{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (4 pkt)\nDany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.\nUdowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,\ngdy\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n4","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.\nDany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.\nUdowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,\ngdy\nRozwiązanie:\nCz.I. Udowodnienie, że jeżeli czworokąt można wpisać w okrąg, to\n| |. ()\nZakładamy, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg.\nUdowodnimy, że\n| |, gdzie S jest punktem przecięcia jego przekątnych.\nZauważmy, że ADS = ACB (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).\nDSA = BSC (kąty wierzchołkowe).\nZ tego wynika, że trójkąt DSA jest podobny do trójkąta BSC ( na mocy cechy kk).\nZatem z podobieństwa trójkątów wynika, że\n| |, co należało udowodnić.\nCz.II .Udowodnienie, że jeżeli\n| | to czworokąt można wpisać w okrąg.()\nZakładamy teraz, że\nUdowodnimy, że na tym czworokącie można opisać okrąg.\nPonieważ\n| | i ASD = BSC (kąty wierzchołkowe), zatem trójkąty ASD oraz\nBSC są podobne (na mocy cechy bkb).\nZ tego wynika, że ADS = BCS =  oraz DAS = SBC = ,\nrównież ASB = DSC (kąty wierzchołkowe).\nSkoro\n| |, to również\nZatem trójkąty DSC oraz BSA są podobne ( na mocy cechy bkb).\nStąd CDS = SAB =  oraz ABS = DCS = .\nMamy więc\nBAD + BCD =  +  +  +  oraz ABC + CDA =  +  +  + .\nSumy przeciwległych kątów są zatem równe, a więc na mocy twierdzenia na tym\nczworokącie można opisać okrąg, co należało udowodnić.","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 2. (4 pkt)
Dany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.
Udowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
4

","answer_text_html":"

Zadanie 2.
Dany jest czworokąt Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych.
Udowodnij, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy
Rozwiązanie:
Cz.I. Udowodnienie, że jeżeli czworokąt można wpisać w okrąg, to
| |. ()
Zakładamy, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg.
Udowodnimy, że
| |, gdzie S jest punktem przecięcia jego przekątnych.
Zauważmy, że ADS = ACB (kąty wpisane oparte na tym samym łuku).
DSA = BSC (kąty wierzchołkowe).
Z tego wynika, że trójkąt DSA jest podobny do trójkąta BSC ( na mocy cechy kk).
Zatem z podobieństwa trójkątów wynika, że
| |, co należało udowodnić.
Cz.II .Udowodnienie, że jeżeli
| | to czworokąt można wpisać w okrąg.()
Zakładamy teraz, że
Udowodnimy, że na tym czworokącie można opisać okrąg.
Ponieważ
| | i ASD = BSC (kąty wierzchołkowe), zatem trójkąty ASD oraz
BSC są podobne (na mocy cechy bkb).
Z tego wynika, że ADS = BCS =  oraz DAS = SBC = ,
również ASB = DSC (kąty wierzchołkowe).
Skoro
| |, to również
Zatem trójkąty DSC oraz BSA są podobne ( na mocy cechy bkb).
Stąd CDS = SAB =  oraz ABS = DCS = .
Mamy więc
BAD + BCD =  +  +  +  oraz ABC + CDA =  +  +  + .
Sumy przeciwległych kątów są zatem równe, a więc na mocy twierdzenia na tym
czworokącie można opisać okrąg, co należało udowodnić.

","solutions":[]}