{"id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n1\nsin\n3\n\n. Wartość wyrażenia 1\ntg\ncos\n\n\n\n\njest równa\nA. 4\n3\nB. 11\n9\nC. 17\n9\nD. 11\n3\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nW zadaniach 8, 9 i 10 wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/3. Wartość wyrażenia 1 + tg alfa * cos alfa jest równa A. 4/3, B. 11/9, D. 17/9, D. 11/3.","answer":"A","answer_text":"7 oraz a , zaznaczy kąt ostry α taki, że\n7\ncos\n4\n\n, obliczy długość\ndrugiej przyprostokątnej\n3\na  i na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nalbo\n zauważy, że\n3\n2\nsin\nsin\ncos\nsin\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze, że wartość wyrażenia\n3\n2\n2\nsin\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\njest równa\n3\n2\n4 .\nZadanie 29. (2 pkt)\nOblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa\nod cyfry setek.\nRozwiązanie\nW zapisie każdej z szukanych liczb na pierwszym miejscu (miejscu cyfry tysięcy) może\nwystąpić jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 9 możliwości. Na trzecim miejscu\n(miejscu cyfry dziesiątek) może być jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 10\nmożliwości. Ponieważ cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek, więc na miejscu\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\ndrugim (miejscu cyfry setek) może wystąpić jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i wtedy na\nmiejscu czwartym (miejscu cyfry jedności) wystąpi odpowiednio cyfra: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,\nzatem mamy 7 możliwości, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.\nZatem mamy 9 10 7\n630\n\n\nliczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności\njest o 3 większa od cyfry setek.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n wypisze wszystkie możliwości obsadzenia cyfry setek i cyfry jedności liczby\nczterocyfrowej, w której cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek:\n_0_3, _1_4, _2_5, _3_6, _4_7, _5_8, _6_9 lub zapisze, że jest 7 takich\nmożliwości\nalbo\n zapisze, że cyfrę tysięcy możemy wybrać na 9 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 10 lub\nwypisze te możliwości (np. 1_0_, 1_1_, , 1_9_, 2_0_, 2_1_, , 2_9, , 9_0_,\n9_1_, 9_9_ ) lub obliczy, że jest 90 takich możliwości.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie obliczy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności\njest o 3 większa od cyfry setek: 9 10 7\n630\n\n\nZadanie 30. (2 pkt)\nWykaż, że liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania\nZauważamy, że liczbę\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nmożna\nzapisać w postaci, np.:\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n4\n6\n2\n4\n6\n1 2013\n1 2013 2013\n1 2013 2013\n1 2013 2013\n1 2013 1 2013\n2013\n2013 .\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nLiczbę\n2\n4\n6\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\nzapisujemy w postaci \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\nZatem liczba \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\njest dzielnikiem liczby\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze liczbę\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n2013\n\n\n\n\n\n\n\nw postaci\n\n\n\n2\n4\n6\n1 2013 1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n\ni nie zauważy, że liczbę \n\n\n2\n4\n1 2013\n1 2013\n\n\nmożna zapisać w postaci\n2\n4\n6\n1 2013\n2013\n2013\n\n\n\n,\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nUwaga\nZdający może rozłożyć na czynniki wielomian\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1 x\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n, gdzie\n2013\nx \n. Wtedy zdający otrzymuje 1 punkt za zapisanie tego wielomianu w postaci\niloczynu\n\n\n\n4\n2\n3\n1\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\na za zapisanie, że\n\n\n\n2\n3\n2\n1\n1\n1\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\ni uzasadnienie podzielności otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i
1
sin
3

. Wartość wyrażenia 1
tg
cos




jest równa
A. 4
3
B. 11
9
C. 17
9
D. 11
3

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
W zadaniach 8, 9 i 10 wykorzystaj przedstawione poniżej wykresy funkcji f i g.
Kąt alfa jest ostry i sin alfa = 1/3. Wartość wyrażenia 1 + tg alfa * cos alfa jest równa A. 4/3, B. 11/9, D. 17/9, D. 11/3.

","answer_text_html":"

7 oraz a , zaznaczy kąt ostry α taki, że
7
cos
4

, obliczy długość
drugiej przyprostokątnej
3
a  i na tym zakończy lub dalej popełni błędy
albo
 zauważy, że
3
2
sin
sin
cos
sin







i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze, że wartość wyrażenia
3
2
2
sin
sin
cos






jest równa
3
2
4 .
Zadanie 29. (2 pkt)
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa
od cyfry setek.
Rozwiązanie
W zapisie każdej z szukanych liczb na pierwszym miejscu (miejscu cyfry tysięcy) może
wystąpić jedna z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 9 możliwości. Na trzecim miejscu
(miejscu cyfry dziesiątek) może być jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli mamy 10
możliwości. Ponieważ cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek, więc na miejscu
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
drugim (miejscu cyfry setek) może wystąpić jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i wtedy na
miejscu czwartym (miejscu cyfry jedności) wystąpi odpowiednio cyfra: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
zatem mamy 7 możliwości, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.
Zatem mamy 9 10 7
630


liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności
jest o 3 większa od cyfry setek.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 wypisze wszystkie możliwości obsadzenia cyfry setek i cyfry jedności liczby
czterocyfrowej, w której cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek:
_0_3, _1_4, _2_5, _3_6, _4_7, _5_8, _6_9 lub zapisze, że jest 7 takich
możliwości
albo
 zapisze, że cyfrę tysięcy możemy wybrać na 9 sposobów, a cyfrę dziesiątek na 10 lub
wypisze te możliwości (np. 1_0_, 1_1_, , 1_9_, 2_0_, 2_1_, , 2_9, , 9_0_,
9_1_, 9_9_ ) lub obliczy, że jest 90 takich możliwości.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie obliczy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności
jest o 3 większa od cyfry setek: 9 10 7
630


Zadanie 30. (2 pkt)
Wykaż, że liczba 


2
4
1 2013
1 2013


jest dzielnikiem liczby
2
3
4
5
6
7
1 2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013







I sposób rozwiązania
Zauważamy, że liczbę
2
3
4
5
6
7
1 2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013







można
zapisać w postaci, np.:









2
4
6
2
4
6
1 2013
1 2013 2013
1 2013 2013
1 2013 2013
1 2013 1 2013
2013
2013 .












Liczbę
2
4
6
1 2013
2013
2013



zapisujemy w postaci 


2
4
1 2013
1 2013


Zatem liczba 


2
4
1 2013
1 2013


jest dzielnikiem liczby
2
3
4
5
6
7
1 2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013







Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
zapisze liczbę
2
3
4
5
6
7
1 2013
2013
2013
2013
2013
2013
2013







w postaci



2
4
6
1 2013 1 2013
2013
2013




i nie zauważy, że liczbę 


2
4
1 2013
1 2013


można zapisać w postaci
2
4
6
1 2013
2013
2013



,
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Schemat oceniania
Poziom podstawowy
Uwaga
Zdający może rozłożyć na czynniki wielomian
2
3
4
5
6
7
1 x
x
x
x
x
x
x






, gdzie
2013
x 
. Wtedy zdający otrzymuje 1 punkt za zapisanie tego wielomianu w postaci
iloczynu



4
2
3
1
1
x
x
x
x




,
a za zapisanie, że



2
3
2
1
1
1
x
x
x
x
x






i uzasadnienie podzielności otrzymuje

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg"}]}