{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nNa boku kwadratu obrano punkt tak, że | | | |\n(rys.). Przekątna kwadratu przecina odcinek w punkcie\nUzasadnij, że pole trójkąta jest czterokrotnie większe niż pole\ntrójkąta\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27.\nNa boku kwadratu obrano punkt tak, że | |\n| | (rys.). Przekątna kwadratu przecina się z odcinkiem\nw punkcie Uzasadnij, że pole trójkąta jest\nczterokrotnie większe niż pole trójkąta\nRozwiązanie:\nZauważmy, że\nACD\nCAB\n\n\n\n(kąty naprzemianległe) oraz\nCPK\nAPB\n\n\n\n(kąty\nwierzchołkowe), zatem trójkąt ABP jest podobny do trójkąta KCP (na mocy cechy kk).\nSkala podobieństwa\nKC\nAB\nk \n,\nKC\nAB\n2\n\n, więc\n2\n2\n\nKC\nKC\nk\nStosunek pól trójkątów podobnych w skali k, jest równy kwadratowi skali podobieństwa k2,\nzatem stosunek pól trójkątów ABP i KPC jest równy 4, czyli pole trójkąta ABP jest cztery\nrazy większe od pola trójkąta KCP. c.n.d.","solution":"Uzasadnienie.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Na boku kwadratu obrano punkt tak, że | | | |
(rys.). Przekątna kwadratu przecina odcinek w punkcie
Uzasadnij, że pole trójkąta jest czterokrotnie większe niż pole
trójkąta

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
11

","answer_text_html":"

Zadanie 27.
Na boku kwadratu obrano punkt tak, że | |
| | (rys.). Przekątna kwadratu przecina się z odcinkiem
w punkcie Uzasadnij, że pole trójkąta jest
czterokrotnie większe niż pole trójkąta
Rozwiązanie:
Zauważmy, że
ACD
CAB



(kąty naprzemianległe) oraz
CPK
APB



(kąty
wierzchołkowe), zatem trójkąt ABP jest podobny do trójkąta KCP (na mocy cechy kk).
Skala podobieństwa
KC
AB
k 
,
KC
AB
2

, więc
2
2

KC
KC
k
Stosunek pól trójkątów podobnych w skali k, jest równy kwadratowi skali podobieństwa k2,
zatem stosunek pól trójkątów ABP i KPC jest równy 4, czyli pole trójkąta ABP jest cztery
razy większe od pola trójkąta KCP. c.n.d.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Uzasadnienie.

"}]}