{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe\nA. 9\nB. 12\nC. 15\nD. 16\nZadanie 21 z matury podstawowej - maj 2013. Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe A. 9pi, B. 12pi, C. 15pi, D. 16pi","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWyznaczanie związków miarowych\nw bryłach obrotowych (II.9.b)\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez iloraz \\(q\\). Wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZnamy: \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\), \\(a_4 = \\dfrac{1}{3}\\).\n\nPodstawiamy do wzoru dla \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]\n\\[\\frac{1}{3} = \\frac{9}{8} \\cdot q^3\\]\n\nIzolujemy \\(q^3\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\dfrac{9}{8}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\dfrac{8}{9}\\)):\n\\[q^3 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{8}{9} = \\frac{8}{27}\\]\n\nWyciągamy pierwiastek sześcienny:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Zatem \\(q = \\dfrac{2}{3}\\). Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - iloraz jako stosunek kolejnych wyrazów (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy rzeczywiście przy \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) i \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\) czwarty wyraz wynosi \\(\\dfrac{1}{3}\\):\n\n\\[a_1 = \\frac{9}{8}\\]\n\\[a_2 = \\frac{9}{8} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{18}{24} = \\frac{3}{4}\\]\n\\[a_3 = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{12} = \\frac{1}{2}\\]\n\\[a_4 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3} \\checkmark\\]\n\n**Wynik zgadza się - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) jest poprawne.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z jedną niewiadomą \\(q\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - pierwiastek \\(n\\)-tego stopnia:\n\\[\\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{2}{3}\\]\nUżyliśmy go przy wyciąganiu \\(q\\) z \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(q = \\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(q = a_4\\), czyli odczytuje wprost czwarty wyraz jako iloraz |\n| B - \\(q = \\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(q^4\\) zamiast \\(q^3\\) (błędny wykładnik: \\(a_4 = a_1 \\cdot q^4\\) - pomylono \\(n\\) z \\(n-1\\)); wtedy \\(q^4 = \\dfrac{8}{27}\\), a \\(q \\approx 0{,}84\\) - nie pasuje; albo liczy \\(\\dfrac{a_4}{a_1} = q\\) zamiast \\(q^3\\) |\n| D - \\(q = \\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń oblicza odwrotność poprawnego wyniku: \\(\\dfrac{1}{q} = \\dfrac{2}{3}\\), czyli \"odwrócił\" ułamek |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), nie \\(a_1 \\cdot q^n\\)! Dla czwartego wyrazu wykładnik wynosi **3**, nie 4. To najczęstszy błąd w zadaniach z ciągiem geometrycznym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}}\\) można liczyć z góry i z dołu osobno: \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\), \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\). Nie potrzeba kalkulatora - warto znać sześciany liczb do 5: \\(1, 8, 27, 64, 125\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(q = \\dfrac{2}{3} \\in (0,1)\\), więc ciąg jest malejący (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego). To się zgadza z intuicją: \\(\\dfrac{9}{8} > \\dfrac{3}{4} > \\dfrac{1}{2} > \\dfrac{1}{3}\\) - ciąg faktycznie maleje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz ciągu geometrycznego\n\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3}.\\]\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{9}{8}\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{8}{9} = \\dfrac{8}{27}.\\]\nZatem:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(q=\\tfrac{2}{3}\\): \\(a_{4} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\left(\\tfrac{2}{3}\\right)^{3} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{8}{27} = \\tfrac{9}{27} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{3}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{27}=\\tfrac{1}{24}\\ne\\tfrac{1}{3}\\).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{1}{8}=\\tfrac{9}{64}\\ne\\tfrac{1}{3}\\).\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\):** \\(\\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{27}{8} > 1 > \\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(q^{3} = \\dfrac{a_{4}}{a_{1}}\\), potem pierwiastek sześcienny.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe
A. 9
B. 12
C. 15
D. 16
Zadanie 21 z matury podstawowej - maj 2013. Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości 4 i promieniu podstawy 3 jest równe A. 9pi, B. 12pi, C. 15pi, D. 16pi

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wyznaczanie związków miarowych
w bryłach obrotowych (II.9.b)
C
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\)

\n

Sposób 1 - wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

\n

W ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez iloraz \\(q\\). Wzór na \\(n\\)-ty wyraz:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

Znamy: \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\), \\(a_4 = \\dfrac{1}{3}\\).

\n

Podstawiamy do wzoru dla \\(n = 4\\):
\\[a_4 = a_1 \\cdot q^3\\]
\\[\\frac{1}{3} = \\frac{9}{8} \\cdot q^3\\]

\n

Izolujemy \\(q^3\\) - dzielimy obie strony przez \\(\\dfrac{9}{8}\\) (czyli mnożymy przez \\(\\dfrac{8}{9}\\)):
\\[q^3 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{8}{9} = \\frac{8}{27}\\]

\n

Wyciągamy pierwiastek sześcienny:
\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Zatem \\(q = \\dfrac{2}{3}\\). Odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - iloraz jako stosunek kolejnych wyrazów (weryfikacja)

\n

Sprawdzamy, czy rzeczywiście przy \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) i \\(a_1 = \\dfrac{9}{8}\\) czwarty wyraz wynosi \\(\\dfrac{1}{3}\\):

\n

\\[a_1 = \\frac{9}{8}\\]
\\[a_2 = \\frac{9}{8} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{18}{24} = \\frac{3}{4}\\]
\\[a_3 = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{12} = \\frac{1}{2}\\]
\\[a_4 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3} \\checkmark\\]

\n

Wynik zgadza się - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) jest poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do ustawienia równania z jedną niewiadomą \\(q\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - pierwiastek \\(n\\)-tego stopnia:
\\[\\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{2}{3}\\]
Użyliśmy go przy wyciąganiu \\(q\\) z \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(q = \\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(q = a_4\\), czyli odczytuje wprost czwarty wyraz jako iloraz |
| B - \\(q = \\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(q^4\\) zamiast \\(q^3\\) (błędny wykładnik: \\(a_4 = a_1 \\cdot q^4\\) - pomylono \\(n\\) z \\(n-1\\)); wtedy \\(q^4 = \\dfrac{8}{27}\\), a \\(q \\approx 0{,}84\\) - nie pasuje; albo liczy \\(\\dfrac{a_4}{a_1} = q\\) zamiast \\(q^3\\) |
| D - \\(q = \\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń oblicza odwrotność poprawnego wyniku: \\(\\dfrac{1}{q} = \\dfrac{2}{3}\\), czyli "odwrócił" ułamek |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), nie \\(a_1 \\cdot q^n\\)! Dla czwartego wyrazu wykładnik wynosi 3, nie 4. To najczęstszy błąd w zadaniach z ciągiem geometrycznym.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}}\\) można liczyć z góry i z dołu osobno: \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\), \\(\\sqrt[3]{27} = 3\\). Nie potrzeba kalkulatora - warto znać sześciany liczb do 5: \\(1, 8, 27, 64, 125\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(q = \\dfrac{2}{3} \\in (0,1)\\), więc ciąg jest malejący (każdy wyraz mniejszy od poprzedniego). To się zgadza z intuicją: \\(\\dfrac{9}{8} > \\dfrac{3}{4} > \\dfrac{1}{2} > \\dfrac{1}{3}\\) - ciąg faktycznie maleje.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzór na wyraz ciągu geometrycznego
\n

\\[a_{4} = a_{1}\\cdot q^{3}.\\]
Podstawiamy:
\\[\\dfrac{1}{3} = \\dfrac{9}{8}\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{8}{9} = \\dfrac{8}{27}.\\]
Zatem:
\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi
\n

Dla \\(q=\\tfrac{2}{3}\\): \\(a_{4} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\left(\\tfrac{2}{3}\\right)^{3} = \\tfrac{9}{8}\\cdot\\tfrac{8}{27} = \\tfrac{9}{27} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(q^{3} = \\dfrac{a_{4}}{a_{1}}\\), potem pierwiastek sześcienny.

"}]}