{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nMediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, , 5, 8\nx\njest równa 4.\nWtedy\nA.\n2\nx \nB.\n3\nx \nC.\n4\nx \nD.\n5\nx \nZadanie 24 z matury podstawowej - maj 2013. Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nObliczanie mediany uporządkowanego\nzestawu danych (II.10.a)\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Niezależność rzutów (podejście bezpośrednie)\n\nKluczowe spostrzeżenie: rzuty monetą są **niezależne** - wynik trzeciego rzutu nie zależy od tego, co wypadło w pierwszym ani w drugim.\n\nSymetryczna moneta oznacza, że w każdym pojedynczym rzucie:\n\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}, \\quad P(\\text{reszka}) = \\frac{1}{2}\\]\n\nPonieważ trzeci rzut jest niezależny od poprzednich, pytamy po prostu:\n\n**Jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w jednym rzucie monetą?**\n\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (wyliczenie)\n\nWypiszmy wszystkie możliwe wyniki trzech rzutów (O = orzeł, R = reszka):\n\n| Wynik | 3. rzut |\n| OOO | O ✓ |\n| OOR | R |\n| ORO | O ✓ |\n| ORR | R |\n| ROO | O ✓ |\n| ROR | R |\n| RRO | O ✓ |\n| RRR | R |\n\nŁącznie \\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\) równie prawdopodobnych wyników.\n\nSprzyjające (orzeł w 3. rzucie): OOO, ORO, ROO, RRO - **4 przypadki**.\n\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|A| = 4\\), \\(|\\Omega| = 8\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy ze **wnioskowania o niezależności zdarzeń** - pojęcie omówione na tych samych stronach karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\frac{1}{4}\\) | Uczeń myśli, że pytanie dotyczy prawdopodobieństwa orła **w konkretnym rzucie spośród trzech**, np. liczy \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\) - myli zdarzenie łączne z pojedynczym |\n| B \\(\\frac{3}{8}\\) | Kojarzy z schematem Bernoullego: \\(P_3(1) = \\binom{3}{1}\\cdot\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{3}{8}\\) - ale to jest P(dokładnie 1 orzeł w 3 rzutach), nie P(orzeł **właśnie** w 3.) |\n| D \\(\\frac{3}{4}\\) | Błędne dopełnienie - uczeń liczy \\(1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}\\), wychodząc z błędnego \\(\\frac{1}{4}\\) z odpowiedzi A |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo „trzykrotnie\" w treści to **pułapka** - sugeruje, że trzeba mnożyć prawdopodobieństwa lub stosować wzór Bernoullego. Ale pytanie dotyczy **tylko** wyniku trzeciego rzutu, a rzuty są niezależne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić pytania „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie)?\" z „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie **i** orzeł w 1. i 2. rzucie)?\". To drugie to \\(\\frac{1}{8}\\) - zupełnie inna historia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria rzutów oznacza, że P(orzeł w \\(k\\)-tym rzucie) = \\(\\frac{1}{2}\\) dla **każdego** \\(k\\) - bez względu na to, co było wcześniej. Historia rzutów nie ma znaczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Niezależność rzutów\nKażdy rzut monetą jest niezależny od poprzednich. Prawdopodobieństwo orła w trzecim rzucie nie zależy od wyników poprzednich rzutów i wynosi:\n\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Zliczenie zdarzeń sprzyjających\nWszystkie możliwe wyniki 3 rzutów: \\(2^{3}=8\\). Orły w trzecim rzucie to wyniki kończące się na „O\": \\(OOO, OOR^{c}\\) - nie, raczej: \\(OOO, ORO, ROO, RRO\\) - 4 wyniki.\nPrawdopodobieństwo: \\(\\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - prawdopodobieństwo dwóch konkretnych wyników z rzędu.\n- **B. \\(\\tfrac{3}{8}\\)** - brak związku z pytaniem.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł (przy dwóch rzutach).\n\n**Pamiętaj:** rzuty monetą są **niezależne** - historia nie wpływa na przyszłość.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, , 5, 8<br>x<br>jest równa 4.<br>Wtedy<br>A.<br>2<br>x <br>B.<br>3<br>x <br>C.<br>4<br>x <br>D.<br>5<br>x <br>Zadanie 24 z matury podstawowej - maj 2013. Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie reprezentacji<br>Obliczanie mediany uporządkowanego<br>zestawu danych (II.10.a)<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Niezależność rzutów (podejście bezpośrednie)</h4>\n<p>Kluczowe spostrzeżenie: rzuty monetą są <strong>niezależne</strong> - wynik trzeciego rzutu nie zależy od tego, co wypadło w pierwszym ani w drugim.</p>\n<p>Symetryczna moneta oznacza, że w każdym pojedynczym rzucie:<br>\\[P(\\text{orzeł}) = \\frac{1}{2}, \\quad P(\\text{reszka}) = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Ponieważ trzeci rzut jest niezależny od poprzednich, pytamy po prostu:</p>\n<p><strong>Jakie jest prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w jednym rzucie monetą?</strong></p>\n<p>\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (wyliczenie)</h4>\n<p>Wypiszmy wszystkie możliwe wyniki trzech rzutów (O = orzeł, R = reszka):</p>\n<p>| Wynik | 3. rzut |<br>| OOO | O ✓ |<br>| OOR | R |<br>| ORO | O ✓ |<br>| ORR | R |<br>| ROO | O ✓ |<br>| ROR | R |<br>| RRO | O ✓ |<br>| RRR | R |</p>\n<p>Łącznie \\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\) równie prawdopodobnych wyników.</p>\n<p>Sprzyjające (orzeł w 3. rzucie): OOO, ORO, ROO, RRO - <strong>4 przypadki</strong>.</p>\n<p>\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny z Metodą 1.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(|A| = 4\\), \\(|\\Omega| = 8\\).</p>\n<p>W Sposobie 1 korzystamy ze <strong>wnioskowania o niezależności zdarzeń</strong> - pojęcie omówione na tych samych stronach karty.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\(\\frac{1}{4}\\) | Uczeń myśli, że pytanie dotyczy prawdopodobieństwa orła <strong>w konkretnym rzucie spośród trzech</strong>, np. liczy \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\) - myli zdarzenie łączne z pojedynczym |<br>| B \\(\\frac{3}{8}\\) | Kojarzy z schematem Bernoullego: \\(P_3(1) = \\binom{3}{1}\\cdot\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{3}{8}\\) - ale to jest P(dokładnie 1 orzeł w 3 rzutach), nie P(orzeł <strong>właśnie</strong> w 3.) |<br>| D \\(\\frac{3}{4}\\) | Błędne dopełnienie - uczeń liczy \\(1 - \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}\\), wychodząc z błędnego \\(\\frac{1}{4}\\) z odpowiedzi A |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Słowo „trzykrotnie&quot; w treści to <strong>pułapka</strong> - sugeruje, że trzeba mnożyć prawdopodobieństwa lub stosować wzór Bernoullego. Ale pytanie dotyczy <strong>tylko</strong> wyniku trzeciego rzutu, a rzuty są niezależne.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić pytania „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie)?&quot; z „jakie jest P(orzeł w 3. rzucie <strong>i</strong> orzeł w 1. i 2. rzucie)?&quot;. To drugie to \\(\\frac{1}{8}\\) - zupełnie inna historia.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria rzutów oznacza, że P(orzeł w \\(k\\)-tym rzucie) = \\(\\frac{1}{2}\\) dla <strong>każdego</strong> \\(k\\) - bez względu na to, co było wcześniej. Historia rzutów nie ma znaczenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Niezależność rzutów</h5>\n<p>Każdy rzut monetą jest niezależny od poprzednich. Prawdopodobieństwo orła w trzecim rzucie nie zależy od wyników poprzednich rzutów i wynosi:<br>\\[P(\\text{orzeł w 3. rzucie}) = \\dfrac{1}{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Zliczenie zdarzeń sprzyjających</h5>\n<p>Wszystkie możliwe wyniki 3 rzutów: \\(2^{3}=8\\). Orły w trzecim rzucie to wyniki kończące się na „O&quot;: \\(OOO, OOR^{c}\\) - nie, raczej: \\(OOO, ORO, ROO, RRO\\) - 4 wyniki.<br>Prawdopodobieństwo: \\(\\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)</strong> - prawdopodobieństwo dwóch konkretnych wyników z rzędu.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{3}{8}\\)</strong> - brak związku z pytaniem.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)</strong> - prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł (przy dwóch rzutach).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> rzuty monetą są <strong>niezależne</strong> - historia nie wpływa na przyszłość.</p>"}]}