{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n5\nlog\n20\nlog\n2\n2\n\njest równa\nA.\n15\nlog 2\nB. 2\nC. 4\nD.\n2\nlog 25\nWartość wyrażenia log_2 20 - log_2 5 jest równa A. log_2 15, B. 2, C. 4, D. log_2 25","answer":"B","answer_text":"4 jest pierwiastkiem wielomianu\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n4\n3\nx \n. Otrzymujemy iloraz\n2\n3\n3\nx .\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZapisujemy równanie w postaci\n2\n4\n(3\n3)\n0\n3\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\ni dalej\n4\n3\n(\n1)(\n1)\n0\n3\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx , otrzyma iloraz\n2\n3\n4\nx\nx\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n1\nx , otrzyma iloraz\n2\n3\n7\n4\nx\nx\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n4\n3\nx \n, otrzyma iloraz\n2\n3\n3\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n podzieli wielomian\n4\n3\n4\n3\n2\n3\n\n\n\nx\nx\nx\nprzez trójmian\n2\n1\nx , otrzyma iloraz 3\n4\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n3\n4\n\nx\nlub\n1\n\n\nx\nlub\n1\n\nx\nUwaga\nJeżeli zdający poda jedynie dwa pierwiastki wielomianu oraz zbiór\n1\n2\n4\n1, 2, 4,\n,\n,\n3\n3\n3\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nwszystkich liczb wymiernych, w którym znajduje się trzeci\npierwiastek wielomianu, to otrzymuje 1 punkt.\nZadanie 28. (2 pkt)\nKąt  jest ostry i\n7\ncos\n4\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nPonieważ\n\n\n3\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc obliczymy\nsinus tego kąta. Otrzymujemy zatem kolejno\n2\n2\n7\n7\n9\nsin\n1\n1\n4\n16\n16\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\nskąd wynika, że\n3\nsin\n4\n\n( jest kątem ostrym). Zatem wartość tego wyrażenia równa się\n3\n2\n4 .\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n zauważy, że\n3\n2\nsin\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy,\nalbo\n obliczy wartość sinusa danego kąta\n3\nsin\n4\n\ni popełni błąd w obliczeniach.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\njest równa\n3\n2\n4 .\nII sposób rozwiązania\nPonieważ\n\n\n3\n2\n2\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\nsin\ncos\n2\nsin\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, więc obliczymy\nwartość sin. Rysujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , zaś\nprzyprostokątnych równych\n7 i a oraz zaznaczamy kąt ostry α taki, że\n7\ncos\n4\n\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n\n\n2\n2\n2\n7\n4\na \n\n, skąd\n3\na .\nZatem\n3\nsin\n4\n\n, a więc wartość wyrażenia jest równa\n3\n2\n4 .\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n gdy narysuje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , przyprostokątnych\nrównych","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Wartość wyrażenia
5
log
20
log
2
2

jest równa
A.
15
log 2
B. 2
C. 4
D.
2
log 25
Wartość wyrażenia log_2 20 - log_2 5 jest równa A. log_2 15, B. 2, C. 4, D. log_2 25

","answer_text_html":"

4 jest pierwiastkiem wielomianu
4
3
4
3
2
3



x
x
x
. Dzielimy
wielomian
4
3
4
3
2
3



x
x
x
przez dwumian
4
3
x 
. Otrzymujemy iloraz
2
3
3
x .
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Zapisujemy równanie w postaci
2
4
(3
3)
0
3
x
x










i dalej
4
3
(
1)(
1)
0
3
x
x
x










Zatem
3
4

x
lub
1


x
lub
1

x
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 podzieli wielomian
4
3
4
3
2
3



x
x
x
przez dwumian
1
x , otrzyma iloraz
2
3
4
x
x

i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
4
3
4
3
2
3



x
x
x
przez dwumian
1
x , otrzyma iloraz
2
3
7
4
x
x


i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
4
3
4
3
2
3



x
x
x
przez dwumian
4
3
x 
, otrzyma iloraz
2
3
3
x 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
 podzieli wielomian
4
3
4
3
2
3



x
x
x
przez trójmian
2
1
x , otrzyma iloraz 3
4
x 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
3
4

x
lub
1


x
lub
1

x
Uwaga
Jeżeli zdający poda jedynie dwa pierwiastki wielomianu oraz zbiór
1
2
4
1, 2, 4,
,
,
3
3
3











wszystkich liczb wymiernych, w którym znajduje się trzeci
pierwiastek wielomianu, to otrzymuje 1 punkt.
Zadanie 28. (2 pkt)
Kąt  jest ostry i
7
cos
4

. Oblicz wartość wyrażenia
3
2
2
sin
sin
cos






I sposób rozwiązania
Ponieważ


3
2
2
2
2
sin
sin
cos
2
sin
sin
cos
2
sin















, więc obliczymy
sinus tego kąta. Otrzymujemy zatem kolejno
2
2
7
7
9
sin
1
1
4
16
16












,
skąd wynika, że
3
sin
4

( jest kątem ostrym). Zatem wartość tego wyrażenia równa się
3
2
4 .
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
 zauważy, że
3
2
sin
sin
cos
sin







i na tym zakończy lub dalej popełni błędy,
albo
 obliczy wartość sinusa danego kąta
3
sin
4

i popełni błąd w obliczeniach.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze, że wartość wyrażenia
3
2
2
sin
sin
cos






jest równa
3
2
4 .
II sposób rozwiązania
Ponieważ


3
2
2
2
2
sin
sin
cos
2
sin
sin
cos
2
sin















, więc obliczymy
wartość sin. Rysujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , zaś
przyprostokątnych równych
7 i a oraz zaznaczamy kąt ostry α taki, że
7
cos
4

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy


2
2
2
7
4
a 

, skąd
3
a .
Zatem
3
sin
4

, a więc wartość wyrażenia jest równa
3
2
4 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
 gdy narysuje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 4 , przyprostokątnych
równych

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg"}]}