{"id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nOblicz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej\no równaniu oraz ( ) i ( ).\nOdpowiedź:\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n15","answer":"P","answer_text":"Zadanie 33.\nWyznacz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej\no równaniu oraz i .\nRozwiązanie:\nWyznaczamy równanie prostej BD, prostopadłej do prostej AC o równaniu y = 2x - 2,\nprzechodzącej przez punkt D = (-6, 6).\nWspółczynnik prostej prostopadłej do prostej AC jest równy\n2\n1\n\nZatem:\nStąd .\nProsta BD ma postać:\nWyznaczamy współrzędne punktu przecięcia przekątnych S rozwiązując układ równań:\n{\nUkład rozwiązujemy metodą podstawiania\n{\n{\n, czyli S = (2, 2).\nObliczamy długości odcinków AS oraz DS.:\n| | √\n| | √ √ √ √ √ [ ]\n| | √\n| | √ √ √ √ √ [ ]\nZatem długości przekątnych rombu są równe:\n| | | | √ √ [ ]\n| | | | √ √ [ ]\nObliczamy pole rombu korzystając ze wzoru:\n√ √\n[ ]\nObliczamy długość boku rombu AD korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASD:\n| | ( √ )\n( √ )\n| | √ √ [ ]\n| | √ √ [ ]\nOdp.: Pole rombu jest równe 120[ ], a obwód √ [ ]","solution":"Pole rombu jest równe $120 \\ [j.^2]$, a obwód $20\\sqrt{5} \\ [j.]$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Oblicz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej
o równaniu oraz ( ) i ( ).
Odpowiedź:

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
15

","answer_text_html":"

Zadanie 33.
Wyznacz pole i obwód rombu wiedząc, że przekątna jest zawarta w prostej
o równaniu oraz i .
Rozwiązanie:
Wyznaczamy równanie prostej BD, prostopadłej do prostej AC o równaniu y = 2x - 2,
przechodzącej przez punkt D = (-6, 6).
Współczynnik prostej prostopadłej do prostej AC jest równy
2
1

Zatem:
Stąd .
Prosta BD ma postać:
Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia przekątnych S rozwiązując układ równań:
{
Układ rozwiązujemy metodą podstawiania
{
{
, czyli S = (2, 2).
Obliczamy długości odcinków AS oraz DS.:
| | √
| | √ √ √ √ √ [ ]
| | √
| | √ √ √ √ √ [ ]
Zatem długości przekątnych rombu są równe:
| | | | √ √ [ ]
| | | | √ √ [ ]
Obliczamy pole rombu korzystając ze wzoru:
√ √
[ ]
Obliczamy długość boku rombu AD korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASD:
| | ( √ )
( √ )
| | √ √ [ ]
| | √ √ [ ]
Odp.: Pole rombu jest równe 120[ ], a obwód √ [ ]

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Pole rombu jest równe $120 \\ [j.^2]$, a obwód $20\\sqrt{5} \\ [j.]$

"}]}