{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (4 pkt)\nSuma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa\n. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy do drugiej a do trzeciej to otrzymamy trzy\nkolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n7","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.\nSuma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest\nrówna 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej12, a do trzeciej 6, to otrzymamy\ntrzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.\nRozwiązanie:\nOznaczmy -wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego,\n-wyrazy ciągu arytmetycznego.\nZapisujemy układ zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz ciągu\ngeometrycznego\n{( ) ( ) ( ) ( )\nPo zastosowaniu wzoru ogólnego na wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n{\n52\n2\n1\n1\n1\n\n\n\nq\na\nq\na\na\n16\n2 1\n2\n1\n1\n\n\n\nq\na\nq\na\na\n{\n2\n1\n1\n52\nq\nq\na\n\n\n\nq\nq\na\n2\n1\n16\n2\n1\n\n\n\nStąd otrzymujemy równanie\nq\nq\nq\nq\n2\n1\n16\n1\n52\n2\n2\n\n\n\n\n\n,\nktóre po uporządkowaniu ma postać\n3\n\nq\nlub\n3\n1\n\nq\nObliczamy odpowiednio .\nCiąg jest rosnący, więc odrzucamy przypadek\n3\n1\n\nq\nOdp.: Szukany ciąg to 4,12,36.","solution":"Szukany ciąg to $4, 12, 36$.","image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 5. (4 pkt)
Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa
. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy do drugiej a do trzeciej to otrzymamy trzy
kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
7

","answer_text_html":"

Zadanie 5.
Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest
równa 52. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej12, a do trzeciej 6, to otrzymamy
trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg.
Rozwiązanie:
Oznaczmy -wyrazy rosnącego ciągu geometrycznego,
-wyrazy ciągu arytmetycznego.
Zapisujemy układ zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz ciągu
geometrycznego
{( ) ( ) ( ) ( )
Po zastosowaniu wzoru ogólnego na wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy:
{
52
2
1
1
1



q
a
q
a
a
16
2 1
2
1
1



q
a
q
a
a
{
2
1
1
52
q
q
a



q
q
a
2
1
16
2
1



Stąd otrzymujemy równanie
q
q
q
q
2
1
16
1
52
2
2





,
które po uporządkowaniu ma postać
3

q
lub
3
1

q
Obliczamy odpowiednio .
Ciąg jest rosnący, więc odrzucamy przypadek
3
1

q
Odp.: Szukany ciąg to 4,12,36.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Szukany ciąg to 4,12,36.

"}]}