{"id":"matematyka-2013-egzamin-gimnazjalny/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-egzamin-gimnazjalny","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-gimnazjalny","year":2013,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-1)\nDokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.\nSuma objętości 8 kul, z których każda ma promień 1, jest taka sama jak objętość jednej kuli\no promieniu\nA.\n3\n8\nB. 8\nC.\n2\n2\nD. 2\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA NA KARTĘ ODPOWIEDZI!","answer":null,"answer_text":"20.\nD\nZadania otwarte\nUWAGA\n Za każde inne niż przedstawione poprawne rozwiązanie przyznajemy maksymalną\nliczbę punktów.\n Jeśli na jakimkolwiek etapie rozwiązania zadania popełniono jeden lub więcej błędów\nrachunkowych, ale zastosowane metody były poprawne, to obniżamy ocenę\nrozwiązania o 1 punkt.\nZadanie 21. (0-3)\nPrzykładowe sposoby rozwiązania\nI sposób\nx - liczba dziewcząt\n0,8x - liczba chłopców\nSytuację przedstawioną w zadaniu opisuje równanie\nx = 0,8x + 3\n0,2x = 3\nx = 15\nOdpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.\nII sposób\nx - liczba dziewcząt\ny - liczba chłopców\nWarunki zadania opisuje układ równań\n3\n8,0\ny\nx\nx\ny\n3\n8,0\n8,0\nx\nx\nx\ny\n3\n2,0\n8,0\nx\nx\ny\n15\n8,0\nx\nx\ny\n15\n12\nx\ny\nOdpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.\nIII sposób\nZ treści zadania wynika, że liczba dziewcząt jest o 3 większa od liczby chłopców\ni jednocześnie liczba chłopców jest o 20% mniejsza niż liczba dziewcząt, czyli 20% liczby\ndziewcząt (x) jest równe 3.\n20% ― 3\n40% ― 6\n100% ― 15\nLiczba dziewcząt jest równa 15.\nlub\n0,2x = 3\nx = 15\nIV sposób (prób i błędów)\nLiczba chłopców stanowi 80% liczby dziewcząt, zatem stosunek liczby chłopców do liczby\ndziewcząt jest równy 10\n8\n= 15\n12\n= 20\n16\n= 25\n20\n= 30\n24\n= 35\n28\nSpośród wszystkich liczb naturalnych, których stosunek jest równy 10\n8 , tylko dla liczb 12 i 15\nróżnica jest równa 3.\nOdpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.\nlub\nx - liczba dziewcząt\ny - liczba chłopców\ny = 0,8x\nx > y\nx = 20, to y = 0,8 ∙ 20 = 16; 16 + 3 = 19 ≠ 20\nx = 19, to y = 0,8 ∙ 19 = 15,2 - nie spełnia warunków zadania\nx = 18, to y = 0,8 ∙ 18 = 14,4 - nie spełnia warunków zadania\nx = 17, to y = 0,8 ∙ 17 = 13,6 - nie spełnia warunków zadania\nx = 16, to y = 0,8 ∙ 16 = 12,8 - nie spełnia warunków zadania\nx = 15, to y = 0,8 ∙ 15 = 12; 12 + 3 = 15 - zgadza się\nAby y było liczbą naturalną, x musi być liczbą podzielną przez 5.\nx = 10, to y = 0,8 ∙ 10 = 8, ale 8 + 3 = 11 > 10\nx = 5, to y = 0,8 ∙ 5 = 4, ale 4 + 3 = 7 > 5\nx = 20, to y = 0,8 ∙ 20 = 16, ale 16 + 3 = 19 < 20\nx = 25, to y = 0,8 ∙ 25 = 20, ale 20 + 3 = 23< 25\nx = 30, to y = 0,8 ∙ 30 = 24, ale 24 + 3 = 27 < 30\nDla x < 15 różnica między x i y jest za mała (mniejsza niż 3), a dla x > 15 różnica ta jest za\nduża (większa od 3). Zatem liczba dziewcząt x = 15 jest jedynym możliwym rozwiązaniem.\nPoziom wykonania\nP6 - 3 punkty - pełne rozwiązanie\nobliczenie liczby dziewcząt w klasie (15 dziewcząt), otrzymane w wyniku rozwiązania\nrównania lub układu równań lub rozumowania\nlub\npodanie odpowiedzi - 15 dziewcząt, uzyskanej metodą prób i błędów (sprawdzenie obu\nwarunków zadania)\nP5 - 2 punkty - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza\nczęść rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru\nwłaściwych rozwiązań itp.)\npoprawne ułożenie równania lub układu równań (I i II sposób)\nlub\nzauważenie, że liczba 3 jest równa 20% liczby dziewcząt (III sposób)\nP2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały\npokonane\nwyrażenie liczby chłopców w zależności od liczby dziewcząt (I sposób)\nlub\nułożenie układu równań, w którym tylko jedno równanie jest poprawne (II sposób)\nlub\nsprawdzenie warunków zadania dla kilku liczb (IV sposób), ale bez znalezienia\npoprawnej odpowiedzi\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\nZadanie 22. (0-2)\nPrzykładowe sposoby rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że:\nCED\nABED\nABCD\nP\nP\nP\nBEF\nABED\nAFD\nP\nP\nP\nAby wykazać równość pól trapezu ABCD i trójkąta AFD wystarczy wykazać, że trójkąty BEF\ni CED są przystające.\nEB\nCE\n- z warunków zadania\n|∢CED = |∢FEB - jako kąty wierzchołkowe\n|∢EBF = |∢ECD - jako kąty naprzemianległe, gdyż (AF||DC)\nStąd trójkąty BEF i CED są przystające (na podstawie cechy przystawania trójkątów kbk)\nczyli mają równe pola.\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nII sposób\nPABCD =\n2\n)\n(\nh\nCD\nAB\nPAFD = 2\n1 AF\n h\nTrapez ABCD i trójkąt AFD mają taką samą wysokość, więc aby wykazać równość ich pól\nwystarczy uzasadnić, że suma dlugości podstaw trapezu jest równa długości podstawy\ntrójkąta.\nTrójkąt CED i trókąt BEF mają kąty parami równe:\n =\n - jako kąty wierzchołkowe,\n =\n - jako kąty naprzemianległe,\n =\n - jako kąty naprzemianległe.\nZ treści zadania wiadomo także, że boki CE i BE tych trójkątów są równe i są to boki\nodpowiednie. Stąd wynika, że trójkąty CED i BEF są przystające, a więc boki CD i BF tych\ntrójkątów też są równe.\nSkoro CD = BF, to AB + CD = AB + BF = AF\nPoziom wykonania\nP6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie\nwykazanie równości pól trapezu i trójkąta wraz z uzasadnieniem przystawania trójkątów\nCED i BEF\nP3 - 1 punkt - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich\npokonywania popełniono błędy\nuzasadnienie, że trójkąty CED i BEF są przystające\nlub\nwykazanie równości pól trapezu i trójkąta bez uzasadnienia przystawania trójkątów CED\ni BEF\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\nA\nh\nB\nF\nE\nC\nD\n\n\n\n\n\n\n\nZadanie 23. (0-4)\nPrzykładowe sposoby rozwiązania\nI sposób\nPb = 80 cm2\nPc = 144 cm2\na - długość krawędzi podstawy ostrosłupa\nb - długość krawędzi bocznej ostrosłupa\nh1 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa\nPp - pole podstawy ostrosłupa\nPp = 144 - 80\nPp = 64 (cm2)\nPonieważ Pp = a2, to a = 8 cm\nPowierzchnię boczną tworzą 4 trójkąty równoramienne.\nP1 - pole jednego trójkąta\nPb = 4 ∙ P1\nP1 = 4","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-egzamin-gimnazjalny/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin gimnazjalny · 2013","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin gimnazjalny","text_html":"

Zadanie 20. (0-1)
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Suma objętości 8 kul, z których każda ma promień 1, jest taka sama jak objętość jednej kuli
o promieniu
A.
3
8
B. 8
C.
2
2
D. 2
PRZENIEŚ ROZWIĄZANIA NA KARTĘ ODPOWIEDZI!

","answer_text_html":"

20.
D
Zadania otwarte
UWAGA
 Za każde inne niż przedstawione poprawne rozwiązanie przyznajemy maksymalną
liczbę punktów.
 Jeśli na jakimkolwiek etapie rozwiązania zadania popełniono jeden lub więcej błędów
rachunkowych, ale zastosowane metody były poprawne, to obniżamy ocenę
rozwiązania o 1 punkt.
Zadanie 21. (0-3)
Przykładowe sposoby rozwiązania
I sposób
x - liczba dziewcząt
0,8x - liczba chłopców
Sytuację przedstawioną w zadaniu opisuje równanie
x = 0,8x + 3
0,2x = 3
x = 15
Odpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.
II sposób
x - liczba dziewcząt
y - liczba chłopców
Warunki zadania opisuje układ równań
3
8,0
y
x
x
y
3
8,0
8,0
x
x
x
y
3
2,0
8,0
x
x
y
15
8,0
x
x
y
15
12
x
y
Odpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.
III sposób
Z treści zadania wynika, że liczba dziewcząt jest o 3 większa od liczby chłopców
i jednocześnie liczba chłopców jest o 20% mniejsza niż liczba dziewcząt, czyli 20% liczby
dziewcząt (x) jest równe 3.
20% ― 3
40% ― 6
100% ― 15
Liczba dziewcząt jest równa 15.
lub
0,2x = 3
x = 15
IV sposób (prób i błędów)
Liczba chłopców stanowi 80% liczby dziewcząt, zatem stosunek liczby chłopców do liczby
dziewcząt jest równy 10
8
= 15
12
= 20
16
= 25
20
= 30
24
= 35
28
Spośród wszystkich liczb naturalnych, których stosunek jest równy 10
8 , tylko dla liczb 12 i 15
różnica jest równa 3.
Odpowiedź. W klasie jest 15 dziewcząt.
lub
x - liczba dziewcząt
y - liczba chłopców
y = 0,8x
x > y
x = 20, to y = 0,8 ∙ 20 = 16; 16 + 3 = 19 ≠ 20
x = 19, to y = 0,8 ∙ 19 = 15,2 - nie spełnia warunków zadania
x = 18, to y = 0,8 ∙ 18 = 14,4 - nie spełnia warunków zadania
x = 17, to y = 0,8 ∙ 17 = 13,6 - nie spełnia warunków zadania
x = 16, to y = 0,8 ∙ 16 = 12,8 - nie spełnia warunków zadania
x = 15, to y = 0,8 ∙ 15 = 12; 12 + 3 = 15 - zgadza się
Aby y było liczbą naturalną, x musi być liczbą podzielną przez 5.
x = 10, to y = 0,8 ∙ 10 = 8, ale 8 + 3 = 11 > 10
x = 5, to y = 0,8 ∙ 5 = 4, ale 4 + 3 = 7 > 5
x = 20, to y = 0,8 ∙ 20 = 16, ale 16 + 3 = 19 < 20
x = 25, to y = 0,8 ∙ 25 = 20, ale 20 + 3 = 23< 25
x = 30, to y = 0,8 ∙ 30 = 24, ale 24 + 3 = 27 < 30
Dla x < 15 różnica między x i y jest za mała (mniejsza niż 3), a dla x > 15 różnica ta jest za
duża (większa od 3). Zatem liczba dziewcząt x = 15 jest jedynym możliwym rozwiązaniem.
Poziom wykonania
P6 - 3 punkty - pełne rozwiązanie
obliczenie liczby dziewcząt w klasie (15 dziewcząt), otrzymane w wyniku rozwiązania
równania lub układu równań lub rozumowania
lub
podanie odpowiedzi - 15 dziewcząt, uzyskanej metodą prób i błędów (sprawdzenie obu
warunków zadania)
P5 - 2 punkty - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza
część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru
właściwych rozwiązań itp.)
poprawne ułożenie równania lub układu równań (I i II sposób)
lub
zauważenie, że liczba 3 jest równa 20% liczby dziewcząt (III sposób)
P2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały
pokonane
wyrażenie liczby chłopców w zależności od liczby dziewcząt (I sposób)
lub
ułożenie układu równań, w którym tylko jedno równanie jest poprawne (II sposób)
lub
sprawdzenie warunków zadania dla kilku liczb (IV sposób), ale bez znalezienia
poprawnej odpowiedzi
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
Zadanie 22. (0-2)
Przykładowe sposoby rozwiązania
I sposób
Zauważmy, że:
CED
ABED
ABCD
P
P
P
BEF
ABED
AFD
P
P
P
Aby wykazać równość pól trapezu ABCD i trójkąta AFD wystarczy wykazać, że trójkąty BEF
i CED są przystające.
EB
CE

\n\n

|∢CED = |∢FEB - jako kąty wierzchołkowe
|∢EBF = |∢ECD - jako kąty naprzemianległe, gdyż (AF||DC)
Stąd trójkąty BEF i CED są przystające (na podstawie cechy przystawania trójkątów kbk)
czyli mają równe pola.
A
B
C
D
E
F
II sposób
PABCD =
2
)
(
h
CD
AB
PAFD = 2
1 AF
 h
Trapez ABCD i trójkąt AFD mają taką samą wysokość, więc aby wykazać równość ich pól
wystarczy uzasadnić, że suma dlugości podstaw trapezu jest równa długości podstawy
trójkąta.
Trójkąt CED i trókąt BEF mają kąty parami równe:
 =
 - jako kąty wierzchołkowe,
 =
 - jako kąty naprzemianległe,
 =
 - jako kąty naprzemianległe.
Z treści zadania wiadomo także, że boki CE i BE tych trójkątów są równe i są to boki
odpowiednie. Stąd wynika, że trójkąty CED i BEF są przystające, a więc boki CD i BF tych
trójkątów też są równe.
Skoro CD = BF, to AB + CD = AB + BF = AF
Poziom wykonania
P6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie
wykazanie równości pól trapezu i trójkąta wraz z uzasadnieniem przystawania trójkątów
CED i BEF
P3 - 1 punkt - zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich
pokonywania popełniono błędy
uzasadnienie, że trójkąty CED i BEF są przystające
lub
wykazanie równości pól trapezu i trójkąta bez uzasadnienia przystawania trójkątów CED
i BEF
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
A
h
B
F
E
C
D







Zadanie 23. (0-4)
Przykładowe sposoby rozwiązania
I sposób
Pb = 80 cm2
Pc = 144 cm2
a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa
b - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
h1 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa
Pp - pole podstawy ostrosłupa
Pp = 144 - 80
Pp = 64 (cm2)
Ponieważ Pp = a2, to a = 8 cm
Powierzchnię boczną tworzą 4 trójkąty równoramienne.
P1 - pole jednego trójkąta
Pb = 4 ∙ P1
P1 = 4

","solutions":[]}