{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność\n2\n1\n2\n3\n4\nx\nx\n\n\njest\nA.\n2\n\nB.\n1\n\nC. 0\nD. 1\nZadanie 10 z matury podstawowej - maj 2013. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/2 <= 2x/3 + 1/4 jest A. -2, B. -1, C. 0, D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie nierówności liniowej\ni wskazanie najmniejszej liczby\nspełniającej tę nierówność (I.3)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(g(x) = f(x+1)\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu (reguła transformacji)\n\n**Kluczowa zasada**: gdy wykres \\(g\\) wygląda tak samo jak \\(f\\), ale jest **przesunięty poziomo**, korzystamy z reguły:\n\n\\[g(x) = f(x - d)\\]\n\ngdzie \\(d > 0\\) oznacza **przesunięcie w prawo**, a \\(d < 0\\) - **w lewo**.\n\n**Co widzimy na rysunku?**\n\nWykres \\(g\\) ma identyczny kształt co \\(f\\), lecz jest przesunięty **o 1 jednostkę w lewo** względem \\(f\\).\n\nPodstawiamy \\(d = -1\\) do reguły:\n\n\\[g(x) = f(x - (-1)) = f(x + 1)\\]\n\n**Wniosek:** Przesunięcie w lewo o 1 → \\(\\boxed{g(x) = f(x+1)}\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja punktem charakterystycznym\n\nOdczytajmy konkretny punkt z wykresów.\n\nNiech \\(f\\) osiąga pewną charakterystyczną wartość (np. maksimum) w punkcie \\(x = a\\).\nPonieważ \\(g\\) jest przesunięte **w lewo o 1**, ta sama wartość pojawia się u \\(g\\) w punkcie \\(x = a - 1\\).\n\nSprawdzamy kandydatkę \\(g(x) = f(x+1)\\):\n\n\\[g(a-1) = f\\!\\left((a-1)+1\\right) = f(a) \\checkmark\\]\n\nZgadza się - wartość \\(g\\) w punkcie \\(a-1\\) jest równa wartości \\(f\\) w punkcie \\(a\\).\n\nGdyby \\(g(x) = f(x-1)\\) (odpowiedź A), to \\(g(a+1) = f(a)\\) - maksimum byłoby przesunięte **w prawo**, co nie zgadza się z wykresem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji **przesunięcia wykresu funkcji** (geometryczna transformacja).\n\nWarto jednak zapamiętać regułę:\n\n| Wzór | Interpretacja |\n| \\(y = f(x + c),\\ c > 0\\) | przesunięcie w **lewo** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x - c),\\ c > 0\\) | przesunięcie w **prawo** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x) + c,\\ c > 0\\) | przesunięcie w **górę** o \\(c\\) |\n| \\(y = f(x) - c,\\ c > 0\\) | przesunięcie w **dół** o \\(c\\) |\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\ g(x)=f(x-1)\\) | Przesunięcie \\(f(x-1)\\) to przesunięcie **w prawo** o 1 - uczeń widzi \"przesunięcie o 1\" i wpisuje \\(x-1\\), nie patrząc na kierunek |\n| B \\(\\ g(x)=f(x)-1\\) | Odjęcie 1 **od wartości** funkcji daje przesunięcie **pionowe w dół** - kształt się zgadza, ale wykresy byłyby jeden nad drugim, nie obok siebie |\n| D \\(\\ g(x)=f(x)+1\\) | Dodanie 1 **do wartości** funkcji daje przesunięcie **pionowe w górę** - analogiczny błąd jak w B, tylko w drugą stronę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku: \\(f(x+1)\\) to NIE przesunięcie w prawo, lecz **w lewo**! Znak \"+\" w argumencie = ruch w lewo - wbrew intuicji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odróżniaj przesunięcie **poziome** \\(f(x \\pm c)\\) od **pionowego** \\(f(x) \\pm c\\). Odpowiedzi B i D to pionowe przesunięcia - wykres nie zmieniłby pozycji w poziomie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy sprawdzasz odpowiedź, weź **konkretny punkt** z wykresu i podstaw do kandydującego wzoru. To pewniejsze niż samo rozumowanie \"w lewo/w prawo\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Porównanie wykresów\nWykres funkcji \\(f\\) ma maksimum w \\(x=-1\\), wartość \\(5\\).\nWykres funkcji \\(g\\) ma maksimum w \\(x=-2\\), wartość \\(5\\).\n\nPrzesunięcie: wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) przesunięty o **1 w lewo** (wzdłuż osi \\(x\\)).\nPrzesunięcie poziome o \\(a\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu\n\\(f(0) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(f\\)).\n\\(g(-1) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(g\\)).\nSprawdzamy: \\(g(-1) = f(-1+1) = f(0) = 4\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(f(x-1)\\)** - przesunięcie w **prawo** o 1.\n- **B. \\(f(x)-1\\)** - przesunięcie **w dół** o 1 (oś \\(y\\)).\n- **D. \\(f(x)+1\\)** - przesunięcie **w górę** o 1.\n\n**Trik:** \\(f(x+a)\\) przesuwa w **lewo** o \\(a\\), \\(f(x-a)\\) w **prawo**.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność<br>2<br>1<br>2<br>3<br>4<br>x<br>x<br><br><br>jest<br>A.<br>2<br><br>B.<br>1<br><br>C. 0<br>D. 1<br>Zadanie 10 z matury podstawowej - maj 2013. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność x/2 &lt;= 2x/3 + 1/4 jest A. -2, B. -1, C. 0, D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Rozwiązanie nierówności liniowej<br>i wskazanie najmniejszej liczby<br>spełniającej tę nierówność (I.3)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(g(x) = f(x+1)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu (reguła transformacji)</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada</strong>: gdy wykres \\(g\\) wygląda tak samo jak \\(f\\), ale jest <strong>przesunięty poziomo</strong>, korzystamy z reguły:</p>\n<p>\\[g(x) = f(x - d)\\]</p>\n<p>gdzie \\(d &gt; 0\\) oznacza <strong>przesunięcie w prawo</strong>, a \\(d &lt; 0\\) - <strong>w lewo</strong>.</p>\n<p><strong>Co widzimy na rysunku?</strong></p>\n<p>Wykres \\(g\\) ma identyczny kształt co \\(f\\), lecz jest przesunięty <strong>o 1 jednostkę w lewo</strong> względem \\(f\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(d = -1\\) do reguły:</p>\n<p>\\[g(x) = f(x - (-1)) = f(x + 1)\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Przesunięcie w lewo o 1 → \\(\\boxed{g(x) = f(x+1)}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja punktem charakterystycznym</h4>\n<p>Odczytajmy konkretny punkt z wykresów.</p>\n<p>Niech \\(f\\) osiąga pewną charakterystyczną wartość (np. maksimum) w punkcie \\(x = a\\).<br>Ponieważ \\(g\\) jest przesunięte <strong>w lewo o 1</strong>, ta sama wartość pojawia się u \\(g\\) w punkcie \\(x = a - 1\\).</p>\n<p>Sprawdzamy kandydatkę \\(g(x) = f(x+1)\\):</p>\n<p>\\[g(a-1) = f\\!\\left((a-1)+1\\right) = f(a) \\checkmark\\]</p>\n<p>Zgadza się - wartość \\(g\\) w punkcie \\(a-1\\) jest równa wartości \\(f\\) w punkcie \\(a\\).</p>\n<p>Gdyby \\(g(x) = f(x-1)\\) (odpowiedź A), to \\(g(a+1) = f(a)\\) - maksimum byłoby przesunięte <strong>w prawo</strong>, co nie zgadza się z wykresem.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji <strong>przesunięcia wykresu funkcji</strong> (geometryczna transformacja).</p>\n<p>Warto jednak zapamiętać regułę:</p>\n<p>| Wzór | Interpretacja |<br>| \\(y = f(x + c),\\ c &gt; 0\\) | przesunięcie w <strong>lewo</strong> o \\(c\\) |<br>| \\(y = f(x - c),\\ c &gt; 0\\) | przesunięcie w <strong>prawo</strong> o \\(c\\) |<br>| \\(y = f(x) + c,\\ c &gt; 0\\) | przesunięcie w <strong>górę</strong> o \\(c\\) |<br>| \\(y = f(x) - c,\\ c &gt; 0\\) | przesunięcie w <strong>dół</strong> o \\(c\\) |</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\(\\ g(x)=f(x-1)\\) | Przesunięcie \\(f(x-1)\\) to przesunięcie <strong>w prawo</strong> o 1 - uczeń widzi &quot;przesunięcie o 1&quot; i wpisuje \\(x-1\\), nie patrząc na kierunek |<br>| B \\(\\ g(x)=f(x)-1\\) | Odjęcie 1 <strong>od wartości</strong> funkcji daje przesunięcie <strong>pionowe w dół</strong> - kształt się zgadza, ale wykresy byłyby jeden nad drugim, nie obok siebie |<br>| D \\(\\ g(x)=f(x)+1\\) | Dodanie 1 <strong>do wartości</strong> funkcji daje przesunięcie <strong>pionowe w górę</strong> - analogiczny błąd jak w B, tylko w drugą stronę |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie kierunku: \\(f(x+1)\\) to NIE przesunięcie w prawo, lecz <strong>w lewo</strong>! Znak &quot;+&quot; w argumencie = ruch w lewo - wbrew intuicji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odróżniaj przesunięcie <strong>poziome</strong> \\(f(x \\pm c)\\) od <strong>pionowego</strong> \\(f(x) \\pm c\\). Odpowiedzi B i D to pionowe przesunięcia - wykres nie zmieniłby pozycji w poziomie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy sprawdzasz odpowiedź, weź <strong>konkretny punkt</strong> z wykresu i podstaw do kandydującego wzoru. To pewniejsze niż samo rozumowanie &quot;w lewo/w prawo&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Porównanie wykresów</h5>\n<p>Wykres funkcji \\(f\\) ma maksimum w \\(x=-1\\), wartość \\(5\\).<br>Wykres funkcji \\(g\\) ma maksimum w \\(x=-2\\), wartość \\(5\\).</p>\n<p>Przesunięcie: wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) przesunięty o <strong>1 w lewo</strong> (wzdłuż osi \\(x\\)).<br>Przesunięcie poziome o \\(a\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+1)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie punktu</h5>\n<p>\\(f(0) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(f\\)).<br>\\(g(-1) = 4\\) (odczytane z wykresu \\(g\\)).<br>Sprawdzamy: \\(g(-1) = f(-1+1) = f(0) = 4\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(f(x-1)\\)</strong> - przesunięcie w <strong>prawo</strong> o 1.</li><li><strong>B. \\(f(x)-1\\)</strong> - przesunięcie <strong>w dół</strong> o 1 (oś \\(y\\)).</li><li><strong>D. \\(f(x)+1\\)</strong> - przesunięcie <strong>w górę</strong> o 1.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(f(x+a)\\) przesuwa w <strong>lewo</strong> o \\(a\\), \\(f(x-a)\\) w <strong>prawo</strong>.</p>"}]}