{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Wartość wyrażenia\n2\ncos\n2\n\njest równa\nA.\n7\n4\n\nB.\n1\n4\n\nC. 1\n2\nD.\n3\n2\nZadanie 14 z matury podstawowej - maj 2013. Kąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Wartość wyrażenia cos^2 alfa -2 jest równa A. -7\\o4, B. -1/4, C. 1/2, D. pierwiastek z 3 / 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nZastosowanie prostych związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego do obliczenia wartości wyrażenia\n(II.6.c)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{9}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt\n\nKąt ostry rombu to \\(\\alpha\\), przy czym \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Wyznaczamy kąt:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]\n\n**Obliczamy sinus tego kąta** (z karty wzorów lub \"jedynki trygonometrycznej\"):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Stosujemy wzór na pole rombu:**\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\\[P = 3^2 \\cdot \\sin 30° = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość rombu\n\nWysokość rombu to odcinek prostopadły do boku, opuszczony z wierzchołka. Z trójkąta prostokątnego:\n\n\\[h = a \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot \\sin 30° = 3 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPole rombu to pole prostokąta o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\\[P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P_{\\text{romb}} = a^2 \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a\\) to bok, \\(\\alpha\\) to dowolny kąt wewnętrzny. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nAlternatywnie korzystamy z ogólnego wzoru na pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\n(Romb dzielimy na dwa przystające trójkąty, każdy ma dwa boki długości \\(a\\) i kąt \\(\\alpha\\) między nimi.)\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do identyfikacji kąta i obliczenia sinusa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole trójkąta zamiast rombu: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{9}{4}\\) - wzięto połowę zamiast całości (albo pomylono romb z trójkątem) |\n| C - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{2}\\) | Pomylono kąt - skoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to kąt ostry to \\(30°\\), ale uczeń liczy: \\(P = a^2 \\sin 60° = 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), jakby \\(\\alpha = 60°\\) (zamienił cosinus z sinusem lub pomylił kąt ostry z kątem rozwartym) |\n| D - \\(6\\) | Uczeń liczy wysokość \\(h = a \\cos\\alpha = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem \\(P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\) - użył \\(\\cos\\) zamiast \\(\\sin\\) do wyznaczenia wysokości |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dane jest \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli \\(\\alpha = 30°\\). Do wzoru na pole potrzebujesz **sinusa** - nie myl \\(\\sin\\) z \\(\\cos\\)! Wiele błędów bierze się z wstawienia wprost \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) działa dla **dowolnego** kąta wewnętrznego rombu (ostrego lub rozwartego), bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Zawsze możesz wziąć kąt ostry - wynik będzie ten sam.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać przekątnych - to niepotrzebnie komplikuje zadanie. Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) jest najprostszy i bezpośredni.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole rombu z kątem\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\).\nPole rombu:\n\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 3^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Z jedynki trygonometrycznej\n\\(\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2} = 1 - \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{1}{4}\\).\n\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).\nPole: \\(P = 9\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{9\\sqrt{3}}{4}\\)** - ktoś wziął iloczyn \\(a^{2}\\cdot\\cos\\alpha\\cdot\\tfrac{1}{2}\\), błędny wzór.\n- **C. \\(\\tfrac{9\\sqrt{3}}{2}\\)** - użycie \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\alpha\\).\n- **D. \\(6\\)** - brak uzasadnienia dla tej wartości.\n\n**Wzór na pole rombu:** \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) - zawsze \\(\\sin\\), nie \\(\\cos\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i
3
sin
2

. Wartość wyrażenia
2
cos
2

jest równa
A.
7
4

B.
1
4

C. 1
2
D.
3
2
Zadanie 14 z matury podstawowej - maj 2013. Kąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Wartość wyrażenia cos^2 alfa -2 jest równa A. -7\\o4, B. -1/4, C. 1/2, D. pierwiastek z 3 / 2

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Zastosowanie prostych związków między
funkcjami trygonometrycznymi kąta
ostrego do obliczenia wartości wyrażenia
(II.6.c)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{9}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt

\n

Kąt ostry rombu to \\(\\alpha\\), przy czym \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Wyznaczamy kąt:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]

\n

Obliczamy sinus tego kąta (z karty wzorów lub "jedynki trygonometrycznej"):
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]

\n

Stosujemy wzór na pole rombu:
\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]
\\[P = 3^2 \\cdot \\sin 30° = 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wysokość rombu

\n

Wysokość rombu to odcinek prostopadły do boku, opuszczony z wierzchołka. Z trójkąta prostokątnego:

\n

\\[h = a \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot \\sin 30° = 3 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Pole rombu to pole prostokąta o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(h\\):
\\[P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3}{2} = \\boxed{\\frac{9}{2}}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - pole rombu:
\\[P_{\\text{romb}} = a^2 \\sin\\alpha\\]
gdzie \\(a\\) to bok, \\(\\alpha\\) to dowolny kąt wewnętrzny. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

\n

Alternatywnie korzystamy z ogólnego wzoru na pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]
(Romb dzielimy na dwa przystające trójkąty, każdy ma dwa boki długości \\(a\\) i kąt \\(\\alpha\\) między nimi.)

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - wartości funkcji trygonometrycznych:
\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]
Użyliśmy do identyfikacji kąta i obliczenia sinusa.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole trójkąta zamiast rombu: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a^2 \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\cdot 9 \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{9}{4}\\) - wzięto połowę zamiast całości (albo pomylono romb z trójkątem) |
| C - \\(\\dfrac{9\\sqrt{3}}{2}\\) | Pomylono kąt - skoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to kąt ostry to \\(30°\\), ale uczeń liczy: \\(P = a^2 \\sin 60° = 9 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), jakby \\(\\alpha = 60°\\) (zamienił cosinus z sinusem lub pomylił kąt ostry z kątem rozwartym) |
| D - \\(6\\) | Uczeń liczy wysokość \\(h = a \\cos\\alpha = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a potem \\(P = a \\cdot h = 3 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\) - użył \\(\\cos\\) zamiast \\(\\sin\\) do wyznaczenia wysokości |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dane jest \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli \\(\\alpha = 30°\\). Do wzoru na pole potrzebujesz sinusa - nie myl \\(\\sin\\) z \\(\\cos\\)! Wiele błędów bierze się z wstawienia wprost \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) działa dla dowolnego kąta wewnętrznego rombu (ostrego lub rozwartego), bo \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\). Zawsze możesz wziąć kąt ostry - wynik będzie ten sam.
\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba wyznaczać przekątnych - to niepotrzebnie komplikuje zadanie. Wzór \\(P = a^2 \\sin\\alpha\\) jest najprostszy i bezpośredni.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na pole rombu z kątem
\n

\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\).
Pole rombu:
\\[P = a^{2}\\sin\\alpha = 3^{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Z jedynki trygonometrycznej
\n

\\(\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2} = 1 - \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{1}{4}\\).
\\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).
Pole: \\(P = 9\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{9}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Wzór na pole rombu: \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\) - zawsze \\(\\sin\\), nie \\(\\cos\\).

"}]}