{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nLiczba rzeczywistych rozwiązań równania \n\n\n\n2\n1\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nZadanie 16 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x^2+3)=0 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nRozwiązanie równania wielomianowego\n(I.3.d)\nC\nB\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie ma **2 rzeczywiste rozwiązania**.\n\n## Sposób 1 - analiza czynników iloczynu\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden z czynników jest równy zero**. Mamy trzy czynniki:\n\n\\[\n(x+1)(x+2)(x^2+3) = 0\n\\]\n\n**Czynnik 1:** \\(x + 1 = 0\\)\n\\[x = -1\\]\nTo rozwiązanie rzeczywiste. ✓\n\n**Czynnik 2:** \\(x + 2 = 0\\)\n\\[x = -2\\]\nTo rozwiązanie rzeczywiste. ✓\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 3 = 0\\)\n\\[x^2 = -3\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest **zawsze nieujemny**, tzn. \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\nZatem \\(x^2 = -3\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**. ✗\n\n**Łącznie:** dwa rozwiązania rzeczywiste - \\(x = -1\\) i \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\n**Dla \\(x = -1\\):**\n\\[\n(-1+1)(-1+2)((-1)^2+3) = 0 \\cdot 1 \\cdot 4 = 0 \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Dla \\(x = -2\\):**\n\\[\n(-2+1)(-2+2)((-2)^2+3) = (-1) \\cdot 0 \\cdot 7 = 0 \\quad \\checkmark\n\\]\n\n**Sprawdzamy, czy \\(x^2 + 3 > 0\\) dla wszystkich \\(x\\):**\n\nPonieważ \\(x^2 \\geq 0\\), mamy:\n\\[\nx^2 + 3 \\geq 0 + 3 = 3 > 0\n\\]\n\nCzynnik \\(x^2 + 3\\) jest **zawsze dodatni** - nigdy nie zeruje iloczynu.\n\nWynik potwierdzony: **dokładnie 2 rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja miejsca zerowego** (iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem) oraz fakt, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(0\\)) | Pominięcie, że \\(x+1=0\\) i \\(x+2=0\\) dają rozwiązania; skupienie tylko na czynniku kwadratowym |\n| B (\\(1\\)) | Policzono tylko jedno z dwóch liniowych miejsc zerowych (np. tylko \\(x = -1\\)) |\n| D (\\(4\\)) | Założono błędnie, że \\(x^2 + 3 = 0\\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste - **pominięto warunek \\(x^2 \\geq 0\\)** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D kusi - równanie stopnia 4 mogłoby mieć 4 pierwiastki. Ale to działa tylko w zbiorze liczb zespolonych, nie rzeczywistych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 3\\) wygląda jak trójmian kwadratowy - ktoś może liczyć jego deltę: \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = -12 < 0\\). Ujemna delta potwierdza brak pierwiastków rzeczywistych - to dobra metoda weryfikacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **każdy czynnik osobno** - nie mnóż ich razem! Rozwinięcie iloczynu do jednego wielomianu stopnia 4 jest niepotrzebne i wydłuża rozwiązanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zerowanie każdego czynnika\nIloczyn równy zero, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:\n- \\(x+1=0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓\n- \\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\) ✓\n- \\(x^{2}+3=0 \\Rightarrow x^{2}=-3\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny).\n\nDwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x=-1, x=-2\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza wyróżnika trójmianu\nTrójmian \\(x^{2}+3=x^{2}+0x+3\\): \\(\\Delta = 0^{2}-4\\cdot 1\\cdot 3 = -12 < 0\\), więc **brak pierwiastków rzeczywistych**.\nPozostałe dwa czynniki liniowe dają po jednym pierwiastku. Razem: \\(2\\) rzeczywiste rozwiązania.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\):** pomija \\(x=-1\\) i \\(x=-2\\).\n- **B. \\(1\\):** uwzględnia tylko jeden czynnik liniowy.\n- **D. \\(4\\):** zakłada, że \\(x^{2}+3=0\\) też ma rozwiązania rzeczywiste - fałsz.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^{2}+c\\ge c\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x\\); jeśli \\(c>0\\), brak pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Liczba rzeczywistych rozwiązań równania <br><br><br><br>2<br>1<br>2<br>3<br>0<br>x<br>x<br>x<br><br><br><br><br>jest równa<br>A. 0<br>B. 1<br>C. 2<br>D. 4<br>Zadanie 16 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba rzeczywistych rozwiązań równania (x+1)(x+2)(x^2+3)=0 jest równa A. 0, B. 1, C. 2, D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Rozwiązanie równania wielomianowego<br>(I.3.d)<br>C<br>B<br>Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy<br>4</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Równanie ma <strong>2 rzeczywiste rozwiązania</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - analiza czynników iloczynu</h4>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy <strong>co najmniej jeden z czynników jest równy zero</strong>. Mamy trzy czynniki:</p>\n<p>\\[<br>(x+1)(x+2)(x^2+3) = 0<br>\\]</p>\n<p><strong>Czynnik 1:</strong> \\(x + 1 = 0\\)<br>\\[x = -1\\]<br>To rozwiązanie rzeczywiste. ✓</p>\n<p><strong>Czynnik 2:</strong> \\(x + 2 = 0\\)<br>\\[x = -2\\]<br>To rozwiązanie rzeczywiste. ✓</p>\n<p><strong>Czynnik 3:</strong> \\(x^2 + 3 = 0\\)<br>\\[x^2 = -3\\]</p>\n<p>Kwadrat liczby rzeczywistej jest <strong>zawsze nieujemny</strong>, tzn. \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).</p>\n<p>Zatem \\(x^2 = -3\\) <strong>nie ma rozwiązań rzeczywistych</strong>. ✗</p>\n<p><strong>Łącznie:</strong> dwa rozwiązania rzeczywiste - \\(x = -1\\) i \\(x = -2\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:</p>\n<p><strong>Dla \\(x = -1\\):</strong><br>\\[<br>(-1+1)(-1+2)((-1)^2+3) = 0 \\cdot 1 \\cdot 4 = 0 \\quad \\checkmark<br>\\]</p>\n<p><strong>Dla \\(x = -2\\):</strong><br>\\[<br>(-2+1)(-2+2)((-2)^2+3) = (-1) \\cdot 0 \\cdot 7 = 0 \\quad \\checkmark<br>\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy \\(x^2 + 3 &gt; 0\\) dla wszystkich \\(x\\):</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(x^2 \\geq 0\\), mamy:<br>\\[<br>x^2 + 3 \\geq 0 + 3 = 3 &gt; 0<br>\\]</p>\n<p>Czynnik \\(x^2 + 3\\) jest <strong>zawsze dodatni</strong> - nigdy nie zeruje iloczynu.</p>\n<p>Wynik potwierdzony: <strong>dokładnie 2 rozwiązania</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>definicja miejsca zerowego</strong> (iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem) oraz fakt, że \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(0\\)) | Pominięcie, że \\(x+1=0\\) i \\(x+2=0\\) dają rozwiązania; skupienie tylko na czynniku kwadratowym |<br>| B (\\(1\\)) | Policzono tylko jedno z dwóch liniowych miejsc zerowych (np. tylko \\(x = -1\\)) |<br>| D (\\(4\\)) | Założono błędnie, że \\(x^2 + 3 = 0\\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste - <strong>pominięto warunek \\(x^2 \\geq 0\\)</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D kusi - równanie stopnia 4 mogłoby mieć 4 pierwiastki. Ale to działa tylko w zbiorze liczb zespolonych, nie rzeczywistych!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czynnik \\(x^2 + 3\\) wygląda jak trójmian kwadratowy - ktoś może liczyć jego deltę: \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = -12 &lt; 0\\). Ujemna delta potwierdza brak pierwiastków rzeczywistych - to dobra metoda weryfikacji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj <strong>każdy czynnik osobno</strong> - nie mnóż ich razem! Rozwinięcie iloczynu do jednego wielomianu stopnia 4 jest niepotrzebne i wydłuża rozwiązanie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zerowanie każdego czynnika</h5>\n<p>Iloczyn równy zero, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem:</p>\n<ul><li>\\(x+1=0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓</li><li>\\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\) ✓</li><li>\\(x^{2}+3=0 \\Rightarrow x^{2}=-3\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny).</li></ul>\n<p>Dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x=-1, x=-2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza wyróżnika trójmianu</h5>\n<p>Trójmian \\(x^{2}+3=x^{2}+0x+3\\): \\(\\Delta = 0^{2}-4\\cdot 1\\cdot 3 = -12 &lt; 0\\), więc <strong>brak pierwiastków rzeczywistych</strong>.<br>Pozostałe dwa czynniki liniowe dają po jednym pierwiastku. Razem: \\(2\\) rzeczywiste rozwiązania.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\):</strong> pomija \\(x=-1\\) i \\(x=-2\\).</li><li><strong>B. \\(1\\):</strong> uwzględnia tylko jeden czynnik liniowy.</li><li><strong>D. \\(4\\):</strong> zakłada, że \\(x^{2}+3=0\\) też ma rozwiązania rzeczywiste - fałsz.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(x^{2}+c\\ge c\\) dla wszystkich rzeczywistych \\(x\\); jeśli \\(c&gt;0\\), brak pierwiastków rzeczywistych.</p>"}]}