{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza\nprawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy\nA.\n1\n36\np \nB.\n1\n18\np \nC.\n1\n12\np \nD.\n1\n9\np \nZadanie 22 z matury podstawowej - maj 2013. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy A. p = 1/36, B. p = 1/18, C. p = 1/12, D. p = 1/9.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nModelowanie matematyczne\nStosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do\nobliczania prawdopodobieństw zdarzeń\n(III.10.d)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\bar{x} = 3{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną\n\nZ treści zadania odczytujemy dane (liczba uczniów przy każdej ocenie):\n\n| Ocena \\(x_i\\) | Liczba uczniów \\(w_i\\) | Iloczyn \\(x_i \\cdot w_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 5 | 10 |\n| 3 | 7 | 21 |\n| 4 | 8 | 32 |\n| 5 | 3 | 15 |\n| 6 | 2 | 12 |\n| **Σ** | **26** | **91** |\n\nŁączna liczba uczniów:\n\\[n = 1 + 5 + 7 + 8 + 3 + 2 = 26\\]\n\nSuma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):\n\\[S = 1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 7 + 4 \\cdot 8 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 2\\]\n\\[S = 1 + 10 + 21 + 32 + 15 + 12 = 91\\]\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{x} = \\frac{S}{n} = \\frac{91}{26} = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odchylenia od \"środka\"\n\nSpróbujmy punktu odniesienia \\(m = 3\\) i policzmy, ile \"nadwyżki\" ponad 3 mają wszystkie oceny:\n\n\\[\\Delta = (1-3)\\cdot 1 + (2-3)\\cdot 5 + (3-3)\\cdot 7 + (4-3)\\cdot 8 + (5-3)\\cdot 3 + (6-3)\\cdot 2\\]\n\\[\\Delta = (-2)\\cdot 1 + (-1)\\cdot 5 + 0\\cdot 7 + 1\\cdot 8 + 2\\cdot 3 + 3\\cdot 2\\]\n\\[\\Delta = -2 - 5 + 0 + 8 + 6 + 6 = 13\\]\n\nŚrednia to \\(m\\) powiększone o \\(\\frac{\\Delta}{n}\\):\n\\[\\bar{x} = 3 + \\frac{13}{26} = 3 + 0{,}5 = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź C jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - średnia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nTutaj oceny to \\(a_i\\), a liczby uczniów to wagi \\(w_i\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(2\\) | Podzielono sumę ocen przez liczbę różnych ocen (\\(6\\)) zamiast przez liczbę uczniów (\\(26\\)); albo zgubiono dużą część obliczeń |\n| B: \\(3\\) | Wzięto **medianę** (środkowy wyraz po ułożeniu ocen - 13. i 14. z 26 to obie wartość 3 lub 4, ale to nie jest średnia) lub po prostu zaokrąglono do 3 |\n| D: \\(4\\) | Wzięto **modę** (dominantę) - ocena 4 pojawia się najczęściej (8 uczniów), więc uczeń pomylił modę ze średnią |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie **średniej** z **modą** (dominantą) - ocena 4 ma najwyższy słupek, więc łatwo ją wybrać jako \"typową\", ale moda to nie to samo co średnia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielnik to **łączna liczba uczniów** (tu: 26), a **nie** liczba różnych ocen (6). To podstawowy błąd przy odczytywaniu diagramów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu słupkowego nie pomijaj skrajnych słupków (ocena 1 z małym słupkiem i ocena 6 z małym słupkiem) - one też wpływają na średnią!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nLiczba uczniów dla każdej oceny (z diagramu):\n- Ocena 1: 1 uczeń\n- Ocena 2: 5 uczniów\n- Ocena 3: 7 uczniów\n- Ocena 4: 8 uczniów\n- Ocena 5: 3 uczniów\n- Ocena 6: 2 uczniów\n\nRazem uczniów: \\(1+5+7+8+3+2 = 26\\).\nSuma ocen: \\(1\\cdot 1 + 2\\cdot 5 + 3\\cdot 7 + 4\\cdot 8 + 5\\cdot 3 + 6\\cdot 2 = 1+10+21+32+15+12 = 91\\).\nŚrednia: \\(\\dfrac{91}{26} = 3{,}5\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(3{,}5\\cdot 26 = 91\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zbyt niska, większość uczniów ma \\(\\ge 3\\).\n- **B. \\(3\\)** - \\(3\\cdot 26 = 78\\ne 91\\).\n- **D. \\(4\\)** - \\(4\\cdot 26 = 104\\ne 91\\).\n\n**Trik:** średnia z diagramu słupkowego = \\(\\dfrac{\\sum \\text{ocena}\\cdot\\text{liczność}}{\\sum \\text{liczności}}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza<br>prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy<br>A.<br>1<br>36<br>p <br>B.<br>1<br>18<br>p <br>C.<br>1<br>12<br>p <br>D.<br>1<br>9<br>p <br>Zadanie 22 z matury podstawowej - maj 2013. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy A. p = 1/36, B. p = 1/18, C. p = 1/12, D. p = 1/9.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Modelowanie matematyczne<br>Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna<br>definicja prawdopodobieństwa do<br>obliczania prawdopodobieństw zdarzeń<br>(III.10.d)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\bar{x} = 3{,}5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na średnią ważoną</h4>\n<p>Z treści zadania odczytujemy dane (liczba uczniów przy każdej ocenie):</p>\n<table><thead><tr><th>Ocena \\(x_i\\)</th><th>Liczba uczniów \\(w_i\\)</th><th>Iloczyn \\(x_i \\cdot w_i\\)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td>5</td><td>10</td></tr><tr><td>3</td><td>7</td><td>21</td></tr><tr><td>4</td><td>8</td><td>32</td></tr><tr><td>5</td><td>3</td><td>15</td></tr><tr><td>6</td><td>2</td><td>12</td></tr><tr><td><strong>Σ</strong></td><td><strong>26</strong></td><td><strong>91</strong></td></tr></tbody></table>\n<p>Łączna liczba uczniów:<br>\\[n = 1 + 5 + 7 + 8 + 3 + 2 = 26\\]</p>\n<p>Suma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):<br>\\[S = 1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 7 + 4 \\cdot 8 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 2\\]<br>\\[S = 1 + 10 + 21 + 32 + 15 + 12 = 91\\]</p>\n<p>Średnia ważona:<br>\\[\\bar{x} = \\frac{S}{n} = \\frac{91}{26} = \\mathbf{3{,}5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez odchylenia od &quot;środka&quot;</h4>\n<p>Spróbujmy punktu odniesienia \\(m = 3\\) i policzmy, ile &quot;nadwyżki&quot; ponad 3 mają wszystkie oceny:</p>\n<p>\\[\\Delta = (1-3)\\cdot 1 + (2-3)\\cdot 5 + (3-3)\\cdot 7 + (4-3)\\cdot 8 + (5-3)\\cdot 3 + (6-3)\\cdot 2\\]<br>\\[\\Delta = (-2)\\cdot 1 + (-1)\\cdot 5 + 0\\cdot 7 + 1\\cdot 8 + 2\\cdot 3 + 3\\cdot 2\\]<br>\\[\\Delta = -2 - 5 + 0 + 8 + 6 + 6 = 13\\]</p>\n<p>Średnia to \\(m\\) powiększone o \\(\\frac{\\Delta}{n}\\):<br>\\[\\bar{x} = 3 + \\frac{13}{26} = 3 + 0{,}5 = \\mathbf{3{,}5}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>odpowiedź C jest poprawna</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - średnia ważona:<br>\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]<br>Tutaj oceny to \\(a_i\\), a liczby uczniów to wagi \\(w_i\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(2\\) | Podzielono sumę ocen przez liczbę różnych ocen (\\(6\\)) zamiast przez liczbę uczniów (\\(26\\)); albo zgubiono dużą część obliczeń |<br>| B: \\(3\\) | Wzięto <strong>medianę</strong> (środkowy wyraz po ułożeniu ocen - 13. i 14. z 26 to obie wartość 3 lub 4, ale to nie jest średnia) lub po prostu zaokrąglono do 3 |<br>| D: \\(4\\) | Wzięto <strong>modę</strong> (dominantę) - ocena 4 pojawia się najczęściej (8 uczniów), więc uczeń pomylił modę ze średnią |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie <strong>średniej</strong> z <strong>modą</strong> (dominantą) - ocena 4 ma najwyższy słupek, więc łatwo ją wybrać jako &quot;typową&quot;, ale moda to nie to samo co średnia!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dzielnik to <strong>łączna liczba uczniów</strong> (tu: 26), a <strong>nie</strong> liczba różnych ocen (6). To podstawowy błąd przy odczytywaniu diagramów.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odczycie z wykresu słupkowego nie pomijaj skrajnych słupków (ocena 1 z małym słupkiem i ocena 6 z małym słupkiem) - one też wpływają na średnią!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Średnia ważona</h5>\n<p>Liczba uczniów dla każdej oceny (z diagramu):</p>\n<ul><li>Ocena 1: 1 uczeń</li><li>Ocena 2: 5 uczniów</li><li>Ocena 3: 7 uczniów</li><li>Ocena 4: 8 uczniów</li><li>Ocena 5: 3 uczniów</li><li>Ocena 6: 2 uczniów</li></ul>\n<p>Razem uczniów: \\(1+5+7+8+3+2 = 26\\).<br>Suma ocen: \\(1\\cdot 1 + 2\\cdot 5 + 3\\cdot 7 + 4\\cdot 8 + 5\\cdot 3 + 6\\cdot 2 = 1+10+21+32+15+12 = 91\\).<br>Średnia: \\(\\dfrac{91}{26} = 3{,}5\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja</h5>\n<p>\\(3{,}5\\cdot 26 = 91\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - zbyt niska, większość uczniów ma \\(\\ge 3\\).</li><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - \\(3\\cdot 26 = 78\\ne 91\\).</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - \\(4\\cdot 26 = 104\\ne 91\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> średnia z diagramu słupkowego = \\(\\dfrac{\\sum \\text{ocena}\\cdot\\text{liczność}}{\\sum \\text{liczności}}\\).</p>"}]}