{"id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2013,"month":"luty","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nDany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest\nrówna 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa\nsumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta\n( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa\n( ) .\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n9","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.\nDany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest\nrówna 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa\nsumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta\n( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa\n( ) .\nDowód:\nZ twierdzenia o rozkładzie wielomianu mamy\n( ) ( ) ( ) ( )\nSkoro ( ) i ( ) to ( ) , zatem\n( ) ( )( ) ( ) .\nSuma wszystkich współczynników jest równa 4, tzn. ( ) .\nSuma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie\nwspółczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych, tzn. ( ) .\nZ twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian ( ) mamy ponadto\n( ) ( ) oraz ( ) ( ).\nMamy zatem {\nskąd , czyli\n( ) . cnd","solution":null,"image":"img/matematyka-2013-luty-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · luty 2013 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 7. (4 pkt)<br>Dany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest<br>równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa<br>sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta<br>( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa<br>( ) .</p>\n<p>Próbny egzamin maturalny z matematyki<br>Poziom rozszerzony<br>9</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7.<br>Dany jest wielomian ( ) stopnia , którego suma wszystkich współczynników jest<br>równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa<br>sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta<br>( ) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian ( ) ( )( ) jest równa<br>( ) .<br>Dowód:<br>Z twierdzenia o rozkładzie wielomianu mamy<br>( ) ( ) ( ) ( )<br>Skoro ( ) i ( ) to ( ) , zatem<br>( ) ( )( ) ( ) .<br>Suma wszystkich współczynników jest równa 4, tzn. ( ) .<br>Suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie<br>współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych, tzn. ( ) .<br>Z twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian ( ) mamy ponadto<br>( ) ( ) oraz ( ) ( ).<br>Mamy zatem {<br>skąd , czyli<br>( ) . cnd</p>","solutions":[]}