{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nŚrednice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50(tak jak na rysunku).\nMiara kąta  jest równa\nA. 25\nB. 30\nC. 40\nD. 50\nZadanie 15 z matury podstawowej - maj 2013. Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 stopni (tak jak na rysunku). Miara kąta alfa jest równa A. 25 stopni, B. 30 stopni, C. 40 stopni, D. 50 stopni","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykorzystanie związków między kątem\nwpisanym i środkowym (I.7.a)\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole i prosta algebra\n\nSześcian ma bok \\(a\\). Jego pole powierzchni całkowitej składa się z **6 kwadratowych ścian**, każda o polu \\(a^2\\):\n\n\\[P_c = 6a^2\\]\n\nPodstawiamy dane:\n\n\\[6a^2 = 12\\]\n\n\\[a^2 = 2\\]\n\n\\[a = \\sqrt{2}\\]\n\nTeraz wyznaczamy sumę krawędzi. Sześcian ma **12 krawędzi** (po 4 na każdej z 3 „warstw\"):\n\n\\[S = 12a = 12\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{2}\\) pole naprawdę wynosi \\(12\\):\n\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]\n\nSuma krawędzi:\n\n\\[S = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do:\n\\[P_c = 6a^2\\]\nTego wzoru użyliśmy do wyznaczenia boku \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(8\\sqrt{2}\\) | Mylenie liczby krawędzi: wzięto **8** zamiast **12** (8 to liczba wierzchołków!) |\n| C - \\(6\\sqrt{2}\\) | Wzięto **6** krawędzi (liczba ścian) zamiast 12 |\n| D - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono tylko **jedną krawędź** \\(a = \\sqrt{2}\\) i podzielono przez coś, albo wzięto 3 krawędzie (po jednej z każdego kierunku) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 8 (8 to wierzchołki!) i nie 6 (6 to ściany). Warto to zapamiętać raz na zawsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(6a^2 = 12\\) dostajemy \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\) - nie \\(a = 2\\)! Błąd pominięcia pierwiastka (wzięcie \\(a = 2\\)) dałoby \\(S = 24\\), czego nie ma wśród odpowiedzi, ale na innych zadaniach taki błąd mógłby trafić w mylącą odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to \\(6a^2\\), a nie \\(a^2\\) (pole jednej ściany) ani \\(a^3\\) (objętość). Nie myl tych wzorów!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie krawędzi\nPole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):\n\\[P_{c} = 6a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]\nSześcian ma \\(12\\) krawędzi. Suma ich długości:\n\\[12a = 12\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numerem\nJeśli \\(a=\\sqrt{2}\\), to pole jednej ściany \\(= (\\sqrt{2})^{2} = 2\\). Sześć ścian: \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓.\nSuma krawędzi: \\(12\\cdot\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(8\\sqrt{2}\\)** - \\(8\\) krawędzi (np. pomylenie z prostopadłościanem?); sześcian ma 12.\n- **C. \\(6\\sqrt{2}\\)** - \\(6\\) krawędzi, błędna liczba.\n- **D. \\(3\\sqrt{2}\\)** - \\(3\\) krawędzie, bezsensowna liczba.\n\n**Pamiętaj:** sześcian ma **12 krawędzi** i **6 ścian**.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50(tak jak na rysunku).
Miara kąta  jest równa
A. 25
B. 30
C. 40
D. 50
Zadanie 15 z matury podstawowej - maj 2013. Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 stopni (tak jak na rysunku). Miara kąta alfa jest równa A. 25 stopni, B. 30 stopni, C. 40 stopni, D. 50 stopni

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Wykorzystanie i tworzenie
informacji
Wykorzystanie związków między kątem
wpisanym i środkowym (I.7.a)
A
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(12\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób 1 - Ze wzoru na pole i prosta algebra

\n

Sześcian ma bok \\(a\\). Jego pole powierzchni całkowitej składa się z 6 kwadratowych ścian, każda o polu \\(a^2\\):

\n

\\[P_c = 6a^2\\]

\n

Podstawiamy dane:

\n

\\[6a^2 = 12\\]

\n

\\[a^2 = 2\\]

\n

\\[a = \\sqrt{2}\\]

\n

Teraz wyznaczamy sumę krawędzi. Sześcian ma 12 krawędzi (po 4 na każdej z 3 „warstw"):

\n

\\[S = 12a = 12\\sqrt{2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{2}\\) pole naprawdę wynosi \\(12\\):

\n

\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]

\n

Suma krawędzi:

\n

\\[S = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:
\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]
Dla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się do:
\\[P_c = 6a^2\\]
Tego wzoru użyliśmy do wyznaczenia boku \\(a\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B - \\(8\\sqrt{2}\\) | Mylenie liczby krawędzi: wzięto 8 zamiast 12 (8 to liczba wierzchołków!) |
| C - \\(6\\sqrt{2}\\) | Wzięto 6 krawędzi (liczba ścian) zamiast 12 |
| D - \\(3\\sqrt{2}\\) | Policzono tylko jedną krawędź \\(a = \\sqrt{2}\\) i podzielono przez coś, albo wzięto 3 krawędzie (po jednej z każdego kierunku) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Sześcian ma 12 krawędzi, nie 8 (8 to wierzchołki!) i nie 6 (6 to ściany). Warto to zapamiętać raz na zawsze.
\n
⚠️ Uwaga: Z \\(6a^2 = 12\\) dostajemy \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\) - nie \\(a = 2\\)! Błąd pominięcia pierwiastka (wzięcie \\(a = 2\\)) dałoby \\(S = 24\\), czego nie ma wśród odpowiedzi, ale na innych zadaniach taki błąd mógłby trafić w mylącą odpowiedź.
\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni całkowitej to \\(6a^2\\), a nie \\(a^2\\) (pole jednej ściany) ani \\(a^3\\) (objętość). Nie myl tych wzorów!
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Obliczenie krawędzi
\n

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi \\(a\\):
\\[P_{c} = 6a^{2} = 12 \\Rightarrow a^{2} = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]
Sześcian ma \\(12\\) krawędzi. Suma ich długości:
\\[12a = 12\\sqrt{2}.\\]

\n
Sposób 2 - Weryfikacja numerem
\n

Jeśli \\(a=\\sqrt{2}\\), to pole jednej ściany \\(= (\\sqrt{2})^{2} = 2\\). Sześć ścian: \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓.
Suma krawędzi: \\(12\\cdot\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: sześcian ma 12 krawędzi i 6 ścian.

"}]}