{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n1,2\nA \ni\n\n\n5, 2\nB \n\nsą dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód\ntego rombu jest równy\nA.\n13\nB.\n13\nC. 676\nD. 8 13\nZadanie 17 z matury podstawowej - maj 2013. Punkty A = (-1,2) i B = (5,-2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy A. pierwiastek z 13, B. 13, C. 676, D. 8 * pierwiastek z 13","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczanie odległości punktów na\npłaszczyźnie i obwodu rombu (II.8.e)\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - trzy miejsca zerowe\n\n## Sposób 1 - Analiza czynników iloczynu\n\nFunkcja jest zapisana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = 3x \\cdot (x^2 + 5) \\cdot (2 - x) \\cdot (x + 1)\\]\n\nMiejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\). Iloczyn jest równy zero **wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero**.\n\nSprawdzamy każdy czynnik po kolei:\n\n**Czynnik 1:** \\(3 = 0\\) - niemożliwe, stała niezerowa. Brak pierwiastka.\n\n**Czynnik 2:** \\(x = 0\\) - **zero funkcji: \\(x = 0\\)** ✓\n\n**Czynnik 3:** \\(x^2 + 5 = 0\\)\n\\[x^2 = -5\\]\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n**Czynnik 4:** \\(2 - x = 0\\)\n\\[x = 2\\]\n**Zero funkcji: \\(x = 2\\)** ✓\n\n**Czynnik 5:** \\(x + 1 = 0\\)\n\\[x = -1\\]\n**Zero funkcji: \\(x = -1\\)** ✓\n\n**Zatem funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe:** \\(x = -1,\\; x = 0,\\; x = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Analiza przez wyróżnik trójmianu (weryfikacja czynnika \\(x^2+5\\))\n\nKtoś mógłby mieć wątpliwości co do czynnika \\(x^2 + 5\\). Sprawdźmy to formalnie, traktując go jako trójmian kwadratowy \\(ax^2 + bx + c\\) z \\(a = 1,\\; b = 0,\\; c = 5\\):\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 5 = -20\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta < 0\\), trójmian \\(x^2 + 5\\) **nie ma żadnych miejsc zerowych** w zbiorze liczb rzeczywistych.\n\nPotwierdza to, że jedyne zera funkcji \\(f\\) pochodzą od czynników \\(x\\), \\((2-x)\\) i \\((x+1)\\), czyli jest ich dokładnie **trzy**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do udowodnienia, że \\(x^2 + 5 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -20 < 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń widzi parę \\(x(x+1)\\) i liczy tylko dwa \"oczywiste\" pierwiastki, pomijając czynnik \\((2-x)\\) |\n| C | Uczeń zakłada, że \\(x^2 + 5\\) też daje dwa pierwiastki (zapomina sprawdzić \\(\\Delta\\)), przez co liczy \\(0 + 2 + 1 + 1 = 4\\) |\n| D | Uczeń mylnie uznaje wszystkie 5 czynników iloczynu (łącznie ze stałą \\(3\\)) za równoważne pierwiastki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(x^2 + 5\\) wygląda jak trójmian kwadratowy z dwoma pierwiastkami - ale \\(+5\\) sprawia, że \\(\\Delta < 0\\) i **brak rozwiązań rzeczywistych**. Gdyby był to \\(x^2 - 5\\), byłyby dwa pierwiastki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie licz \"ile czynników ma iloczyn\" - to nie to samo co \"ile zer ma funkcja\". Każdy czynnik trzeba osobno zbadać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stała \\(3\\) przed iloczynem **nie jest czynnikiem zmiennym** - nie daje żadnego zera. Pamiętaj: szukasz \\(x\\), dla których dany czynnik zeruje się.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza czynników\nMiejsce zerowe: \\(f(x)=0\\). Iloczyn = 0, gdy jeden z czynników = 0.\n- \\(3x = 0 \\Rightarrow x=0\\) ✓\n- \\(x^{2}+5 = 0 \\Rightarrow x^{2}=-5\\) - brak rozwiązań rzeczywistych\n- \\(2-x = 0 \\Rightarrow x=2\\) ✓\n- \\(x+1 = 0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓\n\nMiejsca zerowe: \\(x=0, x=2, x=-1\\). Łącznie **trzy**.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja czynnika dodatniego\n\\(x^{2}+5 \\ge 5 > 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc ten czynnik nigdy nie zeruje \\(f(x)\\). Pozostałe trzy czynniki dają trzy różne pierwiastki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. dwa** - pominięte jedno miejsce zerowe.\n- **C. cztery** - ktoś błędnie uznał, że \\(x^{2}+5\\) ma miejsca zerowe.\n- **D. pięć** - niemożliwe, stopień wielomianu to tylko \\(5\\) tak, ale z czynnika \\(x^{2}+5\\) miejsc nie ma.\n\n**Pamiętaj:** \\(x^{2}+c\\) z \\(c>0\\) **nie ma** miejsc zerowych rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Punkty<br><br><br>1,2<br>A <br>i<br><br><br>5, 2<br>B <br><br>są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód<br>tego rombu jest równy<br>A.<br>13<br>B.<br>13<br>C. 676<br>D. 8 13<br>Zadanie 17 z matury podstawowej - maj 2013. Punkty A = (-1,2) i B = (5,-2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy A. pierwiastek z 13, B. 13, C. 676, D. 8 * pierwiastek z 13</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Obliczanie odległości punktów na<br>płaszczyźnie i obwodu rombu (II.8.e)<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - trzy miejsca zerowe</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza czynników iloczynu</h4>\n<p>Funkcja jest zapisana w <strong>postaci iloczynowej</strong>:<br>\\[f(x) = 3x \\cdot (x^2 + 5) \\cdot (2 - x) \\cdot (x + 1)\\]</p>\n<p>Miejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\). Iloczyn jest równy zero <strong>wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest równy zero</strong>.</p>\n<p>Sprawdzamy każdy czynnik po kolei:</p>\n<p><strong>Czynnik 1:</strong> \\(3 = 0\\) - niemożliwe, stała niezerowa. Brak pierwiastka.</p>\n<p><strong>Czynnik 2:</strong> \\(x = 0\\) - <strong>zero funkcji: \\(x = 0\\)</strong> ✓</p>\n<p><strong>Czynnik 3:</strong> \\(x^2 + 5 = 0\\)<br>\\[x^2 = -5\\]<br>Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Brak rozwiązań rzeczywistych.</p>\n<p><strong>Czynnik 4:</strong> \\(2 - x = 0\\)<br>\\[x = 2\\]<br><strong>Zero funkcji: \\(x = 2\\)</strong> ✓</p>\n<p><strong>Czynnik 5:</strong> \\(x + 1 = 0\\)<br>\\[x = -1\\]<br><strong>Zero funkcji: \\(x = -1\\)</strong> ✓</p>\n<p><strong>Zatem funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe:</strong> \\(x = -1,\\; x = 0,\\; x = 2\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza przez wyróżnik trójmianu (weryfikacja czynnika \\(x^2+5\\))</h4>\n<p>Ktoś mógłby mieć wątpliwości co do czynnika \\(x^2 + 5\\). Sprawdźmy to formalnie, traktując go jako trójmian kwadratowy \\(ax^2 + bx + c\\) z \\(a = 1,\\; b = 0,\\; c = 5\\):</p>\n<p>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 5 = -20\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\Delta &lt; 0\\), trójmian \\(x^2 + 5\\) <strong>nie ma żadnych miejsc zerowych</strong> w zbiorze liczb rzeczywistych.</p>\n<p>Potwierdza to, że jedyne zera funkcji \\(f\\) pochodzą od czynników \\(x\\), \\((2-x)\\) i \\((x+1)\\), czyli jest ich dokładnie <strong>trzy</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wyróżnik trójmianu:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do udowodnienia, że \\(x^2 + 5 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta = -20 &lt; 0\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń widzi parę \\(x(x+1)\\) i liczy tylko dwa &quot;oczywiste&quot; pierwiastki, pomijając czynnik \\((2-x)\\) |<br>| C | Uczeń zakłada, że \\(x^2 + 5\\) też daje dwa pierwiastki (zapomina sprawdzić \\(\\Delta\\)), przez co liczy \\(0 + 2 + 1 + 1 = 4\\) |<br>| D | Uczeń mylnie uznaje wszystkie 5 czynników iloczynu (łącznie ze stałą \\(3\\)) za równoważne pierwiastki |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czynnik \\(x^2 + 5\\) wygląda jak trójmian kwadratowy z dwoma pierwiastkami - ale \\(+5\\) sprawia, że \\(\\Delta &lt; 0\\) i <strong>brak rozwiązań rzeczywistych</strong>. Gdyby był to \\(x^2 - 5\\), byłyby dwa pierwiastki!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie licz &quot;ile czynników ma iloczyn&quot; - to nie to samo co &quot;ile zer ma funkcja&quot;. Każdy czynnik trzeba osobno zbadać.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stała \\(3\\) przed iloczynem <strong>nie jest czynnikiem zmiennym</strong> - nie daje żadnego zera. Pamiętaj: szukasz \\(x\\), dla których dany czynnik zeruje się.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza czynników</h5>\n<p>Miejsce zerowe: \\(f(x)=0\\). Iloczyn = 0, gdy jeden z czynników = 0.</p>\n<ul><li>\\(3x = 0 \\Rightarrow x=0\\) ✓</li><li>\\(x^{2}+5 = 0 \\Rightarrow x^{2}=-5\\) - brak rozwiązań rzeczywistych</li><li>\\(2-x = 0 \\Rightarrow x=2\\) ✓</li><li>\\(x+1 = 0 \\Rightarrow x=-1\\) ✓</li></ul>\n<p>Miejsca zerowe: \\(x=0, x=2, x=-1\\). Łącznie <strong>trzy</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja czynnika dodatniego</h5>\n<p>\\(x^{2}+5 \\ge 5 &gt; 0\\) dla każdego \\(x\\in\\mathbb{R}\\), więc ten czynnik nigdy nie zeruje \\(f(x)\\). Pozostałe trzy czynniki dają trzy różne pierwiastki.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. dwa</strong> - pominięte jedno miejsce zerowe.</li><li><strong>C. cztery</strong> - ktoś błędnie uznał, że \\(x^{2}+5\\) ma miejsca zerowe.</li><li><strong>D. pięć</strong> - niemożliwe, stopień wielomianu to tylko \\(5\\) tak, ale z czynnika \\(x^{2}+5\\) miejsc nie ma.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(x^{2}+c\\) z \\(c&gt;0\\) <strong>nie ma</strong> miejsc zerowych rzeczywistych.</p>"}]}