{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych\nspełniających nierówność\n4\n5\nx \n\nA.\nB.\nC.\nD.\nWskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x+4| < 5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWersja\narkusza\nA\nWersja\narkusza\nB\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie pojęcia wartości\nbezwzględnej i jej interpretacji\ngeometrycznej do wskazania zbioru\nrozwiązań nierówności typu x\na\nb\n\n\n(II.1.f)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4^{-4}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi czwórki\n\n**Krok 1: Zapisz \\(\\sqrt[3]{16}\\) jako potęgę czwórki.**\n\n\\(16 = 4^2\\), więc:\n\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz wyrażenie w nawiasie jako jedną potęgę.**\n\n\\[\\sqrt[3]{16} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3}} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3} + (-2)} = 4^{\\frac{2}{3} - \\frac{6}{3}} = 4^{-\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do sześcianu.**\n\n\\[\\left(4^{-\\frac{4}{3}}\\right)^3 = 4^{-\\frac{4}{3} \\cdot 3} = \\boxed{4^{-4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki\n\n**Krok 1: Zapisz wszystko jako potęgi dwójki.**\n\n\\(4 = 2^2\\), więc \\(4^{-2} = 2^{-4}\\) oraz \\(16 = 2^4\\):\n\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{2^4} = 2^{\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 2: Wyraz w nawiasie.**\n\n\\[2^{\\frac{4}{3}} \\cdot 2^{-4} = 2^{\\frac{4}{3} - 4} = 2^{\\frac{4}{3} - \\frac{12}{3}} = 2^{-\\frac{8}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do sześcianu.**\n\n\\[\\left(2^{-\\frac{8}{3}}\\right)^3 = 2^{-\\frac{8}{3} \\cdot 3} = 2^{-8}\\]\n\n**Krok 4: Przelicz na potęgę czwórki.**\n\n\\[2^{-8} = (2^2)^{-4} = 4^{-4}\\]\n\n**Wynik: \\(4^{-4}\\)** - zgadza się z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę wymierną:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy go, zamieniając \\(\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\).\n\nWzory działań na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy ich w każdym kroku - przy mnożeniu potęg tej samej podstawy oraz przy potęgowaniu potęgi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(4^{4}\\) | Pomylono znak - liczono \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3} - 2 = -\\frac{4}{3}\\), bo zapomniano o minusie przy \\(4^{-2}\\) |\n| C: \\(4^{-8}\\) | Mnożono wykładniki przez \\(3\\) **przed** dodaniem: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 3 = 2\\), \\((-2) \\cdot 3 = -6\\), potem \\(2 + (-6) = -4\\) albo inny błąd kolejności działań; lub pomylono \\(4^2 = 16\\) z \\(4^3 = 16\\) |\n| D: \\(4^{-12}\\) | Traktowano całe wyrażenie jak \\(\\left(4^{-2}\\right)^3 = 4^{-6}\\), ignorując \\(\\sqrt[3]{16}\\); lub błędnie liczono \\((-2) \\cdot 3 \\cdot 2 = -12\\) bez uwzględnienia pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt[3]{16} \\neq 16^3\\)! Pierwiastek sześcienny to potęga \\(\\frac{1}{3}\\), więc \\(\\sqrt[3]{16} = 16^{\\frac{1}{3}}\\). Tu warto najpierw zamienić \\(16 = 4^2\\), żeby mieć wspólną podstawę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań ma znaczenie! Najpierw **upraszczamy wyraz w nawiasie** (mnożenie potęg = dodawanie wykładników), a dopiero potem **podnosimy cały nawias do sześcianu** (mnożymy wykładnik przez 3). Odwrotna kolejność daje błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodawanie ułamkowych wykładników - sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2}{3} - \\frac{6}{3} = -\\frac{4}{3}\\). To najczęstsze miejsce pomyłki arytmetycznej w tym zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 4\n\\(\\sqrt[3]{16} = 16^{1/3} = (4^{2})^{1/3} = 4^{2/3}\\). Zatem:\n\\[\\sqrt[3]{16}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3-2} = 4^{-4/3}.\\]\nPodnosimy do potęgi 3:\n\\[\\left(4^{-4/3}\\right)^{3} = 4^{-4/3\\cdot 3} = 4^{-4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Najpierw podnoszenie do potęgi\n\\[\\left(\\sqrt[3]{16}\\right)^{3}\\cdot \\left(4^{-2}\\right)^{3} = 16\\cdot 4^{-6} = 4^{2}\\cdot 4^{-6} = 4^{-4}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{4}\\)** - błąd znaku w wykładniku.\n- **C. \\(4^{-8}\\)** - ktoś zapomniał o \\(\\sqrt[3]{16}=4^{2/3}\\) i policzył \\(16 = 4^{2}\\) bez pierwiastka.\n- **D. \\(4^{-12}\\)** - pomnożenie wszystkich wykładników bez uwzględnienia \\(\\sqrt[3]\\).\n\n**Trik:** zawsze sprowadzaj wyrażenia do **jednej podstawy** przed potęgowaniem.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
spełniających nierówność
4
5
x 

A.
B.
C.
D.
Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |x+4| < 5.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Obszar standardów
Opis wymagań
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wersja
arkusza
A
Wersja
arkusza
B
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie pojęcia wartości
bezwzględnej i jej interpretacji
geometrycznej do wskazania zbioru
rozwiązań nierówności typu x
a
b


(II.1.f)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(4^{-4}\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi czwórki

\n

Krok 1: Zapisz \\(\\sqrt[3]{16}\\) jako potęgę czwórki.

\n

\\(16 = 4^2\\), więc:
\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\]

\n

Krok 2: Zapisz wyrażenie w nawiasie jako jedną potęgę.

\n

\\[\\sqrt[3]{16} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3}} \\cdot 4^{-2} = 4^{\\frac{2}{3} + (-2)} = 4^{\\frac{2}{3} - \\frac{6}{3}} = 4^{-\\frac{4}{3}}\\]

\n

Krok 3: Podnieś do sześcianu.

\n

\\[\\left(4^{-\\frac{4}{3}}\\right)^3 = 4^{-\\frac{4}{3} \\cdot 3} = \\boxed{4^{-4}}\\]

\n

Sposób 2 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki

\n

Krok 1: Zapisz wszystko jako potęgi dwójki.

\n

\\(4 = 2^2\\), więc \\(4^{-2} = 2^{-4}\\) oraz \\(16 = 2^4\\):
\\[\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{2^4} = 2^{\\frac{4}{3}}\\]

\n

Krok 2: Wyraz w nawiasie.

\n

\\[2^{\\frac{4}{3}} \\cdot 2^{-4} = 2^{\\frac{4}{3} - 4} = 2^{\\frac{4}{3} - \\frac{12}{3}} = 2^{-\\frac{8}{3}}\\]

\n

Krok 3: Podnieś do sześcianu.

\n

\\[\\left(2^{-\\frac{8}{3}}\\right)^3 = 2^{-\\frac{8}{3} \\cdot 3} = 2^{-8}\\]

\n

Krok 4: Przelicz na potęgę czwórki.

\n

\\[2^{-8} = (2^2)^{-4} = 4^{-4}\\]

\n

Wynik: \\(4^{-4}\\) - zgadza się z Odpowiedzią B. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Wzór na pierwiastek jako potęgę wymierną:
\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]
Użyliśmy go, zamieniając \\(\\sqrt[3]{16} = \\sqrt[3]{4^2} = 4^{\\frac{2}{3}}\\).

\n

Wzory działań na potęgach:
\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\qquad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy ich w każdym kroku - przy mnożeniu potęg tej samej podstawy oraz przy potęgowaniu potęgi.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(4^{4}\\) | Pomylono znak - liczono \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(\\frac{2}{3} - 2 = -\\frac{4}{3}\\), bo zapomniano o minusie przy \\(4^{-2}\\) |
| C: \\(4^{-8}\\) | Mnożono wykładniki przez \\(3\\) przed dodaniem: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 3 = 2\\), \\((-2) \\cdot 3 = -6\\), potem \\(2 + (-6) = -4\\) albo inny błąd kolejności działań; lub pomylono \\(4^2 = 16\\) z \\(4^3 = 16\\) |
| D: \\(4^{-12}\\) | Traktowano całe wyrażenie jak \\(\\left(4^{-2}\\right)^3 = 4^{-6}\\), ignorując \\(\\sqrt[3]{16}\\); lub błędnie liczono \\((-2) \\cdot 3 \\cdot 2 = -12\\) bez uwzględnienia pierwiastka |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\sqrt[3]{16} \\neq 16^3\\)! Pierwiastek sześcienny to potęga \\(\\frac{1}{3}\\), więc \\(\\sqrt[3]{16} = 16^{\\frac{1}{3}}\\). Tu warto najpierw zamienić \\(16 = 4^2\\), żeby mieć wspólną podstawę.
\n
⚠️ Uwaga: Kolejność działań ma znaczenie! Najpierw upraszczamy wyraz w nawiasie (mnożenie potęg = dodawanie wykładników), a dopiero potem podnosimy cały nawias do sześcianu (mnożymy wykładnik przez 3). Odwrotna kolejność daje błędny wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Dodawanie ułamkowych wykładników - sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{2}{3} - 2 = \\frac{2}{3} - \\frac{6}{3} = -\\frac{4}{3}\\). To najczęstsze miejsce pomyłki arytmetycznej w tym zadaniu.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 4
\n

\\(\\sqrt[3]{16} = 16^{1/3} = (4^{2})^{1/3} = 4^{2/3}\\). Zatem:
\\[\\sqrt[3]{16}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3}\\cdot 4^{-2} = 4^{2/3-2} = 4^{-4/3}.\\]
Podnosimy do potęgi 3:
\\[\\left(4^{-4/3}\\right)^{3} = 4^{-4/3\\cdot 3} = 4^{-4}.\\]

\n
Sposób 2 - Najpierw podnoszenie do potęgi
\n

\\[\\left(\\sqrt[3]{16}\\right)^{3}\\cdot \\left(4^{-2}\\right)^{3} = 16\\cdot 4^{-6} = 4^{2}\\cdot 4^{-6} = 4^{-4}.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: zawsze sprowadzaj wyrażenia do jednej podstawy przed potęgowaniem.

"}]}