{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nOdległość między środkami okręgów o równaniach \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n9\nx\ny\n\n\n\n\noraz\n2\n2\n10\nx\ny\n\n\njest równa\nA.\n5\nB.\n10\n3\n\nC. 3\nD. 5\nZadanie 19 z matury podstawowej - maj 2013. Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)^2+(y-2)^2 = 9 oraz x^2+y^2 = 10 jest równa A. pierwiastek z 5, B. pierwiastek z 10 - 3, C. 3, D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nPosługiwanie się równaniem okręgu\n\n\n\n\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr\n\n\n\n\n(II.8.g)\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)\n\n## Sposób 1 - identyfikacja kątów ze znanych wartości trygonometrycznych\n\nMamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(a = 1\\) i \\(b = \\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz przeciwprostokątną.**\n\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{1^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{1 + 3} = \\sqrt{4} = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąty przy podstawie.**\n\nNazwijmy \\(\\alpha\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(a = 1\\), a \\(\\beta\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(b = \\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZ karty wzorów (tablica wartości) wiemy, że:\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, który kąt jest najmniejszy.**\n\nKąty trójkąta: \\(90°\\), \\(30°\\) i \\(\\beta = 180° - 90° - 30° = 60°\\).\n\nKrótszy bok leży naprzeciwko mniejszego kąta. Skoro \\(1 < \\sqrt{3}\\), to kąt naprzeciwko boku \\(1\\) jest mniejszy.\n\n**Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).**\n\n## Sposób 2 - przez tangens\n\nZamiast szukać sinusa, możemy użyć tangensa wprost z przyprostokątnych.\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży między przeciwprostokątną a bokiem \\(b = \\sqrt{3}\\), a jego naprzeciwległa to \\(a = 1\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZ karty wzorów (tabela wartości, dział 9, s. 11):\n\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nZatem \\(\\alpha = 30°\\), co jest mniejsze od \\(\\beta = 60°\\) i \\(90°\\).\n\n**Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy \\(\\sin\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w Sposobie 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości:\n| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia przeciwprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((60°)\\) | Uczeń poprawnie wyznacza kąty \\(30°\\) i \\(60°\\), ale wybiera **większy** z nich, mylą się przy pytaniu \"najmniejszy\" |\n| C \\((45°)\\) | Uczeń zakłada błędnie, że trójkąt jest równoramienny (bo \"dwa boki\"), a \\(45°\\) to kąt trójkąta prostokątnego równoramiennego |\n| D \\((15°)\\) | Brak podstaw - taki kąt nie wynika z żadnych obliczeń dla tych danych; możliwy błąd przy przekształcaniu \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kąta naprzeciwko krótszego boku z kątem naprzeciwko dłuższego! Zasada jest prosta: **krótszy bok = mniejszy kąt naprzeciwko**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to ta sama liczba - nie panikuj, gdy kalkulator lub przekształcenia dają inną postać. Zawsze możesz sprawdzić: \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(30°\\) i \\(60°\\) razem dają \\(90°\\) - to dobry sposób weryfikacji, że dobrze rozłożyłeś kąty trójkąta prostokątnego (suma kątów = \\(180°\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Tangens najmniejszego kąta\nW trójkącie prostokątnym najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszej przyprostokątnej. Tu najkrótsza przyprostokątna ma długość \\(1\\), druga \\(\\sqrt{3}\\).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]\nStąd \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta „szczególnego\"\nTrójkąt o bokach \\(1, \\sqrt{3}, 2\\) to trójkąt o kątach \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\). Sprawdź: \\(1^{2}+(\\sqrt{3})^{2}=1+3=4=2^{2}\\) - twierdzenie Pitagorasa ✓.\nKąty: \\(30^{\\circ}\\) (najmniejszy, naprzeciw boku \\(1\\)), \\(60^{\\circ}\\) (naprzeciw \\(\\sqrt{3}\\)), \\(90^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60^{\\circ}\\)** - drugi ostry kąt, nie najmniejszy.\n- **C. \\(45^{\\circ}\\)** - to dla trójkąta o przyprostokątnych równych.\n- **D. \\(15^{\\circ}\\)** - brak podstaw matematycznych.\n\n**Trik:** rozpoznawaj **trójkąty szczególne**: \\(1:1:\\sqrt{2}\\) (\\(45^{\\circ}\\)) oraz \\(1:\\sqrt{3}:2\\) (\\(30^{\\circ},60^{\\circ}\\)).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Odległość między środkami okręgów o równaniach <br><br><br><br>2<br>2<br>1<br>2<br>9<br>x<br>y<br><br><br><br><br>oraz<br>2<br>2<br>10<br>x<br>y<br><br><br>jest równa<br>A.<br>5<br>B.<br>10<br>3<br><br>C. 3<br>D. 5<br>Zadanie 19 z matury podstawowej - maj 2013. Odległość między środkami okręgów o równaniach (x+1)^2+(y-2)^2 = 9 oraz x^2+y^2 = 10 jest równa A. pierwiastek z 5, B. pierwiastek z 10 - 3, C. 3, D. 5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Posługiwanie się równaniem okręgu<br><br><br><br><br>2<br>2<br>2<br>x<br>a<br>y<br>b<br>r<br><br><br><br><br>(II.8.g)<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - identyfikacja kątów ze znanych wartości trygonometrycznych</h4>\n<p>Mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi \\(a = 1\\) i \\(b = \\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz przeciwprostokątną.</strong></p>\n<p>\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{1^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{1 + 3} = \\sqrt{4} = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz kąty przy podstawie.</strong></p>\n<p>Nazwijmy \\(\\alpha\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(a = 1\\), a \\(\\beta\\) kąt leżący naprzeciwko boku \\(b = \\sqrt{3}\\).</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Z karty wzorów (tablica wartości) wiemy, że:</p>\n<p>\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2} \\implies \\alpha = 30°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdź, który kąt jest najmniejszy.</strong></p>\n<p>Kąty trójkąta: \\(90°\\), \\(30°\\) i \\(\\beta = 180° - 90° - 30° = 60°\\).</p>\n<p>Krótszy bok leży naprzeciwko mniejszego kąta. Skoro \\(1 &lt; \\sqrt{3}\\), to kąt naprzeciwko boku \\(1\\) jest mniejszy.</p>\n<p><strong>Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez tangens</h4>\n<p>Zamiast szukać sinusa, możemy użyć tangensa wprost z przyprostokątnych.</p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) leży między przeciwprostokątną a bokiem \\(b = \\sqrt{3}\\), a jego naprzeciwległa to \\(a = 1\\):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>Z karty wzorów (tabela wartości, dział 9, s. 11):</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>Zatem \\(\\alpha = 30°\\), co jest mniejsze od \\(\\beta = 60°\\) i \\(90°\\).</p>\n<p><strong>Najmniejszy kąt to \\(\\boldsymbol{30°}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]<br>Użyliśmy \\(\\sin\\alpha\\) w Sposobie 1 oraz \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) w Sposobie 2.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - tabela wartości:<br>| \\(\\alpha\\) | \\(30°\\) | \\(45°\\) | \\(60°\\) |<br>| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\frac{1}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) |<br>| \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) | \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) | \\(1\\) | \\(\\sqrt{3}\\) |</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia przeciwprostokątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((60°)\\) | Uczeń poprawnie wyznacza kąty \\(30°\\) i \\(60°\\), ale wybiera <strong>większy</strong> z nich, mylą się przy pytaniu &quot;najmniejszy&quot; |<br>| C \\((45°)\\) | Uczeń zakłada błędnie, że trójkąt jest równoramienny (bo &quot;dwa boki&quot;), a \\(45°\\) to kąt trójkąta prostokątnego równoramiennego |<br>| D \\((15°)\\) | Brak podstaw - taki kąt nie wynika z żadnych obliczeń dla tych danych; możliwy błąd przy przekształcaniu \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl kąta naprzeciwko krótszego boku z kątem naprzeciwko dłuższego! Zasada jest prosta: <strong>krótszy bok = mniejszy kąt naprzeciwko</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyniki \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\) i \\(\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\) to ta sama liczba - nie panikuj, gdy kalkulator lub przekształcenia dają inną postać. Zawsze możesz sprawdzić: \\(\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{1 \\cdot \\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąty \\(30°\\) i \\(60°\\) razem dają \\(90°\\) - to dobry sposób weryfikacji, że dobrze rozłożyłeś kąty trójkąta prostokątnego (suma kątów = \\(180°\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Tangens najmniejszego kąta</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszej przyprostokątnej. Tu najkrótsza przyprostokątna ma długość \\(1\\), druga \\(\\sqrt{3}\\).</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}.\\]<br>Stąd \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozpoznanie trójkąta „szczególnego&quot;</h5>\n<p>Trójkąt o bokach \\(1, \\sqrt{3}, 2\\) to trójkąt o kątach \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\). Sprawdź: \\(1^{2}+(\\sqrt{3})^{2}=1+3=4=2^{2}\\) - twierdzenie Pitagorasa ✓.<br>Kąty: \\(30^{\\circ}\\) (najmniejszy, naprzeciw boku \\(1\\)), \\(60^{\\circ}\\) (naprzeciw \\(\\sqrt{3}\\)), \\(90^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(60^{\\circ}\\)</strong> - drugi ostry kąt, nie najmniejszy.</li><li><strong>C. \\(45^{\\circ}\\)</strong> - to dla trójkąta o przyprostokątnych równych.</li><li><strong>D. \\(15^{\\circ}\\)</strong> - brak podstaw matematycznych.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> rozpoznawaj <strong>trójkąty szczególne</strong>: \\(1:1:\\sqrt{2}\\) (\\(45^{\\circ}\\)) oraz \\(1:\\sqrt{3}:2\\) (\\(30^{\\circ},60^{\\circ}\\)).</p>"}]}