{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n4, 7\nS \njest środkiem odcinka PQ , gdzie\n\n\n17, 12\nQ \n. Zatem punkt P ma\nwspółrzędne\nA.\n\n\n2,\n25\nP \n\nB.\n\n\n38, 17\nP \nC.\n\n\n25, 2\nP \nD.\n\n\n12, 4\nP \nS\nA\nC\nB\nD\nM\n50\n\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nZadanie 18 z matury podstawowej - maj 2013. Punkt S=(-4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12). Zatem punkt P ma współrzędne A. P=(2,-25), B. P=(38,17), C. P=(-25,2), D. P=(-12,4).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie współrzędnych środka\nodcinka do wyznaczenia jednego z\nkońców tego odcinka (II.8.f)\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nProsta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\), a równanie to \\(x + 2y - 4 = 0\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie równania kierunkowego i zamiana na ogólne\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy.**\n\nProsta przechodzi przez \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\):\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{0 - 2}{4 - 0} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Odczytaj wyraz wolny.**\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 2)\\), więc \\(b = 2\\).\n\nRównanie kierunkowe: \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\)\n\n**Krok 3: Zamień na postać ogólną.**\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[2y = -x + 4\\]\n\\[x + 2y - 4 = 0\\]\n\n**To jest odpowiedź D.** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nSprawdzamy, czy punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\) spełniają równanie \\(x + 2y - 4 = 0\\):\n\nDla \\((0, 2)\\):\n\\[0 + 2 \\cdot 2 - 4 = 0 + 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\((4, 0)\\):\n\\[4 + 2 \\cdot 0 - 4 = 4 + 0 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nOba punkty leżą na prostej - odpowiedź **D jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia równania prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x - 2y - 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x - 2\\) - nachylenie dodatnie i ujemny wyraz wolny; prosta idzie w górę, nie w dół, i nie przechodzi przez \\((0,2)\\) |\n| B | \\(x + 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -\\frac{1}{2}x - 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy, ale \\(b = -2\\), prosta przecina \\(Oy\\) w \\((0,-2)\\), nie w \\((0,2)\\) |\n| C | \\(x - 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x + 2\\) - prosta ma nachylenie dodatnie (idzie w górę), podczas gdy na wykresie wyraźnie widać nachylenie ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie równania kierunkowego na ogólne łatwo pomylić znak - \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\) daje po przeniesieniu \\(x + 2y - 4 = 0\\), nie \\(x - 2y - 4 = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl nachylenia dodatniego z ujemnym patrząc na rysunek - prosta \"opadająca\" z lewej na prawo ma \\(a < 0\\). Tu \\(a = -\\frac{1}{2}\\), więc odpowiedzi z \\(x - 2y\\) (które dają \\(a = +\\frac{1}{2}\\)) od razu odpadają.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najszybsza weryfikacja to podstawienie obu punktów do każdej odpowiedzi - wystarczy 30 sekund i masz pewność bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Postać odcinkowa\nProsta przechodzi przez \\((4,0)\\) i \\((0,2)\\). Postać odcinkowa:\n\\[\\dfrac{x}{4} + \\dfrac{y}{2} = 1.\\]\nMnożymy przez \\(4\\):\n\\[x + 2y = 4 \\iff x + 2y - 4 = 0.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kierunkowa i przekształcenie\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{0-2}{4-0} = -\\dfrac{1}{2}\\).\nWyraz wolny: \\(b = 2\\).\nRównanie: \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2 \\iff 2y = -x+4 \\iff x+2y-4 = 0\\).\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie punktów\nDla \\((0,2)\\): \\(0+2\\cdot 2-4 = 0\\) ✓.\nDla \\((4,0)\\): \\(4+0-4 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(0-0-4 = -4 \\ne 0\\) dla \\((0,2)\\), \\(0-4-4=-8 \\ne 0\\) dla \\((4,0)\\).\n- **B.** \\(0+4+4=8\\ne 0\\) dla \\((0,2)\\).\n- **C.** \\(0-4+4=0\\) dla \\((0,2)\\) ✓, ale dla \\((4,0)\\): \\(4-0+4=8\\ne 0\\).\n\n**Trik:** podstawiaj oba znane punkty - właściwe równanie musi je spełniać.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Punkt<br><br><br>4, 7<br>S <br>jest środkiem odcinka PQ , gdzie<br><br><br>17, 12<br>Q <br>. Zatem punkt P ma<br>współrzędne<br>A.<br><br><br>2,<br>25<br>P <br><br>B.<br><br><br>38, 17<br>P <br>C.<br><br><br>25, 2<br>P <br>D.<br><br><br>12, 4<br>P <br>S<br>A<br>C<br>B<br>D<br>M<br>50<br></p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Zadanie 18 z matury podstawowej - maj 2013. Punkt S=(-4,7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q=(17,12). Zatem punkt P ma współrzędne A. P=(2,-25), B. P=(38,17), C. P=(-25,2), D. P=(-12,4).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Wykorzystanie współrzędnych środka<br>odcinka do wyznaczenia jednego z<br>końców tego odcinka (II.8.f)<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Prosta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\), a równanie to \\(x + 2y - 4 = 0\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie równania kierunkowego i zamiana na ogólne</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy.</strong></p>\n<p>Prosta przechodzi przez \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\):<br>\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{0 - 2}{4 - 0} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Odczytaj wyraz wolny.</strong></p>\n<p>Prosta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 2)\\), więc \\(b = 2\\).</p>\n<p>Równanie kierunkowe: \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\)</p>\n<p><strong>Krok 3: Zamień na postać ogólną.</strong></p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(2\\):<br>\\[2y = -x + 4\\]<br>\\[x + 2y - 4 = 0\\]</p>\n<p><strong>To jest odpowiedź D.</strong> ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy punkty \\((0, 2)\\) i \\((4, 0)\\) spełniają równanie \\(x + 2y - 4 = 0\\):</p>\n<p>Dla \\((0, 2)\\):<br>\\[0 + 2 \\cdot 2 - 4 = 0 + 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Dla \\((4, 0)\\):<br>\\[4 + 2 \\cdot 0 - 4 = 4 + 0 - 4 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba punkty leżą na prostej - odpowiedź <strong>D jest poprawna</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia równania prostej przez dwa punkty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(x - 2y - 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x - 2\\) - nachylenie dodatnie i ujemny wyraz wolny; prosta idzie w górę, nie w dół, i nie przechodzi przez \\((0,2)\\) |<br>| B | \\(x + 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = -\\frac{1}{2}x - 2\\) - dobry współczynnik kierunkowy, ale \\(b = -2\\), prosta przecina \\(Oy\\) w \\((0,-2)\\), nie w \\((0,2)\\) |<br>| C | \\(x - 2y + 4 = 0\\), czyli \\(y = \\frac{1}{2}x + 2\\) - prosta ma nachylenie dodatnie (idzie w górę), podczas gdy na wykresie wyraźnie widać nachylenie ujemne |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zamianie równania kierunkowego na ogólne łatwo pomylić znak - \\(y = -\\frac{1}{2}x + 2\\) daje po przeniesieniu \\(x + 2y - 4 = 0\\), nie \\(x - 2y - 4 = 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl nachylenia dodatniego z ujemnym patrząc na rysunek - prosta &quot;opadająca&quot; z lewej na prawo ma \\(a &lt; 0\\). Tu \\(a = -\\frac{1}{2}\\), więc odpowiedzi z \\(x - 2y\\) (które dają \\(a = +\\frac{1}{2}\\)) od razu odpadają.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najszybsza weryfikacja to podstawienie obu punktów do każdej odpowiedzi - wystarczy 30 sekund i masz pewność bez żadnych obliczeń.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Postać odcinkowa</h5>\n<p>Prosta przechodzi przez \\((4,0)\\) i \\((0,2)\\). Postać odcinkowa:<br>\\[\\dfrac{x}{4} + \\dfrac{y}{2} = 1.\\]<br>Mnożymy przez \\(4\\):<br>\\[x + 2y = 4 \\iff x + 2y - 4 = 0.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kierunkowa i przekształcenie</h5>\n<p>Współczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{0-2}{4-0} = -\\dfrac{1}{2}\\).<br>Wyraz wolny: \\(b = 2\\).<br>Równanie: \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2 \\iff 2y = -x+4 \\iff x+2y-4 = 0\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Sprawdzenie punktów</h5>\n<p>Dla \\((0,2)\\): \\(0+2\\cdot 2-4 = 0\\) ✓.<br>Dla \\((4,0)\\): \\(4+0-4 = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(0-0-4 = -4 \\ne 0\\) dla \\((0,2)\\), \\(0-4-4=-8 \\ne 0\\) dla \\((4,0)\\).</li><li><strong>B.</strong> \\(0+4+4=8\\ne 0\\) dla \\((0,2)\\).</li><li><strong>C.</strong> \\(0-4+4=0\\) dla \\((0,2)\\) ✓, ale dla \\((4,0)\\): \\(4-0+4=8\\ne 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> podstawiaj oba znane punkty - właściwe równanie musi je spełniać.</p>"}]}