{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (5 pkt)\nPunkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego\npodstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu\nOblicz współrzędne\npozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n12","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.\nPunkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego\npodstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu\nOblicz współrzędne\npozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .\nRozwiązanie:\nProsta CD jest prostopadła do prostej k, zatem jej\nwspółczynnik kierunkowy , mamy więc\nSkoro punkt C należy do tej prostej otrzymujemy skąd\nPunkt D jest punktem przecięcia się prostej k z prostą CD, zatem jego współrzędne obliczamy\nz układu równań\n{\ni otrzymujemy ( )\nWyznaczamy równanie prostej AB, która jest równoległa do prostej CD, zatem ma taki sam\nwspółczynnik kierunkowy.\nSkoro do prostej AB należy punkt B jej równanie ma postać\nTrapez jest równoramienny, więc mamy | | | |.\nPonadto punkt A należy do prostej AB, zatem ( ).\nOtrzymujemy równanie\n√( ) ( ) ,\nskąd ( ) lub ( )\nOdp.: ( ) lub ( ) ( ).","solution":"$A = (1, -2)$ lub $A = (3, 2)$ oraz $D = (-2, 2)$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (5 pkt)
Punkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego
podstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu
Oblicz współrzędne
pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
12

","answer_text_html":"

Zadanie 10.
Punkty ( ) i ( ) są wierzchołkami trapezu równoramiennego , którego
podstawy i są prostopadłe do prostej o równaniu
Oblicz współrzędne
pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt należy do prostej .
Rozwiązanie:
Prosta CD jest prostopadła do prostej k, zatem jej
współczynnik kierunkowy , mamy więc
Skoro punkt C należy do tej prostej otrzymujemy skąd
Punkt D jest punktem przecięcia się prostej k z prostą CD, zatem jego współrzędne obliczamy
z układu równań
{
i otrzymujemy ( )
Wyznaczamy równanie prostej AB, która jest równoległa do prostej CD, zatem ma taki sam
współczynnik kierunkowy.
Skoro do prostej AB należy punkt B jej równanie ma postać
Trapez jest równoramienny, więc mamy | | | |.
Ponadto punkt A należy do prostej AB, zatem ( ).
Otrzymujemy równanie
√( ) ( ) ,
skąd ( ) lub ( )
Odp.: ( ) lub ( ) ( ).

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

A=(1,−2) lub A=(3,2) oraz D=(−2,2)

"}]}