\n\n\nZapisujemy równanie okręgu ośrodku S i promieniu r:\n2\n2\n(\n3)\n(\n5)\n72\nx\ny\n\n\n\n\nUwaga\nPromień okręgu r możemy także wyznaczyć w inny sposób:\n1. Wyznaczamy\nrównanie\nprostej\nAB:\n4\ny\nx\n\n\ni\nobliczamy\npromień\nokręgu:\n3 5\n4\n12\n6 2\n1 1\n2\nr\n\n\n\n\n\n2. Obliczamy pole trójkąta ABS, korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach\n\n\n1, 5\nA \n,\n\n\n5,1\nB \n,\n\n\n3,5\nS \n:\n\n\n\n\n\n\n\n1\n1\n5 1 5 5\n1 5\n3 1\n60\n12\n36\n2\n2\nABS\nP\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nPole trójkąta ABS możemy zapisać w inny sposób:\n1\n2\nABS\nP\nAB r\n\n\n.\nPonieważ\n2\n2\n6\n6\n72\n6 2\nAB \n\n\n\n, to\n1\n36\n6 2\n2\nr\n\n\n. Stąd\n36\n6 2\n3 2\nr \n\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZapisanie równania prostej zawierającej ramię AD trapezu albo równania prostej\nzawierającej ramię BC trapezu, odpowiednio:\n5\n10\ny\nx\n\n\nalbo\n1\n7\n2\n2\ny\nx\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nObliczenie współrzędnych środka okręgu S:\n\n\n3,5\nS \nUwaga\nZdający może podać rozwiązanie układu równań\n5\n10\n1\n7\n2\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\nbez obliczeń.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie promienia r okręgu:","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Przedział
1,3

jest opisany nierównością
A.
1
2
x 

B.
2
1 

x
C.
2
1 

x
D.
1
2
x 

Przedział <-1,3> jest opisany nierównością A. |x+1| >= 2, B. |x+1| <= 2, C. |x-1| <=2, D. |x-1| >= 2

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do
\n

Internetu i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, ale sprawdzi, że spełnione są
wówczas warunki zadania, to otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający systematycznie sprawdza, czy są spełnione warunki zadania dla kolejnych
\n

liczb od 1 do 6 i poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do
Internetu, to otrzymuje 5 punktów.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Zadanie 34. (5 pkt)
Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne:


1, 5
A 
,


5,1
B 
,


1,3
C 
,


2,0
D 
. Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy AB tego trapezu,
a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona AD oraz BC
trapezu ABCD.
Rozwiązanie
Wyznaczamy równania prostych zawierających ramiona AD oraz BC trapezu, odpowiednio:
5
10
y
x


oraz
1
7
2
2
y
x


Środkiem okręgu S jest punkt przecięcia się prostych o wyznaczonych równaniach.
Aby wyznaczyć współrzędne punktu S zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:
5
10
1
7
2
2
y
x
y
x






Stąd
1
7
5
10
2
2
x
x




, czyli
3
x . Zatem
5
y 
, czyli


3,5
S 
. Zauważmy, że
promień szukanego okręgu jest równy odległości punktu S od prostej AB. Trzeba też
sprawdzić, czy punkt styczności okręgu i prostej AB leży na podstawie tego trapezu.
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt S:
2
y
x
, a następnie wyznaczamy współrzędne punktu P przecięcia się tej prostej z prostą
AB. Rozwiązujemy zatem układ równań
2
4
y
x
y
x





i zapisujemy, że


3, 1
P 

Zauważmy, że punkt P leży między punktami A i B, gdyż
1
3
5
A
P
B
x
x
x




Obliczamy promień okręgu r:




2
2
3 3
1 5
72
6 2
r
SP






Zapisujemy równanie okręgu ośrodku S i promieniu r:
2
2
(
3)
(
5)
72
x
y




Uwaga
Promień okręgu r możemy także wyznaczyć w inny sposób:

\n
  1. Wyznaczamy
\n

równanie
prostej
AB:
4
y
x


i
obliczamy
promień
okręgu:
3 5
4
12
6 2
1 1
2
r




\n
  1. Obliczamy pole trójkąta ABS, korzystając ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach
\n



1, 5
A 
,


5,1
B 
,


3,5
S 
:







1
1
5 1 5 5
1 5
3 1
60
12
36
2
2
ABS
P









Pole trójkąta ABS możemy zapisać w inny sposób:
1
2
ABS
P
AB r


.
Ponieważ
2
2
6
6
72
6 2
AB 



, to
1
36
6 2
2
r


. Stąd
36
6 2
3 2
r 

Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zapisanie równania prostej zawierającej ramię AD trapezu albo równania prostej
zawierającej ramię BC trapezu, odpowiednio:
5
10
y
x


albo
1
7
2
2
y
x


Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Obliczenie współrzędnych środka okręgu S:


3,5
S 
Uwaga
Zdający może podać rozwiązanie układu równań
5
10
1
7
2
2
y
x
y
x






bez obliczeń.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie promienia r okręgu:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"}]}