{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nObjętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 3 . Długość\nkrawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 8\nD. 16\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nZadanie 25 z matury podstawowej - maj 2013. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 pierwiastków z 3 . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa A. 2, B. 4, C. 8, D. 16","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji\nWykorzystanie związków miarowych w\ngraniastosłupie do obliczenia jego\nobjętości (II.9.b)\nB\nC\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5\nSchemat oceniania do zadań otwartych","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(y = -0{,}4x + 3\\)\n\n## Sposób 1 - Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy\n\nProsta równoległa do danej ma **identyczny współczynnik kierunkowy** (nachylenie), bo gdyby był inny, proste by się przecięły.\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).**\n\n\\[l: y = -\\frac{2}{5}x\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = -\\frac{2}{5}\\)\n\nZamień na postać dziesiętną:\n\\[-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\]\n\n**Krok 2: Użyj warunku przecięcia z osią \\(Oy\\).**\n\nProsta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 3)\\), czyli wyraz wolny wynosi \\(b = 3\\).\n\n**Krok 3: Zapisz równanie prostej \\(k\\).**\n\n\\[k: y = ax + b\\]\n\\[\\boxed{y = -0{,}4x + 3}\\]\n\nTo odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie punktu i równoległości\n\nPodstaw \\(x = 0\\) do równania \\(y = -0{,}4x + 3\\):\n\\[y = -0{,}4 \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\nPunkt \\((0, 3)\\) leży na prostej - **warunek spełniony**.\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(k\\): \\(a_k = -0{,}4 = -\\frac{2}{5}\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(l\\): \\(a_l = -\\frac{2}{5}\\)\n\nWarunek równoległości: \\(a_k = a_l\\), czyli \\(-\\frac{2}{5} = -\\frac{2}{5}\\) - **spełniony**.\n\nProsta \\(k\\) nie jest tożsama z \\(l\\), bo \\(l\\) przechodzi przez \\((0,0)\\), a \\(k\\) przez \\((0,3)\\) - to dwie różne proste.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy, \\(b\\) to wyraz wolny (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).\n\n**Warunek równoległości prostych** (dział 11, s. 22):\n\\[a_1 = a_2\\]\n(przy czym proste nie mogą być tożsame)\n\nUżyliśmy obu powyższych w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(-0{,}4\\), ale błędny wyraz wolny: \\(-3\\) zamiast \\(+3\\). Pomylono znak przy odczycie punktu przecięcia z osią \\(Oy\\). |\n| **C** | Zamiast wziąć współczynnik kierunkowy prostej równoległej, wzięto współczynnik prostej **prostopadłej** do \\(l\\): \\(a_\\perp = \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Wyraz wolny poprawny. |\n| **D** | Podwójny błąd: wzięto współczynnik prostej **prostopadłej** (\\(2{,}5\\)) i błędny wyraz wolny (\\(-3\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta równoległa = **ten sam współczynnik kierunkowy**, NIE odwrotność ze zmianą znaku. Tę drugą operację (\\(a \\to -\\frac{1}{a}\\)) stosujemy dla prostej **prostopadłej**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\), NIE \\(-2{,}5\\). Ułamek \\(\\frac{2}{5}\\) w systemie dziesiętnym to \\(0{,}4\\) - łatwo pomylić z \\(\\frac{2}{5} \\to \\frac{5}{2} = 2{,}5\\) (czyli odwrotnością).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, 3)\\) leży **na osi \\(Oy\\)**, więc jego współrzędna \\(y = 3\\) to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba podstawiać do równania - wystarczy odczytać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Prosta \\(l\\) ma \\(a=-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\). Zatem \\(k\\) też ma \\(a=-0{,}4\\).\n\nProsta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w \\((0,3)\\), więc wyraz wolny \\(b=3\\).\nRównanie \\(k\\): \\(y=-0{,}4x+3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktu i nachylenia\nDla \\(x=0\\) w odpowiedzi A: \\(y=-0{,}4\\cdot 0+3=3\\) ✓. Współczynnik \\(-0{,}4 = -\\tfrac{2}{5}\\) zgodny z \\(l\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** przecina \\(Oy\\) w \\((0,-3)\\), nie \\((0,3)\\).\n- **C.** współczynnik \\(2{,}5\\ne -0{,}4\\) - prosta prostopadła (\\(-0{,}4\\cdot 2{,}5=-1\\)).\n- **D.** ma zły wyraz wolny i zły współczynnik.\n\n**Pamiętaj:** \\(-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\) - proste równoległe mają **równe** współczynniki kierunkowe.","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 3 . Długość
krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

\n

Poziom podstawowy
9
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań 26-34 należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 25 z matury podstawowej - maj 2013. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 7 jest równa 28 pierwiastków z 3 . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa A. 2, B. 4, C. 8, D. 16

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji
Wykorzystanie związków miarowych w
graniastosłupie do obliczenia jego
objętości (II.9.b)
B
C
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
5
Schemat oceniania do zadań otwartych

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(y = -0{,}4x + 3\\)

\n

Sposób 1 - Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy

\n

Prosta równoległa do danej ma identyczny współczynnik kierunkowy (nachylenie), bo gdyby był inny, proste by się przecięły.

\n

Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\).

\n

\\[l: y = -\\frac{2}{5}x\\]

\n

Współczynnik kierunkowy: \\(a = -\\frac{2}{5}\\)

\n

Zamień na postać dziesiętną:
\\[-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\]

\n

Krok 2: Użyj warunku przecięcia z osią \\(Oy\\).

\n

Prosta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 3)\\), czyli wyraz wolny wynosi \\(b = 3\\).

\n

Krok 3: Zapisz równanie prostej \\(k\\).

\n

\\[k: y = ax + b\\]
\\[\\boxed{y = -0{,}4x + 3}\\]

\n

To odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie punktu i równoległości

\n

Podstaw \\(x = 0\\) do równania \\(y = -0{,}4x + 3\\):
\\[y = -0{,}4 \\cdot 0 + 3 = 3\\]

\n

Punkt \\((0, 3)\\) leży na prostej - warunek spełniony.

\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\): \\(a_k = -0{,}4 = -\\frac{2}{5}\\)

\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(l\\): \\(a_l = -\\frac{2}{5}\\)

\n

Warunek równoległości: \\(a_k = a_l\\), czyli \\(-\\frac{2}{5} = -\\frac{2}{5}\\) - spełniony.

\n

Prosta \\(k\\) nie jest tożsama z \\(l\\), bo \\(l\\) przechodzi przez \\((0,0)\\), a \\(k\\) przez \\((0,3)\\) - to dwie różne proste.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy, \\(b\\) to wyraz wolny (wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)).

\n

Warunek równoległości prostych (dział 11, s. 22):
\\[a_1 = a_2\\]
(przy czym proste nie mogą być tożsame)

\n

Użyliśmy obu powyższych w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Poprawny współczynnik kierunkowy \\(-0{,}4\\), ale błędny wyraz wolny: \\(-3\\) zamiast \\(+3\\). Pomylono znak przy odczycie punktu przecięcia z osią \\(Oy\\). |
| C | Zamiast wziąć współczynnik kierunkowy prostej równoległej, wzięto współczynnik prostej prostopadłej do \\(l\\): \\(a_\\perp = \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Wyraz wolny poprawny. |
| D | Podwójny błąd: wzięto współczynnik prostej prostopadłej (\\(2{,}5\\)) i błędny wyraz wolny (\\(-3\\)). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prosta równoległa = ten sam współczynnik kierunkowy, NIE odwrotność ze zmianą znaku. Tę drugą operację (\\(a \\to -\\frac{1}{a}\\)) stosujemy dla prostej prostopadłej.
\n
⚠️ Uwaga: \\(-\\frac{2}{5} = -0{,}4\\), NIE \\(-2{,}5\\). Ułamek \\(\\frac{2}{5}\\) w systemie dziesiętnym to \\(0{,}4\\) - łatwo pomylić z \\(\\frac{2}{5} \\to \\frac{5}{2} = 2{,}5\\) (czyli odwrotnością).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\((0, 3)\\) leży na osi \\(Oy\\), więc jego współrzędna \\(y = 3\\) to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba podstawiać do równania - wystarczy odczytać.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Warunek równoległości
\n

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Prosta \\(l\\) ma \\(a=-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\). Zatem \\(k\\) też ma \\(a=-0{,}4\\).

\n

Prosta \\(k\\) przecina oś \\(Oy\\) w \\((0,3)\\), więc wyraz wolny \\(b=3\\).
Równanie \\(k\\): \\(y=-0{,}4x+3\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie punktu i nachylenia
\n

Dla \\(x=0\\) w odpowiedzi A: \\(y=-0{,}4\\cdot 0+3=3\\) ✓. Współczynnik \\(-0{,}4 = -\\tfrac{2}{5}\\) zgodny z \\(l\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(-\\tfrac{2}{5}=-0{,}4\\) - proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.

"}]}