{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n2\n8\n16\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nMatura podstawowa z matematyki 2013. Zadanie otwarte. Rozwiąż równanie x^3+2x^2-8x-16 = 0.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n2\n8\n16\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania\nwyrazów:\n\n\n\n\n2\n2\n8\n2\n8\n0\nx x\nx\n\n\n\n\nlub\n\n\n\n\n2\n2\n8\n2\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n8\n0\nx\nx\n\n\n\nStąd\n2\nx  lub\n8\n2 2\nx \n\nlub\n8\n2 2\nx \n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: \n\n\n2\n2\n8\nx\nx\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n8\n8\nx\nx\nx\n\n\n\n, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na\ntym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx ,\n8\nx \n,\n8\nx \nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2\n jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n2\nx \n. Otrzymujemy iloraz \n\n2\n8\nx \nZapisujemy równanie w postaci \n\n\n2\n2\n8\n0\nx\nx\n\n\n\n. Stąd \n\n\n\n2\n8\n8\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\ni\n2\nx  lub\n8\n2 2\nx \n\nlub\n8\n2 2\nx \n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podzieli wielomian\n3\n2\n2\n8\n16\nx\nx\nx\n\n\n\nprzez dwumian \n\n2\nx \n, otrzyma iloraz \n\n2\n8\nx \ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2,\n8,\n8\nx\nx\nx\n\n\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu\nna czynniki (II.3.d)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 1\\).\n\n## Sposób 1 - własności logarytmów (łączenie w jeden logarytm)\n\nKorzystamy z własności logarytmów: dodawanie = mnożenie, odejmowanie = dzielenie.\n\n\\[\n\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\frac{4 \\cdot 5}{2} = \\log\\frac{20}{2} = \\log 10\n\\]\n\nSkoro \\(\\log 10 = \\log_{10} 10\\), a logarytm dziesiętny z \\(10\\) to z definicji:\n\\[\n\\log_{10} 10 = 1 \\quad \\text{bo } 10^1 = 10\n\\]\n\n**Odpowiedź: \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - rozkład na logarytmy prostszych liczb\n\nZamiast łączyć od razu, rozpisujemy każdą liczbę jako potęgę:\n\n\\[\n\\log 4 = \\log 2^2 = 2\\log 2\n\\]\n\\[\n\\log 5 = \\log \\frac{10}{2} = \\log 10 - \\log 2 = 1 - \\log 2\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\n\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 2\\log 2 + (1 - \\log 2) - \\log 2\n\\]\n\\[\n= 2\\log 2 + 1 - \\log 2 - \\log 2 = 1 + (2 - 1 - 1)\\log 2 = 1 + 0 \\cdot \\log 2 = \\mathbf{1}\n\\]\n\nWyrazy z \\(\\log 2\\) znoszą się, zostaje samo \\(1\\). Wynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasności logarytmów użyte w rozwiązaniu:\n\\[\n\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\n\\]\n\\[\n\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\n\\]\n\\[\n\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\n\\]\n\nOraz definicja, z której wynika \\(\\log_{10} 10 = 1\\):\n\\[\n\\log_a b = c \\iff a^c = b\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(\\frac{4 \\cdot 5}{2} = 10\\) i zapomina wziąć \\(\\log\\) z wyniku - zostawia samą liczbę \\(10\\) |\n| B (\\(2\\)) | Uczeń liczy \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4+5-2) = \\log 7\\) albo błędnie stosuje \\(\\log 4 - \\log 2 = \\log 2\\), a potem \"dodaje \\(\\log 5 \\approx 1\\)\" bez sensu |\n| D (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4 \\cdot 5 - 2) = \\log 18\\) lub zakłada, że wyrażenie \"się zeruje\" bez liczenia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\) - i \\(\\log_{10} 10 = 1\\), nie \\(10\\)! Mylenie wartości logarytmu z jego argumentem to klasyczny błąd (odpowiedź A).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log a + \\log b \\neq \\log(a + b)\\). Suma logarytmów to logarytm **iloczynu**: \\(\\log a + \\log b = \\log(a \\cdot b)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu logarytmów pamiętaj o kolejności - \\(\\log a - \\log b = \\log\\frac{a}{b}\\), a nie \\(\\log\\frac{b}{a}\\). Tu: \\(\\log(4 \\cdot 5) - \\log 2 = \\log\\frac{20}{2}\\), nie \\(\\log\\frac{2}{20}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzory na logarytmy\n\\[\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\dfrac{4\\cdot 5}{2} = \\log\\dfrac{20}{2} = \\log 10 = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(\\log 4 = \\log 2^{2} = 2\\log 2\\).\n\\[2\\log 2 + \\log 5 - \\log 2 = \\log 2 + \\log 5 = \\log(2\\cdot 5) = \\log 10 = 1.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - pomylenie z argumentem, nie wynikiem.\n- **B. \\(2\\)** - \\(\\log 100 = 2\\), ale tu nie ma \\(100\\).\n- **D. \\(0\\)** - \\(\\log 1 = 0\\), ale tu argument to \\(10\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(\\log a + \\log b - \\log c = \\log\\dfrac{ab}{c}\\); \\(\\log 10 = 1\\) (baza \\(10\\)).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
2
8
16
0
x
x
x




Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Matura podstawowa z matematyki 2013. Zadanie otwarte. Rozwiąż równanie x^3+2x^2-8x-16 = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż równanie
3
2
2
8
16
0
x
x
x




I sposób rozwiązania (metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania
wyrazów:




2
2
8
2
8
0
x x
x




lub




2
2
8
2
0
x
x
x







2
2
8
0
x
x



Stąd
2
x  lub
8
2 2
x 

lub
8
2 2
x 

Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: 


2
2
8
x
x


,




2
8
8
x
x
x



, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na
tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
2
x ,
8
x 
,
8
x 
II sposób rozwiązania (metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 2
 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
2
8
16
x
x
x



. Dzielimy
wielomian
3
2
2
8
16
x
x
x



przez dwumian 

2
x 
. Otrzymujemy iloraz 

2
8
x 
Zapisujemy równanie w postaci 


2
2
8
0
x
x



. Stąd 



2
8
8
0
x
x
x




i
2
x  lub
8
2 2
x 

lub
8
2 2
x 

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy podzieli wielomian
3
2
2
8
16
x
x
x



przez dwumian 

2
x 
, otrzyma iloraz 

2
8
x 
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
2,
8,
8
x
x
x



Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu
na czynniki (II.3.d)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Liczba \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 1\\).

\n

Sposób 1 - własności logarytmów (łączenie w jeden logarytm)

\n

Korzystamy z własności logarytmów: dodawanie = mnożenie, odejmowanie = dzielenie.

\n

\\[
\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\frac{4 \\cdot 5}{2} = \\log\\frac{20}{2} = \\log 10
\\]

\n

Skoro \\(\\log 10 = \\log_{10} 10\\), a logarytm dziesiętny z \\(10\\) to z definicji:
\\[
\\log_{10} 10 = 1 \\quad \\text{bo } 10^1 = 10
\\]

\n

Odpowiedź: \\(1\\).

\n

Sposób 2 - rozkład na logarytmy prostszych liczb

\n

Zamiast łączyć od razu, rozpisujemy każdą liczbę jako potęgę:

\n

\\[
\\log 4 = \\log 2^2 = 2\\log 2
\\]
\\[
\\log 5 = \\log \\frac{10}{2} = \\log 10 - \\log 2 = 1 - \\log 2
\\]

\n

Podstawiamy:
\\[
\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = 2\\log 2 + (1 - \\log 2) - \\log 2
\\]
\\[
= 2\\log 2 + 1 - \\log 2 - \\log 2 = 1 + (2 - 1 - 1)\\log 2 = 1 + 0 \\cdot \\log 2 = \\mathbf{1}
\\]

\n

Wyrazy z \\(\\log 2\\) znoszą się, zostaje samo \\(1\\). Wynik zgodny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Własności logarytmów użyte w rozwiązaniu:
\\[
\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y
\\]
\\[
\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y
\\]
\\[
\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x
\\]

\n

Oraz definicja, z której wynika \\(\\log_{10} 10 = 1\\):
\\[
\\log_a b = c \\iff a^c = b
\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(10\\)) | Uczeń liczy \\(\\frac{4 \\cdot 5}{2} = 10\\) i zapomina wziąć \\(\\log\\) z wyniku - zostawia samą liczbę \\(10\\) |
| B (\\(2\\)) | Uczeń liczy \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4+5-2) = \\log 7\\) albo błędnie stosuje \\(\\log 4 - \\log 2 = \\log 2\\), a potem "dodaje \\(\\log 5 \\approx 1\\)" bez sensu |
| D (\\(0\\)) | Uczeń myśli, że \\(\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log(4 \\cdot 5 - 2) = \\log 18\\) lub zakłada, że wyrażenie "się zeruje" bez liczenia |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log\\) bez podstawy to zawsze \\(\\log_{10}\\) - i \\(\\log_{10} 10 = 1\\), nie \\(10\\)! Mylenie wartości logarytmu z jego argumentem to klasyczny błąd (odpowiedź A).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log a + \\log b \\neq \\log(a + b)\\). Suma logarytmów to logarytm iloczynu: \\(\\log a + \\log b = \\log(a \\cdot b)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu logarytmów pamiętaj o kolejności - \\(\\log a - \\log b = \\log\\frac{a}{b}\\), a nie \\(\\log\\frac{b}{a}\\). Tu: \\(\\log(4 \\cdot 5) - \\log 2 = \\log\\frac{20}{2}\\), nie \\(\\log\\frac{2}{20}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wzory na logarytmy
\n

\\[\\log 4 + \\log 5 - \\log 2 = \\log\\dfrac{4\\cdot 5}{2} = \\log\\dfrac{20}{2} = \\log 10 = 1.\\]

\n
Sposób 2 - Rozkład na czynniki
\n

\\(\\log 4 = \\log 2^{2} = 2\\log 2\\).
\\[2\\log 2 + \\log 5 - \\log 2 = \\log 2 + \\log 5 = \\log(2\\cdot 5) = \\log 10 = 1.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(\\log a + \\log b - \\log c = \\log\\dfrac{ab}{c}\\); \\(\\log 10 = 1\\) (baza \\(10\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -2, x = -\\sqrt{8}, x = \\sqrt{8}$

"}]}