{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nCiąg \n\n27, 18,\n5\nx \njest geometryczny. Wtedy\nA.\n4\nx \nB.\n5\n\nx\nC.\n7\nx \nD.\n9\nx \n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie 12 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (27, 18, x+5) jest geometryczny. Wtedy A. x=4, B. x=5, C. x=7, D. x=9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie własności ciągu\ngeometrycznego (II.5.c)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(x = 7\\))\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nMamy ciąg \\((27, 18, x+5)\\), więc:\n\\[18^2 = 27 \\cdot (x+5)\\]\n\\[324 = 27(x+5)\\]\n\\[\\frac{324}{27} = x+5\\]\n\\[12 = x+5\\]\n\\[\\boxed{x = 7}\\]\n\nSprawdzamy iloraz ciągu: \\(q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\), trzeci wyraz: \\(18 \\cdot \\frac{2}{3} = 12 = 7 + 5\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Stały iloraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nObliczamy iloraz z dwóch pierwszych wyrazów:\n\\[q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\]\n\nWyznaczamy trzeci wyraz ze wzoru \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\):\n\\[x + 5 = 18 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{36}{3} = 12\\]\n\\[x = 12 - 5\\]\n\\[\\boxed{x = 7}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do ustawienia równania.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz wynikająca z niego relacja \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - użyta w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(x=4\\)) | Uczeń liczy \\(x+5=9\\) zamiast \\(x+5=12\\) - myli iloraz lub oblicza \\(18/2=9\\) bez logiki |\n| B (\\(x=5\\)) | Uczeń podstawia \\(x=5\\) i dostaje trzeci wyraz \\(10\\), co daje iloraz \\(\\frac{10}{18} \\neq \\frac{2}{3}\\) - brak weryfikacji |\n| D (\\(x=9\\)) | Uczeń liczy \\(18^2 = 324\\), ale dzieli przez \\(27\\) błędnie: \\(324/27 = 12\\), a potem bierze \\(12-3=9\\) zamiast \\(12-5=9\\) - zły odczyt wyrazu (pomylenie stałej \\(5\\) z \\(3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trzeci wyraz to \\(x+5\\), nie \\(x\\)! Łatwo zapomnieć odjąć 5 na końcu i podać \\(x = 12\\) - takiej odpowiedzi tu nie ma, ale w innym zadaniu mogłoby prowadzić do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\((a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\) działa TYLKO dla ciągu geometrycznego. Nie myl z ciągiem arytmetycznym, gdzie \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy wyznaczony iloraz \\(q\\) jest taki sam dla wszystkich par sąsiednich wyrazów - to szybka weryfikacja, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego\nDla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).\nTu \\(a=27\\), \\(b=18\\), \\(c=x+5\\), więc:\n\\[18^{2} = 27(x+5)\\]\n\\[324 = 27(x+5)\\]\n\\[x+5 = 12 \\Rightarrow x=7.\\]\n\n### Sposób 2 - Stały iloraz\n\\(q = \\dfrac{18}{27} = \\dfrac{2}{3}\\). Wtedy \\(a_{3} = 18 \\cdot \\tfrac{2}{3} = 12\\).\nSkoro \\(x+5=12\\), to \\(x=7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x=4\\):** \\(a_{3}=9\\); \\(\\tfrac{9}{18}=\\tfrac{1}{2}\\ne\\tfrac{2}{3}\\).\n- **B. \\(x=5\\):** \\(a_{3}=10\\); błąd.\n- **D. \\(x=9\\):** \\(a_{3}=14\\); \\(\\tfrac{14}{18}\\ne\\tfrac{2}{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
Ciąg 

27, 18,
5
x 
jest geometryczny. Wtedy
A.
4
x 
B.
5

x
C.
7
x 
D.
9
x 

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
Zadanie 12 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (27, 18, x+5) jest geometryczny. Wtedy A. x=4, B. x=5, C. x=7, D. x=9

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie własności ciągu
geometrycznego (II.5.c)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (\\(x = 7\\))

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich wyrazów:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]

\n

Mamy ciąg \\((27, 18, x+5)\\), więc:
\\[18^2 = 27 \\cdot (x+5)\\]
\\[324 = 27(x+5)\\]
\\[\\frac{324}{27} = x+5\\]
\\[12 = x+5\\]
\\[\\boxed{x = 7}\\]

\n

Sprawdzamy iloraz ciągu: \\(q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\), trzeci wyraz: \\(18 \\cdot \\frac{2}{3} = 12 = 7 + 5\\) ✓

\n

Sposób 2 - Stały iloraz ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]

\n

Obliczamy iloraz z dwóch pierwszych wyrazów:
\\[q = \\frac{18}{27} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Wyznaczamy trzeci wyraz ze wzoru \\(a_3 = a_2 \\cdot q\\):
\\[x + 5 = 18 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{36}{3} = 12\\]
\\[x = 12 - 5\\]
\\[\\boxed{x = 7}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]
Użyta w Sposobie 1 do ustawienia równania.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
oraz wynikająca z niego relacja \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - użyta w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(x=4\\)) | Uczeń liczy \\(x+5=9\\) zamiast \\(x+5=12\\) - myli iloraz lub oblicza \\(18/2=9\\) bez logiki |
| B (\\(x=5\\)) | Uczeń podstawia \\(x=5\\) i dostaje trzeci wyraz \\(10\\), co daje iloraz \\(\\frac{10}{18} \\neq \\frac{2}{3}\\) - brak weryfikacji |
| D (\\(x=9\\)) | Uczeń liczy \\(18^2 = 324\\), ale dzieli przez \\(27\\) błędnie: \\(324/27 = 12\\), a potem bierze \\(12-3=9\\) zamiast \\(12-5=9\\) - zły odczyt wyrazu (pomylenie stałej \\(5\\) z \\(3\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Trzeci wyraz to \\(x+5\\), nie \\(x\\)! Łatwo zapomnieć odjąć 5 na końcu i podać \\(x = 12\\) - takiej odpowiedzi tu nie ma, ale w innym zadaniu mogłoby prowadzić do błędu.
\n
⚠️ Uwaga: Własność \\((a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\) działa TYLKO dla ciągu geometrycznego. Nie myl z ciągiem arytmetycznym, gdzie \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy wyznaczony iloraz \\(q\\) jest taki sam dla wszystkich par sąsiednich wyrazów - to szybka weryfikacja, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Warunek środka geometrycznego
\n

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \\(a, b, c\\) zachodzi \\(b^{2}=a\\cdot c\\).
Tu \\(a=27\\), \\(b=18\\), \\(c=x+5\\), więc:
\\[18^{2} = 27(x+5)\\]
\\[324 = 27(x+5)\\]
\\[x+5 = 12 \\Rightarrow x=7.\\]

\n
Sposób 2 - Stały iloraz
\n

\\(q = \\dfrac{18}{27} = \\dfrac{2}{3}\\). Wtedy \\(a_{3} = 18 \\cdot \\tfrac{2}{3} = 12\\).
Skoro \\(x+5=12\\), to \\(x=7\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: w ciągu geometrycznym \\(b^{2}=ac\\) (warunek środka geometrycznego).

"}]}