{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (4 pkt)\nW trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący\nśrodki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku . Oblicz\ndługości podstaw trapezu.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n14\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n15\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n16\nPESEL\nWYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n \n\n\n\n2\n \n\n\n\n3\n \n\n\n\n4\n \n\n\n\n5\n \n\n\n\n6\n \n\n\n\n\n7\n \n\n\n\n8\n \n\n\n\n\n9\n \n\n\n\n10\n \n\n\n\n\n11\n \n\n\n12\n \n\n\n\nSUMA\nPUNKTÓW","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.\nW trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący\nśrodki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku .\nOblicz długości podstaw trapezu.\nRozwiązanie:\nStosujemy twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy: .\nWyznaczamy długość odcinka łączącego środki nierównoległych boków trapezu:\nZauważmy, że wysokości obu powstałych trapezów są równe. Obliczamy pola trapezów:\n2\n)\n4\n(\n2\n1\nh\nb\nh\nx\nb\nP\n\n\n\n\n,\n2\n)\n4\n(\n2\n2\nh\na\nh\nx\na\nP\n\n\n\n\nZapisujemy stosunek pól obu części:\n4\n4\n)\n2\n(\n2\n2\n)\n4\n(\n2\n)\n4\n(\n2\n)\n4\n(\n2\n1\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\na\nb\nh\na\nh\nb\nh\na\nh\nb\nP\nP\nMamy zatem układ równań:\n{\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n5)\n(\n8\n24\n11\n5\nb\na\nb\na\nDane: Szukane:\na, b\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n40\n5\n5\n24\n11\n5\nb\na\nb\na\n,\nSkąd -16b = -16 /:(-16)\nb = 1,\nzatem\n\n\n\n\n\n1\n7\nb\na\nOdp.: .","solution":"$a = 7, b = 1$","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 12. (4 pkt)
W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący
środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku . Oblicz
długości podstaw trapezu.

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
14

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
15

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
16
PESEL
WYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY
Punkty
0
1
2
3
4
5
1
 



2
 



3
 



4
 



5
 



6
 




7
 



8
 




9
 



10
 




11
 


12
 



SUMA
PUNKTÓW

","answer_text_html":"

Zadanie 12.
W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i , zaś odcinek łączący
środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku .
Oblicz długości podstaw trapezu.
Rozwiązanie:
Stosujemy twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt i otrzymujemy: .
Wyznaczamy długość odcinka łączącego środki nierównoległych boków trapezu:
Zauważmy, że wysokości obu powstałych trapezów są równe. Obliczamy pola trapezów:
2
)
4
(
2
1
h
b
h
x
b
P




,
2
)
4
(
2
2
h
a
h
x
a
P




Zapisujemy stosunek pól obu części:
4
4
)
2
(
2
2
)
4
(
2
)
4
(
2
)
4
(
2
1










a
b
h
a
h
b
h
a
h
b
P
P
Mamy zatem układ równań:
{









5)
(
8
24
11
5
b
a
b
a
Dane: Szukane:
a, b









40
5
5
24
11
5
b
a
b
a
,
Skąd -16b = -16 /:(-16)
b = 1,
zatem





1
7
b
a
Odp.: .

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a=7,b=1

"}]}