{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nLiczba\n50\n18\n2\n\njest równa\nA. 2 2\nB. 2\nC. 4\nD.\n10\n6\n\nZadanie 23 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba pierwiastek z 50 - pierwiastek z 18 / pierwiastek z 2 jest równa A. 2*pierwiastek z 2, B. 2, C. 4, D. pierwiastek z 10 - pierwiastek z 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWykorzystanie i tworzenie\ninformacji\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, w tym obliczeń na\npierwiastkach (I.1.a)\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\frac{1}{27}\\pi h^3\\]\n\n## Sposób 1 - podstawienie ze wzoru na objętość stożka\n\n**Dane z treści zadania:**\n- Wysokość stożka: \\(h\\)\n- Promień podstawy **trzy razy mniejszy od wysokości**, czyli: \\(r = \\frac{h}{3}\\)\n\n**Krok 1: Zapisz wzór na objętość stożka.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\n**Krok 2: Podstaw \\(r = \\frac{h}{3}\\) do wzoru.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 \\cdot h\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2\\).**\n\n\\[\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\]\n\n**Krok 4: Wstaw i uproszcz.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{h^2}{9} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} \\cdot \\pi h^3 = \\boxed{\\frac{1}{27}\\pi h^3}\\]\n\n## Sposób 2 - podstawienie liczby konkretnej (weryfikacja)\n\nSprawdzimy wynik, podstawiając konkretną wartość \\(h = 3\\).\n\nWtedy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\).\n\n**Obliczamy objętość:**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 3 = \\pi\\]\n\n**Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(h = 3\\):**\n\n| Odp. | Wyrażenie | Wartość dla \\(h=3\\) |\n| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 9 = \\pi\\) ← pasuje? **ale** |\n| B | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 9 = \\frac{\\pi}{3}\\) ✗ |\n| C | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 27 = 3\\pi\\) ✗ |\n| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 27 = \\pi\\) ✓ |\n\nWidzimy, że dla \\(h=3\\) zarówno A, jak i D dają \\(\\pi\\). Sprawdźmy więc \\(h = 6\\) (wtedy \\(r = 2\\)):\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 8\\pi\\]\n\n| Odp. | Wartość dla \\(h=6\\) | Zgadza się z \\(8\\pi\\)? |\n| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 36 = 4\\pi\\) | ✗ |\n| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 216 = 8\\pi\\) | ✓ |\n\n**Tylko odpowiedź D zgadza się dla obu wartości.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\n\nTo jest dokładnie wzór użyty w Sposobie 1. Na karcie wzorów masz go w sekcji poświęconej stożkowi, razem z polami powierzchni.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(\\frac{h^2}{9}\\) - tzn. pominięto potęgowanie \\(h\\), a \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{27}\\) zastąpiono \\(\\frac{1}{9}\\). Wynik ma złą jednostkę: \\(h^2\\) zamiast \\(h^3\\) |\n| B | Zapomniano podnieść \\(h\\) do kwadratu - zapisano \\(r^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\), i dodatkowo pominięto jedno \\(h\\). Wynik \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) ma złą jednostkę |\n| C | Poprawnie obliczono \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\), ale następnie **pomylono mianownik**: zamiast \\(27\\) wpisano \\(9\\). Możliwe, że ktoś wyliczył \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\), zapominając, że \\(\\frac{1}{3}\\) pochodzi ze wzoru, a \\(\\frac{1}{9}\\) z \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\) - należy je pomnożyć |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Trzy razy mniejszy\" znaczy \\(r = \\frac{h}{3}\\), nie \\(r = h - 3\\). Nie odejmuj, tylko dziel!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(r = \\frac{h}{3}\\) do \\(r^2\\) - **cały ułamek** podnosi się do kwadratu: \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\), nie \\(\\frac{h}{9}\\). To najczęstszy błąd rachunkowy w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik musi mieć jednostkę \\(h^3\\) (objętość = długość³). Odpowiedzi A i B zawierają \\(h^2\\) - można je od razu odrzucić, bo mają złą \"wymiarowość\".\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie do wzoru na objętość stożka\n\\(r = \\dfrac{h}{3}\\). Wzór:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{h}{3}\\right)^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\dfrac{\\pi h^{3}}{27} = \\dfrac{1}{27}\\pi h^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jednostki i stopnie\nObjętość ma wymiar \\(h^{3}\\) (sześcian długości). Odpowiedzi z \\(h^{2}\\) można od razu odrzucić (błędny wymiar). Zostają C i D.\n\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\tfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\tfrac{1}{27}\\pi h^{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błędny wymiar (\\(h^{2}\\)).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{9}\\pi h^{3}\\)** - brak \\(\\tfrac{1}{3}\\) ze wzoru na objętość stożka.\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Liczba<br>50<br>18<br>2<br><br>jest równa<br>A. 2 2<br>B. 2<br>C. 4<br>D.<br>10<br>6<br><br>Zadanie 23 z matury podstawowej - maj 2013. Liczba pierwiastek z 50 - pierwiastek z 18 / pierwiastek z 2 jest równa A. 2*pierwiastek z 2, B. 2, C. 4, D. pierwiastek z 10 - pierwiastek z 6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wykorzystanie i tworzenie<br>informacji<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, w tym obliczeń na<br>pierwiastkach (I.1.a)<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\[\\frac{1}{27}\\pi h^3\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie ze wzoru na objętość stożka</h4>\n<p><strong>Dane z treści zadania:</strong></p>\n<ul><li>Wysokość stożka: \\(h\\)</li><li>Promień podstawy <strong>trzy razy mniejszy od wysokości</strong>, czyli: \\(r = \\frac{h}{3}\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Zapisz wzór na objętość stożka.</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Podstaw \\(r = \\frac{h}{3}\\) do wzoru.</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 \\cdot h\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2\\).</strong></p>\n<p>\\[\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wstaw i uproszcz.</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{h^2}{9} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} \\cdot \\pi h^3 = \\boxed{\\frac{1}{27}\\pi h^3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - podstawienie liczby konkretnej (weryfikacja)</h4>\n<p>Sprawdzimy wynik, podstawiając konkretną wartość \\(h = 3\\).</p>\n<p>Wtedy \\(r = \\frac{h}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\).</p>\n<p><strong>Obliczamy objętość:</strong></p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 1^2 \\cdot 3 = \\pi\\]</p>\n<p><strong>Teraz sprawdzamy każdą odpowiedź dla \\(h = 3\\):</strong></p>\n<p>| Odp. | Wyrażenie | Wartość dla \\(h=3\\) |<br>| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 9 = \\pi\\) ← pasuje? <strong>ale</strong> |<br>| B | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 9 = \\frac{\\pi}{3}\\) ✗ |<br>| C | \\(\\frac{1}{9}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 27 = 3\\pi\\) ✗ |<br>| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\) | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 27 = \\pi\\) ✓ |</p>\n<p>Widzimy, że dla \\(h=3\\) zarówno A, jak i D dają \\(\\pi\\). Sprawdźmy więc \\(h = 6\\) (wtedy \\(r = 2\\)):</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 8\\pi\\]</p>\n<p>| Odp. | Wartość dla \\(h=6\\) | Zgadza się z \\(8\\pi\\)? |<br>| A | \\(\\frac{1}{9}\\pi \\cdot 36 = 4\\pi\\) | ✗ |<br>| D | \\(\\frac{1}{27}\\pi \\cdot 216 = 8\\pi\\) | ✓ |</p>\n<p><strong>Tylko odpowiedź D zgadza się dla obu wartości.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na objętość stożka:</p>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]</p>\n<p>To jest dokładnie wzór użyty w Sposobie 1. Na karcie wzorów masz go w sekcji poświęconej stożkowi, razem z polami powierzchni.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Obliczono \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(\\frac{h^2}{9}\\) - tzn. pominięto potęgowanie \\(h\\), a \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{27}\\) zastąpiono \\(\\frac{1}{9}\\). Wynik ma złą jednostkę: \\(h^2\\) zamiast \\(h^3\\) |<br>| B | Zapomniano podnieść \\(h\\) do kwadratu - zapisano \\(r^2 = \\frac{h}{9}\\) zamiast \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\), i dodatkowo pominięto jedno \\(h\\). Wynik \\(\\frac{1}{27}\\pi h^2\\) ma złą jednostkę |<br>| C | Poprawnie obliczono \\(\\frac{1}{27}\\pi h^3\\), ale następnie <strong>pomylono mianownik</strong>: zamiast \\(27\\) wpisano \\(9\\). Możliwe, że ktoś wyliczył \\(\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{9}\\), zapominając, że \\(\\frac{1}{3}\\) pochodzi ze wzoru, a \\(\\frac{1}{9}\\) z \\(r^2 = \\frac{h^2}{9}\\) - należy je pomnożyć |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Trzy razy mniejszy&quot; znaczy \\(r = \\frac{h}{3}\\), nie \\(r = h - 3\\). Nie odejmuj, tylko dziel!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy podstawianiu \\(r = \\frac{h}{3}\\) do \\(r^2\\) - <strong>cały ułamek</strong> podnosi się do kwadratu: \\(\\left(\\frac{h}{3}\\right)^2 = \\frac{h^2}{9}\\), nie \\(\\frac{h}{9}\\). To najczęstszy błąd rachunkowy w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik musi mieć jednostkę \\(h^3\\) (objętość = długość³). Odpowiedzi A i B zawierają \\(h^2\\) - można je od razu odrzucić, bo mają złą &quot;wymiarowość&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie do wzoru na objętość stożka</h5>\n<p>\\(r = \\dfrac{h}{3}\\). Wzór:<br>\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\left(\\dfrac{h}{3}\\right)^{2}h = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\dfrac{\\pi h^{3}}{27} = \\dfrac{1}{27}\\pi h^{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Jednostki i stopnie</h5>\n<p>Objętość ma wymiar \\(h^{3}\\) (sześcian długości). Odpowiedzi z \\(h^{2}\\) można od razu odrzucić (błędny wymiar). Zostają C i D.<br>\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot\\tfrac{h^{2}}{9}\\cdot h = \\tfrac{1}{27}\\pi h^{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B</strong> - błędny wymiar (\\(h^{2}\\)).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{1}{9}\\pi h^{3}\\)</strong> - brak \\(\\tfrac{1}{3}\\) ze wzoru na objętość stożka.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(V_{\\text{stożka}} = \\tfrac{1}{3}\\pi r^{2} h\\).</p>"}]}