{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nCiąg \n\nn\na\nokreślony dla\n1\n\nn\njest arytmetyczny oraz\n3\n10\na \ni\n4\n14\na \n. Pierwszy wyraz tego\nciągu jest równy\nA.\n1\n2\na \nB.\n1\n2\na \nC.\n1\n6\na \nD.\n1\n12\na \nZadanie 13 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (a_n) określony dla n >= 1 jest arytmetyczny oraz a_3=10 i a_4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. a_1=-2, B. a_1=2, C. a_1=6, D. a_1=12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie własności ciągu\narytmetycznego (II.5.c)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (Obwód = \\(20\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo → proporcja boków → wzór Pitagorasa\n\n**Krok 1: Ustalamy stosunek boków.**\n\nProstokąt \\(ABCD\\) jest podobny do prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\), więc jego boki są w tym samym stosunku:\n\n\\[\\frac{a}{b} = \\frac{2}{3}\\]\n\nMożemy zapisać boki \\(ABCD\\) jako:\n\n\\[a = 2k, \\quad b = 3k \\quad \\text{dla pewnego } k > 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(k\\) z warunku na przekątną.**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa przekątna prostokąta wynosi:\n\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2} = \\sqrt{4k^2 + 9k^2} = \\sqrt{13k^2} = k\\sqrt{13}\\]\n\nWiemy, że \\(d = 2\\sqrt{13}\\), więc:\n\n\\[k\\sqrt{13} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n\\[\\boxed{k = 2}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy boki i obwód.**\n\n\\[a = 2k = 4, \\quad b = 3k = 6\\]\n\n\\[\\text{Obwód} = 2(a + b) = 2(4 + 6) = \\mathbf{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną\n\nSprawdzamy, czy prostokąt \\(4 \\times 6\\) ma przekątną \\(2\\sqrt{13}\\):\n\n\\[d = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia \\(k\\) z długości przekątnej.\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z osobnego wzoru na podobieństwo - wystarczy właściwość definicyjna figur podobnych (proporcjonalność odpowiednich boków).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(2(a+b)\\) dla pierwotnego prostokąta \\(2 \\times 3\\) - **myli oryginał z kopią** |\n| C (\\(5\\)) | Liczy tylko \\(a + b = 4 + 6 = 10\\) i myśli, że to obwód - **zapomina pomnożyć przez 2** |\n| D (\\(24\\)) | Przyjmuje błędny współczynnik podobieństwa (np. \\(k = 3\\)), boki \\(6\\) i \\(9\\), obwód \\(30\\) - albo liczy \\(4 \\cdot 6 = 24\\) myląc obwód z polem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo figur to proporcjonalność **boków**, nie równość. Zapamiętaj, że stosunek \\(2:3\\) to nie wartości boków, tylko ich proporcja - musisz wyznaczyć skalę \\(k\\) z dodatkowego warunku (tu: długość przekątnej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{13k^2}\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{k^2} = k\\) (dla \\(k > 0\\)), więc wychodzi \\(k\\sqrt{13}\\), a nie \\(k^2\\sqrt{13}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa\nPrzekątna prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\):\n\\[d = \\sqrt{2^{2}+3^{2}} = \\sqrt{13}.\\]\nPrzekątna \\(ABCD\\) wynosi \\(2\\sqrt{13}\\), więc skala podobieństwa \\(k = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = 2\\).\n\nBoki \\(ABCD\\): \\(2\\cdot 2=4\\) oraz \\(3\\cdot 2=6\\).\nObwód: \\(2(4+6) = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Obwód małego i skala\nObwód małego prostokąta: \\(2(2+3) = 10\\). Obwód w skali podobieństwa zmienia się **liniowo** (tak jak bok). Skala \\(k=2\\), więc obwód \\(= 10\\cdot 2 = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - obwód małego prostokąta, bez skalowania.\n- **C. \\(5\\)** - połowa obwodu małego, nie ma sensu.\n- **D. \\(24\\)** - błąd obliczeniowy, np. skala 3:2.\n\n**Pamiętaj:** przy podobieństwie **obwód** zmienia się jak \\(k\\), **pole** jak \\(k^{2}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Ciąg <br><br>n<br>a<br>określony dla<br>1<br><br>n<br>jest arytmetyczny oraz<br>3<br>10<br>a <br>i<br>4<br>14<br>a <br>. Pierwszy wyraz tego<br>ciągu jest równy<br>A.<br>1<br>2<br>a <br>B.<br>1<br>2<br>a <br>C.<br>1<br>6<br>a <br>D.<br>1<br>12<br>a <br>Zadanie 13 z matury podstawowej - maj 2013. Ciąg (a_n) określony dla n &gt;= 1 jest arytmetyczny oraz a_3=10 i a_4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. a_1=-2, B. a_1=2, C. a_1=6, D. a_1=12</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystanie własności ciągu<br>arytmetycznego (II.5.c)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (Obwód = \\(20\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podobieństwo → proporcja boków → wzór Pitagorasa</h4>\n<p><strong>Krok 1: Ustalamy stosunek boków.</strong></p>\n<p>Prostokąt \\(ABCD\\) jest podobny do prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\), więc jego boki są w tym samym stosunku:</p>\n<p>\\[\\frac{a}{b} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p>Możemy zapisać boki \\(ABCD\\) jako:</p>\n<p>\\[a = 2k, \\quad b = 3k \\quad \\text{dla pewnego } k &gt; 0\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy \\(k\\) z warunku na przekątną.</strong></p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa przekątna prostokąta wynosi:</p>\n<p>\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{(2k)^2 + (3k)^2} = \\sqrt{4k^2 + 9k^2} = \\sqrt{13k^2} = k\\sqrt{13}\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(d = 2\\sqrt{13}\\), więc:</p>\n<p>\\[k\\sqrt{13} = 2\\sqrt{13}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{k = 2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy boki i obwód.</strong></p>\n<p>\\[a = 2k = 4, \\quad b = 3k = 6\\]</p>\n<p>\\[\\text{Obwód} = 2(a + b) = 2(4 + 6) = \\mathbf{20}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy prostokąt \\(4 \\times 6\\) ma przekątną \\(2\\sqrt{13}\\):</p>\n<p>\\[d = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13} \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[d^2 = a^2 + b^2\\]<br>Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia \\(k\\) z długości przekątnej.</p>\n<p>W tym zadaniu nie korzystamy z osobnego wzoru na podobieństwo - wystarczy właściwość definicyjna figur podobnych (proporcjonalność odpowiednich boków).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(2(a+b)\\) dla pierwotnego prostokąta \\(2 \\times 3\\) - <strong>myli oryginał z kopią</strong> |<br>| C (\\(5\\)) | Liczy tylko \\(a + b = 4 + 6 = 10\\) i myśli, że to obwód - <strong>zapomina pomnożyć przez 2</strong> |<br>| D (\\(24\\)) | Przyjmuje błędny współczynnik podobieństwa (np. \\(k = 3\\)), boki \\(6\\) i \\(9\\), obwód \\(30\\) - albo liczy \\(4 \\cdot 6 = 24\\) myląc obwód z polem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podobieństwo figur to proporcjonalność <strong>boków</strong>, nie równość. Zapamiętaj, że stosunek \\(2:3\\) to nie wartości boków, tylko ich proporcja - musisz wyznaczyć skalę \\(k\\) z dodatkowego warunku (tu: długość przekątnej).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{13k^2}\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{k^2} = k\\) (dla \\(k &gt; 0\\)), więc wychodzi \\(k\\sqrt{13}\\), a nie \\(k^2\\sqrt{13}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obwód prostokąta to \\(2(a+b)\\), nie \\(a + b\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych na egzaminie!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Skala podobieństwa</h5>\n<p>Przekątna prostokąta o bokach \\(2\\) i \\(3\\):<br>\\[d = \\sqrt{2^{2}+3^{2}} = \\sqrt{13}.\\]<br>Przekątna \\(ABCD\\) wynosi \\(2\\sqrt{13}\\), więc skala podobieństwa \\(k = \\dfrac{2\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = 2\\).</p>\n<p>Boki \\(ABCD\\): \\(2\\cdot 2=4\\) oraz \\(3\\cdot 2=6\\).<br>Obwód: \\(2(4+6) = 20\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Obwód małego i skala</h5>\n<p>Obwód małego prostokąta: \\(2(2+3) = 10\\). Obwód w skali podobieństwa zmienia się <strong>liniowo</strong> (tak jak bok). Skala \\(k=2\\), więc obwód \\(= 10\\cdot 2 = 20\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(10\\)</strong> - obwód małego prostokąta, bez skalowania.</li><li><strong>C. \\(5\\)</strong> - połowa obwodu małego, nie ma sensu.</li><li><strong>D. \\(24\\)</strong> - błąd obliczeniowy, np. skala 3:2.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> przy podobieństwie <strong>obwód</strong> zmienia się jak \\(k\\), <strong>pole</strong> jak \\(k^{2}\\).</p>"}]}