{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest\nrówne\nA. 103% liczby b\nB. 125% liczby b\nC. 150% liczbyb\nD. 153% liczbyb\nLiczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby ,,a'' jest równe 15% liczby ,,b''. Stąd wynika, że ,,a'' jest równe A. 103% liczby ,,b'', B. 125% liczby ,,b'', C. 150% liczby b, D. 153% liczby b","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nZastosowanie pojęcia procentu (III.1.d)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[y = \\frac{10}{7}\\,x\\]\n\n## Sposób 1 - Tłumaczenie procentów na równanie\n\n**\"x stanowi 70% y\"** - przełóżmy to zdanie na język matematyki:\n\n\\[x = 70\\% \\cdot y\\]\n\n\\[x = \\frac{70}{100} \\cdot y\\]\n\n\\[x = \\frac{7}{10} \\cdot y\\]\n\nSzukamy \\(y\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{7}{10}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\frac{10}{7}\\)):\n\n\\[y = x \\cdot \\frac{10}{7} = \\frac{10}{7}\\,x\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez przykład liczbowy\n\nNiech \\(y = 10\\). Wtedy \\(70\\%\\) z \\(10\\) to:\n\n\\[x = 0{,}7 \\cdot 10 = 7\\]\n\nTeraz sprawdzamy, które wyrażenie daje \\(y = 10\\) dla \\(x = 7\\):\n\n| Odp. | Wyrażenie | Wynik |\n| A | \\(\\frac{13}{10} \\cdot 7 = 9{,}1\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n| B | \\(\\frac{7}{10} \\cdot 7 = 4{,}9\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n| **C** | \\(\\frac{10}{7} \\cdot 7 = 10\\) | \\(= 10\\) ✓ |\n| D | \\(\\frac{10}{13} \\cdot 7 \\approx 5{,}38\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |\n\n**Tylko odpowiedź C daje poprawny wynik.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe przekształcenia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pomylono \\(30\\%\\) z \\(130\\%\\) - uczeń myśli, że skoro \\(x\\) jest o \\(30\\%\\) mniejsze od \\(y\\), to \\(y\\) jest o \\(30\\%\\) większe. Tak nie jest! |\n| B | **Odwrócenie zależności** - napisano \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) zamiast \\(x = \\frac{7}{10}\\,y\\). Czyli zamiast wyrazić \\(y\\) przez \\(x\\), zostawiono pierwotną zależność. |\n| D | Mylenie \\(70\\%\\) z \\(\\frac{10}{13}\\) - liczba \\(\\frac{10}{13}\\) dotyczyłaby sytuacji, gdyby \\(x\\) stanowiło \\(130\\%\\) czegoś, co nie ma tu zastosowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie zależności** - uczeń pisze \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) (odpowiedź B), bo pamięta, że pojawia się \\(\\frac{7}{10}\\). Tymczasem to \\(x\\) jest równe \\(\\frac{7}{10}\\,y\\), nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\), to \\(y\\) jest **większe** niż \\(x\\) (bo \\(x\\) to tylko część \\(y\\)). Zatem mnożnik przy \\(x\\) musi być **większy niż 1**. Szybki rzut oka eliminuje B i D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \"\\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\)\" to NIE to samo co \"\\(y\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(x\\)\". Kolejność ma znaczenie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Z definicji procentu\n\\(70\\%\\) liczby \\(y\\) to \\(0{,}7\\,y = \\tfrac{7}{10}\\,y\\). Z warunku:\n\\[x = \\tfrac{7}{10}\\,y.\\]\nWyznaczamy \\(y\\):\n\\[y = \\tfrac{10}{7}\\,x.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb\nNiech \\(y = 10\\). Wtedy \\(x = 7\\). Sprawdzamy: \\(y=\\tfrac{10}{7}\\cdot 7 = 10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{13}{10}x\\)** - przesuwanie cyfr w sposób losowy.\n- **B. \\(\\tfrac{7}{10}x\\)** - odwrócona zależność: \\(x = \\tfrac{7}{10}y\\), nie \\(y = \\tfrac{7}{10}x\\).\n- **D. \\(\\tfrac{10}{13}x\\)** - zupełnie błędna relacja.\n\n**Trik:** \\(x = p\\cdot y \\iff y = \\dfrac{1}{p}\\cdot x\\) - odwracaj współczynnik.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Stąd wynika, że a jest
równe
A. 103% liczby b
B. 125% liczby b
C. 150% liczbyb
D. 153% liczbyb
Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby ,,a'' jest równe 15% liczby ,,b''. Stąd wynika, że ,,a'' jest równe A. 103% liczby ,,b'', B. 125% liczby ,,b'', C. 150% liczby b, D. 153% liczby b

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Modelowanie matematyczne
Zastosowanie pojęcia procentu (III.1.d)
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\[y = \\frac{10}{7}\\,x\\]

\n

Sposób 1 - Tłumaczenie procentów na równanie

\n

"x stanowi 70% y" - przełóżmy to zdanie na język matematyki:

\n

\\[x = 70\\% \\cdot y\\]

\n

\\[x = \\frac{70}{100} \\cdot y\\]

\n

\\[x = \\frac{7}{10} \\cdot y\\]

\n

Szukamy \\(y\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\frac{7}{10}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\frac{10}{7}\\)):

\n

\\[y = x \\cdot \\frac{10}{7} = \\frac{10}{7}\\,x\\]

\n

Odpowiedź: C

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie przez przykład liczbowy

\n

Niech \\(y = 10\\). Wtedy \\(70\\%\\) z \\(10\\) to:

\n

\\[x = 0{,}7 \\cdot 10 = 7\\]

\n

Teraz sprawdzamy, które wyrażenie daje \\(y = 10\\) dla \\(x = 7\\):

\n

| Odp. | Wyrażenie | Wynik |
| A | \\(\\frac{13}{10} \\cdot 7 = 9{,}1\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |
| B | \\(\\frac{7}{10} \\cdot 7 = 4{,}9\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |
| C | \\(\\frac{10}{7} \\cdot 7 = 10\\) | \\(= 10\\) ✓ |
| D | \\(\\frac{10}{13} \\cdot 7 \\approx 5{,}38\\) | \\(\\neq 10\\) ✗ |

\n

Tylko odpowiedź C daje poprawny wynik.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe przekształcenia równania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Pomylono \\(30\\%\\) z \\(130\\%\\) - uczeń myśli, że skoro \\(x\\) jest o \\(30\\%\\) mniejsze od \\(y\\), to \\(y\\) jest o \\(30\\%\\) większe. Tak nie jest! |
| B | Odwrócenie zależności - napisano \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) zamiast \\(x = \\frac{7}{10}\\,y\\). Czyli zamiast wyrazić \\(y\\) przez \\(x\\), zostawiono pierwotną zależność. |
| D | Mylenie \\(70\\%\\) z \\(\\frac{10}{13}\\) - liczba \\(\\frac{10}{13}\\) dotyczyłaby sytuacji, gdyby \\(x\\) stanowiło \\(130\\%\\) czegoś, co nie ma tu zastosowania. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odwrócenie zależności - uczeń pisze \\(y = \\frac{7}{10}\\,x\\) (odpowiedź B), bo pamięta, że pojawia się \\(\\frac{7}{10}\\). Tymczasem to \\(x\\) jest równe \\(\\frac{7}{10}\\,y\\), nie odwrotnie!
\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\), to \\(y\\) jest większe niż \\(x\\) (bo \\(x\\) to tylko część \\(y\\)). Zatem mnożnik przy \\(x\\) musi być większy niż 1. Szybki rzut oka eliminuje B i D.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić: "\\(x\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(y\\)" to NIE to samo co "\\(y\\) stanowi \\(70\\%\\) liczby \\(x\\)". Kolejność ma znaczenie!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Z definicji procentu
\n

\\(70\\%\\) liczby \\(y\\) to \\(0{,}7\\,y = \\tfrac{7}{10}\\,y\\). Z warunku:
\\[x = \\tfrac{7}{10}\\,y.\\]
Wyznaczamy \\(y\\):
\\[y = \\tfrac{10}{7}\\,x.\\]

\n
Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb
\n

Niech \\(y = 10\\). Wtedy \\(x = 7\\). Sprawdzamy: \\(y=\\tfrac{10}{7}\\cdot 7 = 10\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(x = p\\cdot y \\iff y = \\dfrac{1}{p}\\cdot x\\) - odwracaj współczynnik.

"}]}