{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian\nbocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest\nA. czworokąt\nB. pięciokąt\nC. sześciokąt\nD. dziesięciokąt\nZadanie 20 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest A. czworokąt, B. pięciokąt, C. sześciokąt, D. dziesięciokąt","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWyznaczanie związków miarowych\nw wielościanie (I.9.b)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_1 = 55\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny (podstawienie)\n\nW ciągu arytmetycznym wyraz ogólny wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZnamy: \\(r = -2\\), \\(a_{20} = 17\\), szukamy \\(a_1\\).\n\nPodstawiamy \\(n = 20\\):\n\\[a_{20} = a_1 + (20-1) \\cdot (-2)\\]\n\\[17 = a_1 + 19 \\cdot (-2)\\]\n\\[17 = a_1 - 38\\]\n\\[a_1 = 17 + 38\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]\n\n## Sposób 2 - Cofanie się po ciągu\n\nSkoro różnica \\(r = -2\\), to każdy wyraz jest o 2 **mniejszy** od poprzedniego.\n\nŻeby cofnąć się z \\(a_{20}\\) do \\(a_1\\), musimy cofnąć się o **19 kroków** do tyłu.\n\nCofnięcie jednego kroku to dodanie \\(|r| = 2\\) (idziemy w górę ciągu, więc odwracamy różnicę):\n\\[a_1 = a_{20} + 19 \\cdot 2\\]\n\\[a_1 = 17 + 38\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]\n\nTo samo co Sposób 1, ale intuicyjnie: cofamy się o 19 miejsc, a każde cofnięcie zwiększa wartość o 2.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 20\\), \\(a_{20} = 17\\), \\(r = -2\\), i wyznaczając \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(45\\) | Podstawiono \\(n = 20\\), ale wzięto \\((n-1) = 19\\) ze złym znakiem: \\(17 + 19 \\cdot 2 - 10 = 45\\) - błąd arytmetyczny przy dodawaniu |\n| B - \\(50\\) | Cofnięto się tylko o 18 kroków zamiast 19: \\(17 + 18 \\cdot 2 = 53\\) lub pomylono \\(n = 20\\) z \\((n-1) = 20\\): \\(17 + 20 \\cdot 2 - 7\\) - błąd \"o jeden krok za mało\" |\n| D - \\(60\\) | Wzięto \\((n-1) = 20\\) zamiast 19 (typowy błąd off-by-one): \\(17 + 20 \\cdot 2 = 57\\) lub \\(17 + \\frac{43}{1} \\approx 60\\) - przekręcona arytmetyka |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) mnożnik to **(n-1)**, nie n. Dla \\(n = 20\\) to **19**, nie 20. To najczęstszy błąd w tym typie zadania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = -2\\) jest **ujemna** - ciąg maleje. Żeby znaleźć \\(a_1\\) (wyraz wcześniejszy niż \\(a_{20}\\)), wynik musi być **większy** od \\(a_{20} = 17\\). Jeśli wychodzi ci coś mniejszego niż 17 - na pewno popełniłeś błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \"różnica \\(r = -2\\)\" oznacza, że każdy następny wyraz jest o 2 **mniejszy** od poprzedniego. Ciąg idzie: \\(\\ldots, 57, 55, 53, \\ldots, 19, 17, 15, \\ldots\\)\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)\\cdot r.\\]\nDla \\(n=20\\):\n\\[a_{20} = a_{1} + 19r = a_{1} + 19\\cdot(-2) = a_{1}-38.\\]\nZ warunku \\(a_{20}=17\\):\n\\[a_{1} - 38 = 17 \\Rightarrow a_{1} = 55.\\]\n\n### Sposób 2 - „Wsteczne\" dodawanie\nIdąc od \\(a_{20}\\) do \\(a_{1}\\), cofamy się o \\(19\\) kroków, każdy to „minus różnica\":\n\\[a_{1} = a_{20} - 19r = 17 - 19\\cdot(-2) = 17+38 = 55.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(45\\)** - odjęcie \\(-2\\cdot 19 = -38\\) zamiast \\(+38\\) (błąd znaku).\n- **B. \\(50\\)** - użycie \\(20\\) zamiast \\(19\\) z błędem.\n- **D. \\(60\\)** - dodatkowy błąd w liczeniu, \\(17+43\\)?\n\n**Pamiętaj:** we wzorze jest \\(n-1\\), nie \\(n\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian<br>bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest<br>A. czworokąt<br>B. pięciokąt<br>C. sześciokąt<br>D. dziesięciokąt<br>Zadanie 20 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o 10 większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest A. czworokąt, B. pięciokąt, C. sześciokąt, D. dziesięciokąt</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Wyznaczanie związków miarowych<br>w wielościanie (I.9.b)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a_1 = 55\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny (podstawienie)</h4>\n<p>W ciągu arytmetycznym wyraz ogólny wyraża się wzorem:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p>Znamy: \\(r = -2\\), \\(a_{20} = 17\\), szukamy \\(a_1\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(n = 20\\):<br>\\[a_{20} = a_1 + (20-1) \\cdot (-2)\\]<br>\\[17 = a_1 + 19 \\cdot (-2)\\]<br>\\[17 = a_1 - 38\\]<br>\\[a_1 = 17 + 38\\]<br>\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Cofanie się po ciągu</h4>\n<p>Skoro różnica \\(r = -2\\), to każdy wyraz jest o 2 <strong>mniejszy</strong> od poprzedniego.</p>\n<p>Żeby cofnąć się z \\(a_{20}\\) do \\(a_1\\), musimy cofnąć się o <strong>19 kroków</strong> do tyłu.</p>\n<p>Cofnięcie jednego kroku to dodanie \\(|r| = 2\\) (idziemy w górę ciągu, więc odwracamy różnicę):<br>\\[a_1 = a_{20} + 19 \\cdot 2\\]<br>\\[a_1 = 17 + 38\\]<br>\\[\\boxed{a_1 = 55}\\]</p>\n<p>To samo co Sposób 1, ale intuicyjnie: cofamy się o 19 miejsc, a każde cofnięcie zwiększa wartość o 2.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1, podstawiając \\(n = 20\\), \\(a_{20} = 17\\), \\(r = -2\\), i wyznaczając \\(a_1\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(45\\) | Podstawiono \\(n = 20\\), ale wzięto \\((n-1) = 19\\) ze złym znakiem: \\(17 + 19 \\cdot 2 - 10 = 45\\) - błąd arytmetyczny przy dodawaniu |<br>| B - \\(50\\) | Cofnięto się tylko o 18 kroków zamiast 19: \\(17 + 18 \\cdot 2 = 53\\) lub pomylono \\(n = 20\\) z \\((n-1) = 20\\): \\(17 + 20 \\cdot 2 - 7\\) - błąd &quot;o jeden krok za mało&quot; |<br>| D - \\(60\\) | Wzięto \\((n-1) = 20\\) zamiast 19 (typowy błąd off-by-one): \\(17 + 20 \\cdot 2 = 57\\) lub \\(17 + \\frac{43}{1} \\approx 60\\) - przekręcona arytmetyka |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) mnożnik to <strong>(n-1)</strong>, nie n. Dla \\(n = 20\\) to <strong>19</strong>, nie 20. To najczęstszy błąd w tym typie zadania!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(r = -2\\) jest <strong>ujemna</strong> - ciąg maleje. Żeby znaleźć \\(a_1\\) (wyraz wcześniejszy niż \\(a_{20}\\)), wynik musi być <strong>większy</strong> od \\(a_{20} = 17\\). Jeśli wychodzi ci coś mniejszego niż 17 - na pewno popełniłeś błąd znaku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić: &quot;różnica \\(r = -2\\)&quot; oznacza, że każdy następny wyraz jest o 2 <strong>mniejszy</strong> od poprzedniego. Ciąg idzie: \\(\\ldots, 57, 55, 53, \\ldots, 19, 17, 15, \\ldots\\)</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>\\[a_{n} = a_{1} + (n-1)\\cdot r.\\]<br>Dla \\(n=20\\):<br>\\[a_{20} = a_{1} + 19r = a_{1} + 19\\cdot(-2) = a_{1}-38.\\]<br>Z warunku \\(a_{20}=17\\):<br>\\[a_{1} - 38 = 17 \\Rightarrow a_{1} = 55.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - „Wsteczne&quot; dodawanie</h5>\n<p>Idąc od \\(a_{20}\\) do \\(a_{1}\\), cofamy się o \\(19\\) kroków, każdy to „minus różnica&quot;:<br>\\[a_{1} = a_{20} - 19r = 17 - 19\\cdot(-2) = 17+38 = 55.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(45\\)</strong> - odjęcie \\(-2\\cdot 19 = -38\\) zamiast \\(+38\\) (błąd znaku).</li><li><strong>B. \\(50\\)</strong> - użycie \\(20\\) zamiast \\(19\\) z błędem.</li><li><strong>D. \\(60\\)</strong> - dodatkowy błąd w liczeniu, \\(17+43\\)?</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> we wzorze jest \\(n-1\\), nie \\(n\\).</p>"}]}