{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nKąt jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nOdpowiedź:\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nKąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2 alfa - 3cos^2 alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nKąt jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n. Oblicz wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nI sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych)\nPonieważ jest ostry i\n3\nsin\n2\n\n, więc\n60\n\n. Zatem\n1\ncos\ncos60\n2\n\n\nStąd\n2\n2\n2\n2\n3\n1\nsin\n3cos\n3\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze wartość cosinusa kąta :\n1\ncos\n2\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nII sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi)\nObliczamy\n2\n2\n3\n3\nsin\n2\n4\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n, następnie korzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n\nobliczamy\n2\n1\ncos\n4\n\n\n, stąd\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nalbo\nkorzystając z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\n\n\n\n, przekształcamy wyrażenie\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\ndo postaci\n2\n4sin\n3\n, a następnie obliczamy jego wartość:\n2\n4sin\n3\n0\n\n\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nobliczy\n2\n1\ncos\n4\n\nalbo\n\nzapisze wyrażenie w postaci\n\n\n2\n2\nsin\n3 1 sin\n\n\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy, że\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nZastosowanie prostych związków między funkcjami\ntrygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości\nwyrażenia (II.6.c)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\nIII sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\nb\nx\nx\n\n\n, więc b\nx\n\nStąd\n1\ncos\n2\n2\nx\nx\n\n\n, więc\n2\n2\n2\n2\n3\n1\nsin\n3cos\n3\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\nnarysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości\n3 i przeciwprostokątnej\ndługości 2 (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy\nw tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej\npopełnia błędy\nalbo\n\nobliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości\n3\ni przeciwprostokątnej długości 2 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym,\nobliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od 1)\ni konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia\n2\n2\nsin\n3cos\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wartość\n2\n2\nsin\n3cos\n0\n\n\n\n\nZadania 28. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że\n0,\n\n\n\nx\ny\nz\nprawdziwa\njest nierówność\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\nMożesz skorzystać z tożsamości \n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\nI sposób rozwiązania\nPodnosimy obie strony równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\ndo kwadratu i otrzymujemy równość\nrównoważną\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n\n\n\n\n\n\nStąd\nRozumowanie i argumentacja\nUzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej\n(V.2.b)\n2x\n3\nx\nb\n\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8\n\n\n2\n2\n2\n1\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\nPonieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc\n\n\n2\n2\n2\n1\n0\n2 x\ny\nz\n\n\n\n\n, czyli\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\n, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy podniesie obie strony równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\ndo kwadratu i zapisze np.\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\ny\nz\n\n\n\n\n\ni na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nx\ny\nz\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\nx\ny\nz\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nII sposób rozwiązania\nZ równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\nwyznaczamy jedną z liczb, np. z\nx\ny\n\n. Wtedy otrzymujemy\n\n\n\n\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nxy\nx\nx\ny\ny\nx\ny\nxy\nx\nxy\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nWyrażenie\n2\n2\nx\nxy\ny\n\n\ntraktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x. Wówczas jego\nwyróżnik jest równy\n2\n2\n2\n4 1\n3\n0\ny\ny\ny\n\n\n\n\n. To, wraz z dodatnim znakiem\nwspółczynnika przy\n2\nx , oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli\n2\n2\n0\nx\nxy\ny\n\n\n\n. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nMożemy również zauważyć, że\n\n\n2\n2\n2\n2\n3\n1\n2\n4\nx\nxy\ny\nx\ny\ny\n\n\n\n\n\n. Jest to suma dwóch liczb\nnieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nMożemy również zauważyć, że\n\n\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\nx\nxy\ny\nx\nx\ny\ny\n\n\n\n\n\n\n. Jest to suma trzech\nliczb nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd\n\n\n2\n2\n0\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\n\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy z równości\n0\nx\ny\nz\n\n\n\njedną z liczb i zapisze wyrażenie xy\nxz\nyz\n\n\nw zależności od dwóch zmiennych, np. zmiennych x i y:\n2\n2\nxy\nxz\nyz\nx\nxy\ny\n\n\n\n\n\ni na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia\n2\n2\nx\nxy\ny\n\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód.\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nZadania 29. (0-2)\nNa rysunku przedstawiony jest wykres funkcji\n\nf x określonej dla\n7,8\n\nx\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n-8\n-7\n-6\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nx\ny\nOdczytaj z wykresu i zapisz:\na) największą wartość funkcji f,\nb) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nRozwiązanie\nOdczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f . Jest ona równa 7.\nPodajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości\nujemne:\n\n3,5\n\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n\npoda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla\nktórych funkcja f przyjmuje wartości ujemne\nalbo\n\npoda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości\nujemne: \n\n3,5\n\ni nie poda największej wartości funkcji f.\nUwaga\nAkceptujemy zapisy:\n\n\n3,5\nx\nlub 3\n5\nx\n\n\nlub\n3\nx \ni\n5\nx \nlub\n3 ,\n5\nx\nx\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla\nktórych funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7, \n\n3,5\n\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nW rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy:\n\n\n5, 3\nx\n\n,\n\n\n3,5\nx\n,\n\n\n3, 5\nx\n\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz\nprzedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne\n(II.4.b)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10\nZadania 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n0\n5\n7\n2\n2\n\n\nx\nx\nRozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap rozwiązania:\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n5\n7\n2\n2\n\nx\nx\n obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n9\n5\n2\n4\n49\n\n\n\n\n\n\ni stąd\n1\n4\n3\n7\n1\n\n\n\nx\noraz\n2\n7\n3\n5\n4\n2\nx\n\n\n\nalbo\n stosujemy wzory Viète’a:\n2\n5\n2\n1\n\nx\nx\noraz\n2\n7\n2\n1\n\nx\nx\n, stąd\n1\n1 \nx\noraz\n2\n5\n2\nx \nalbo\n podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu lub zaznaczając je na wykresie\n1\n1 \nx\n,\n2\n1\n2\n2 \nx\nlub \n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n5\n1\n2\nx\nx\nDrugi etap rozwiązania:\n-1\n1\n2\n3\n4\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\ny\n0\nx\n5\n2\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n\n\n5\n2\n,1\n,\n\n\n lub\n\n\n5\n2\n,1\n,\nx\n\n lub (\n1\nx  lub\n5\n2\nx \n).\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\n zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\n obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1 \nx\n,\n2\n5\n2\nx \ni na tym\npoprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\n zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n5\n7\n2\n)\n(\n2\n\n\n\nx\nx\nx\nf\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\n rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n4\n4\n4\n10\n2\nx\nx\ni na\ntym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,\n zapisze nierówność\n4\n3\n4\n7 \n\nx\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\nalbo\n realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)\ni konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.\n popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nnierówność,\n błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n2\n5\n2\n1\n\n\nx\nx\noraz\n2\n7\n2\n1\n\nx\nx\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,\n błędnie zapisze nierówność, np.\n4\n3\n4\n7 \n\nx\ni konsekwentnie do popełnionego\nbłędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\n poda zbiór rozwiązań nierówności:\n\n\n5\n2\n,1\n,\n\n\n lub\n\n\n5\n2\n,1\n,\nx\n\n lub (\n1\nx  lub\n5\n2\nx \n),\nalbo\n sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności w postaci:\n1\nx ,\n5\n2\nx \nalbo\n poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\nx\n1\n5\n2\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n12\nKryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1 \nx\n,\n2\n5\n2\nx \ni zapisze, np.\n\n\n2\n5\n, 1\n,\nx\n\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n\n\n5\n2\n,\n1,\nx\n\n, to otrzymuje 2 punkty.\nZadania 31. (0-2)\nWykaż, że liczba\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\njest podzielna przez 17.\nRozwiązanie\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n\n\n10\n6\n2\n6\n6\n2\n98\n\n\n\n\n. Doprowadzamy do postaci\n17\n2\n698\n\n\nSchemat oceniania rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze liczbę\n98\n99\n100\n6\n10\n6\n2\n6\n\n\n\n\nw postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest\npotęgą 6k , gdzie 80\n98\nk\n\n\n, np.\n\n\n98\n2\n6\n6\n2 6 10\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia\nbłędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 17 albo przeprowadzi\nrozumowanie uzasadniające podzielność przez 17.\nZadania 32. (0-4)\nPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy\nwiększy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.\nRozumowanie i argumentacja\nPrzeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g)\nUżycie i tworzenie strategii\nWyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich\n(IV.7.c)\nB\nA\nC\nS\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n13\nI sposób rozwiązania\nPonieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży\nwewnątrz tego trójkąta. Niech oznacza miarę kąta BAS. Wówczas\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nKażdy z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równoramienny, więc\nABS\nBAS\n\n\n\n\n\n,\n2\nBCS\nCBS\n\n\n\n\n\n,\n3\nCAS\nACS\n\n\n\n\n\nMiary kątów trójkąta ABC są więc równe\n4\nBAC\n\n\n\n,\n3\nCBA\n\n\n\n,\n5\nACB\n\n\n\nSuma miar kątów trójkąta jest równa 180, zatem\n4\n3\n5\n180\n\n\n\n\n\n\n,\n12\n180\n\n,\n15\n\n.\nWięc\n4\n4 15\n60\nBAC\n\n\n\n\n\n\n\n,\n3\n3 15\n45\nCBA\n\n\n\n\n\n\n,\n5\n5 15\n75\nACB\n\n\n\n\n\n\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nalbo\n wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są\nrównoramienne, np.:\nABS\nBAS\n\n\n\n,\nBCS\nCBS\n\n\n\n,\nCAS\nACS\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\noraz\n wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są\nrównoramienne, np.:\nABS\nBAS\n\n\n\n,\nBCS\nCBS\n\n\n\n,\nCAS\nACS\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nB\nA\nC\nS\n\n2\n3\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n14\nZapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta\nABC, np.: 4\n3\n5\n180\n\n\n\n\n\n\n.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie miar kątów trójkąta ABC:\n60\nBAC \n\n\n,\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n\nII sposób rozwiązania\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży\nwewnątrz tego trójkąta.\nZ twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy\n2\n2\nASB\nz\n\n\n\n\n,\n2\n2\nBSC\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\nCSA\ny\n\n\n\n\nSuma kątów w każdym z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równa 180, więc otrzymujemy\nukład równań\n\n\n2\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n2\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n.\nPonieważ\n2\n\n\n\ni\n3\n\n\n\n, więc układ możemy zapisać w postaci\n\n\n6\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n3\n4\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n,\n7\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n i 4\n2\n180\nx\nz\n\n\n\n i 7\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n.\nMnożąc strony pierwszego równania przez 2\n, drugiego przez 4 otrzymujemy\n14\n2\n4\n360\ny\nz\n\n\n\n\n\n i 16\n8\n4\n720\nx\nz\n\n\n\n i 7\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n.\nDodając stronami otrzymujemy\n9\n9\n540\nx\n\n\n,\n60\nx\n\n\n,\nczyli\n60\nABC \n\n\n. Zatem\n120\nBSC \n\n\nTrójkąt BSC jest równoramienny, więc\n180\n120\n30\n2\nSBC\nSCB\n\n\n\n\n\n\n\n\n, zatem\n2\n30\n\n, czyli\n15\n\n. Stąd\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n\nB\nA\nC\nS\n\n\n\nz\nx\ny\nKryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy\n15\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\nalbo\n wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC i ASC oraz odpowiednimi\nkątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np.:\n\n\n2\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n2\n180\nz\nx\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n2\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n,\ngdzie x\nCAS\n\n, y\nABS\n\n, z\nBCS\n\n,\nCBS\n\n,\nACS\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\n Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:\nBAS\n\n\n\n,\n2\nCBS\n\n\n\ni\n3\nACS\n\n\n\noraz\n wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC, ASC oraz odpowiednimi\nkątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema\nniewiadomymi, np.:\n\n\n6\n2\n180\ny\nz\n\n\n\n\n\n\n i\n\n\n2\n4\n2\n180\nz\ny\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n3\n4\n2\n180\nx\ny\n\n\n\n\n\n\n.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie miary kąta CAB:\n60\nx\n\n\n.\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nObliczenie miar kątów trójkąta ABC:\n60\nBAC \n\n\n,\n45\nCBA \n\n\n,\n75\nACB \n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie ma trzy rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Metoda Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego + rozkład)\n\n**Krok 1: Szukamy wymiernego pierwiastka.**\n\nZ twierdzenia o pierwiastkach wymiernych kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego \\((4)\\) podzielone przez dzielniki współczynnika przy \\(x^3\\) \\((3)\\):\n\\[\\pm1,\\ \\pm2,\\ \\pm4,\\ \\pm\\frac{1}{3},\\ \\pm\\frac{2}{3},\\ \\pm\\frac{4}{3}\\]\n\nSprawdzamy \\(x = 1\\):\n\\[3(1)^3 - 4(1)^2 - 3(1) + 4 = 3 - 4 - 3 + 4 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Dzielimy wielomian przez \\((x - 1)\\) schematem Hornera.**\n\n| | 3 | -4 | -3 | 4 |\n| \\(x=1\\) | | 3 | -1 | -4 |\n| | **3** | **-1** | **-4** | **0** |\n\nWynik: \\(3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = (x-1)(3x^2 - x - 4)\\)\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy \\(3x^2 - x - 4 = 0\\).**\n\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 1 + 48 = 49\\]\n\\[x = \\frac{1 \\pm \\sqrt{49}}{6} = \\frac{1 \\pm 7}{6}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{1 + 7}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}, \\qquad x_3 = \\frac{1 - 7}{6} = \\frac{-6}{6} = -1\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{x = -1 \\quad \\text{lub} \\quad x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)\n\nTo szybszy i elegantszy sposób - dostrzeżemy wspólny czynnik po zgrupowaniu.\n\n**Krok 1: Grupujemy wyrazy parami.**\n\n\\[3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = \\underbrace{3x^3 - 4x^2}_{\\text{grupa 1}} + \\underbrace{(-3x + 4)}_{\\text{grupa 2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyłączamy czynnik wspólny z każdej grupy.**\n\n\\[= x^2(3x - 4) - 1 \\cdot (3x - 4)\\]\n\nZauważamy, że \\((3x - 4)\\) to wspólny czynnik!\n\n**Krok 3: Wyłączamy \\((3x-4)\\).**\n\n\\[= (3x - 4)(x^2 - 1)\\]\n\n**Krok 4: Rozkładamy różnicę kwadratów** \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[= (3x - 4)(x - 1)(x + 1)\\]\n\n**Krok 5: Przyrównujemy każdy czynnik do zera:**\n\n\\[3x - 4 = 0 \\implies x = \\frac{4}{3}\\]\n\\[x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Wynik:** \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\frac{4}{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1, gdy po wyciągnięciu czynnika \\((x-1)\\) pozostał trójmian \\(3x^2 - x - 4\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, gdy rozkładaliśmy \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W metodzie grupowania kluczowe jest zauważenie, że \\(-3x + 4 = -1 \\cdot (3x - 4)\\). Błąd: wyłączenie \\(+1\\) zamiast \\(-1\\), co da \\(+(3x-4)\\) - wtedy czynnik wspólny nie wychodzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sprawdzaniu kandydatów na pierwiastki wymierne - nie zapomnij o ułamkach! Wiele uczniów sprawdza tylko liczby całkowite i nie znajduje \\(x = \\frac{4}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie trzeciego stopnia ma (z uwzględnieniem krotności i liczb zespolonych) zawsze **dokładnie 3** pierwiastki. Jeśli znalazłeś jeden i sprowadzasz do trójmianu - musisz go jeszcze rozwiązać, a nie przerywać w połowie!\n\n**Odpowiedź: \\(x=\\dfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\) lub \\(x=1\\).**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania\nGrupujemy wyrazy:\n\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = x^{2}(3x-4) - (3x-4) = (3x-4)(x^{2}-1).\\]\nWykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\\):\n\\[(3x-4)(x-1)(x+1) = 0.\\]\nStąd:\n\\[3x-4=0 \\Rightarrow x = \\dfrac{4}{3}, \\quad x-1=0 \\Rightarrow x=1, \\quad x+1=0 \\Rightarrow x=-1.\\]\n\n### Sposób 2 - Alternatywne grupowanie\n\\[3x(x^{2}-1) - 4(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(3x-4) = (x-1)(x+1)(3x-4).\\]\nTa sama faktoryzacja, te same pierwiastki.\n\n### Sposób 3 - Sprawdzenie twierdzeniem Bézouta\nSprawdzamy \\(x=1\\): \\(3-4-3+4=0\\) ✓. Dzielimy \\(3x^{3}-4x^{2}-3x+4\\) przez \\((x-1)\\):\n\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = (x-1)(3x^{2}-x-4).\\]\nRozwiązujemy \\(3x^{2}-x-4=0\\): \\(\\Delta=1+48=49\\), \\(x=\\dfrac{1\\pm 7}{6}\\), czyli \\(x=\\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\).\n\n### Zgodnie z CKE\nSchemat oceniania: 1 pkt za zapisanie równania w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, 2 pkt za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań.\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Pomijanie jednego z pierwiastków (np. tylko \\(\\tfrac{4}{3}\\) i \\(1\\)).\n- Błędy w grupowaniu - trzeba wyciągnąć wspólny czynnik \\((3x-4)\\) lub \\((x^{2}-1)\\).\n- Próba stosowania wzoru na \\(\\Delta\\) dla stopnia 3 (nie działa wprost).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Kąt jest ostry i
3
sin
2

. Oblicz wartość wyrażenia
2
2
sin
3cos



Odpowiedź:
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Kąt alfa jest ostry i sin alfa = pierwiastek z 3 / 2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2 alfa - 3cos^2 alfa.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Kąt jest ostry i
3
sin
2

. Oblicz wartość wyrażenia
2
2
sin
3cos



I sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych)
Ponieważ jest ostry i
3
sin
2

, więc
60

. Zatem
1
cos
cos60
2


Stąd
2
2
2
2
3
1
sin
3cos
3
0
2
2




















Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze wartość cosinusa kąta :
1
cos
2

i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy, że
2
2
sin
3cos
0




II sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi)
Obliczamy
2
2
3
3
sin
2
4











, następnie korzystając z tożsamości
2
2
sin
cos
1




obliczamy
2
1
cos
4


, stąd
2
2
sin
3cos
0




albo
korzystając z tożsamości
2
2
sin
cos
1



, przekształcamy wyrażenie
2
2
sin
3cos



do postaci
2
4sin
3
, a następnie obliczamy jego wartość:
2
4sin
3
0


Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:

obliczy
2
1
cos
4

albo

zapisze wyrażenie w postaci


2
2
sin
3 1 sin




i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy, że
2
2
sin
3cos
0




Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Zastosowanie prostych związków między funkcjami
trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości
wyrażenia (II.6.c)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
7
III sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy




2
2
2
2
3
b
x
x


, więc b
x

Stąd
1
cos
2
2
x
x


, więc
2
2
2
2
3
1
sin
3cos
3
0
2
2




















Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:

narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości
3 i przeciwprostokątnej
długości 2 (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy
w tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy
albo

obliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości
3
i przeciwprostokątnej długości 2 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym,
obliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od 1)
i konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia
2
2
sin
3cos



Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy wartość
2
2
sin
3cos
0




Zadania 28. (0-2)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że
0,



x
y
z
prawdziwa
jest nierówność
0
xy
yz
zx



Możesz skorzystać z tożsamości 

2
2
2
2
2
2
2








x
y
z
x
y
z
xy
xz
yz
I sposób rozwiązania
Podnosimy obie strony równości
0
x
y
z



do kwadratu i otrzymujemy równość
równoważną
2
2
2
2
2
2
0
x
y
z
xy
xz
yz






Stąd
Rozumowanie i argumentacja
Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej
(V.2.b)
2x
3
x
b

Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
8


2
2
2
1
2
xy
xz
yz
x
y
z





Ponieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc


2
2
2
1
0
2 x
y
z




, czyli
0
xy
yz
zx



, co kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy podniesie obie strony równości
0
x
y
z



do kwadratu i zapisze np.
2
2
2
1
1
1
2
2
2
xy
xz
yz
x
y
z





lub
2
2
2
2
2
2
xy
xz
yz
x
y
z





i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia
2
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
z



lub
2
2
2
x
y
z



Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.
II sposób rozwiązania
Z równości
0
x
y
z



wyznaczamy jedną z liczb, np. z
x
y

. Wtedy otrzymujemy




2
2
xy
xz
yz
xy
x
x
y
y
x
y
xy
x
xy
xy
y















2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
y






Wyrażenie
2
2
x
xy
y


traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x. Wówczas jego
wyróżnik jest równy
2
2
2
4 1
3
0
y
y
y




. To, wraz z dodatnim znakiem
współczynnika przy
2
x , oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli
2
2
0
x
xy
y



. Stąd


2
2
0
xy
xz
yz
x
xy
y






Możemy również zauważyć, że


2
2
2
2
3
1
2
4
x
xy
y
x
y
y





. Jest to suma dwóch liczb
nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd


2
2
0
xy
xz
yz
x
xy
y






Możemy również zauważyć, że


2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
x
xy
y
x
x
y
y






. Jest to suma trzech
liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd


2
2
0
xy
xz
yz
x
xy
y






To kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wyznaczy z równości
0
x
y
z



jedną z liczb i zapisze wyrażenie xy
xz
yz


w zależności od dwóch zmiennych, np. zmiennych x i y:
2
2
xy
xz
yz
x
xy
y





i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia
2
2
x
xy
y



Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
9
Zadania 29. (0-2)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji

f x określonej dla
7,8

x
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji f,
b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f . Jest ona równa 7.
Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości
ujemne:

3,5

Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:

poda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla
których funkcja f przyjmuje wartości ujemne
albo

poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości
ujemne: 

3,5

i nie poda największej wartości funkcji f.
Uwaga
Akceptujemy zapisy:


3,5
x
lub 3
5
x


lub
3
x 
i
5
x 
lub
3 ,
5
x
x


Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla
których funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7, 

3,5

Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
W rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy:


5, 3
x

,


3,5
x
,


3, 5
x

Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz
przedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne
(II.4.b)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
10
Zadania 30. (0-2)
Rozwiąż nierówność
0
5
7
2
2


x
x
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania:
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
5
7
2
2

x
x
 obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
9
5
2
4
49






i stąd
1
4
3
7
1



x
oraz
2
7
3
5
4
2
x



albo
 stosujemy wzory Viète’a:
2
5
2
1

x
x
oraz
2
7
2
1

x
x
, stąd
1
1 
x
oraz
2
5
2
x 
albo
 podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu lub zaznaczając je na wykresie
1
1 
x
,
2
1
2
2 
x
lub 









2
5
1
2
x
x
Drugi etap rozwiązania:
-1
1
2
3
4
-1
1
2
3
4
5
y
0
x
5
2
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności:


5
2
,1
,


 lub


5
2
,1
,
x

 lub (
1
x  lub
5
2
x 
).
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy:
 zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
11
 obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
1 
x
,
2
5
2
x 
i na tym
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
 zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji
5
7
2
)
(
2



x
x
x
f
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np.












4
4
4
10
2
x
x
i na
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,
 zapisze nierówność
4
3
4
7 

x
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
albo
 realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
 popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność,
 błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
2
5
2
1


x
x
oraz
2
7
2
1

x
x
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
 błędnie zapisze nierówność, np.
4
3
4
7 

x
i konsekwentnie do popełnionego
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy:
 poda zbiór rozwiązań nierówności:


5
2
,1
,


 lub


5
2
,1
,
x

 lub (
1
x  lub
5
2
x 
),
albo
 sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór
rozwiązań nierówności w postaci:
1
x ,
5
2
x 
albo
 poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
x
1
5
2
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
12
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki

\n
  1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
1 
x
,
2
5
2
x 
i zapisze, np.


2
5
, 1
,
x

, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
\n

nierówności w postaci


5
2
,
1,
x

, to otrzymuje 2 punkty.
Zadania 31. (0-2)
Wykaż, że liczba
98
99
100
6
10
6
2
6




jest podzielna przez 17.
Rozwiązanie
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias


10
6
2
6
6
2
98




. Doprowadzamy do postaci
17
2
698


Schemat oceniania rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy zapisze liczbę
98
99
100
6
10
6
2
6




w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest
potęgą 6k , gdzie 80
98
k


, np.


98
2
6
6
2 6 10

i na tym poprzestanie lub dalej popełnia
błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 17 albo przeprowadzi
rozumowanie uzasadniające podzielność przez 17.
Zadania 32. (0-4)
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy
większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Rozumowanie i argumentacja
Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g)
Użycie i tworzenie strategii
Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich
(IV.7.c)
B
A
C
S
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
13
I sposób rozwiązania
Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży
wewnątrz tego trójkąta. Niech oznacza miarę kąta BAS. Wówczas
2
CBS



i
3
ACS



Każdy z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równoramienny, więc
ABS
BAS





,
2
BCS
CBS





,
3
CAS
ACS





Miary kątów trójkąta ABC są więc równe
4
BAC



,
3
CBA



,
5
ACB



Suma miar kątów trójkąta jest równa 180, zatem
4
3
5
180






,
12
180

,
15

.
Więc
4
4 15
60
BAC







,
3
3 15
45
CBA






,
5
5 15
75
ACB






Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
 Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:
BAS



,
2
CBS



i
3
ACS



albo
 wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są
równoramienne, np.:
ABS
BAS



,
BCS
CBS



,
CAS
ACS



Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
 Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:
BAS



,
2
CBS



i
3
ACS



oraz
 wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są
równoramienne, np.:
ABS
BAS



,
BCS
CBS



,
CAS
ACS



Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
B
A
C
S

2
3
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
14
Zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta
ABC, np.: 4
3
5
180






.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie miar kątów trójkąta ABC:
60
BAC 


,
45
CBA 


,
75
ACB 


II sposób rozwiązania
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży
wewnątrz tego trójkąta.
Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy
2
2
ASB
z




,
2
2
BSC
x




,
2
2
CSA
y




Suma kątów w każdym z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równa 180, więc otrzymujemy
układ równań


2
2
180
y
z






 i


2
2
180
z
x






i


2
2
180
x
y






.
Ponieważ
2



i
3



, więc układ możemy zapisać w postaci


6
2
180
y
z






 i


2
2
2
180
z
x






 i


3
4
2
180
x
y






,
7
2
180
y
z



 i 4
2
180
x
z



 i 7
2
180
x
y



.
Mnożąc strony pierwszego równania przez 2
, drugiego przez 4 otrzymujemy
14
2
4
360
y
z





 i 16
8
4
720
x
z



 i 7
2
180
x
y



.
Dodając stronami otrzymujemy
9
9
540
x


,
60
x


,
czyli
60
ABC 


. Zatem
120
BSC 


Trójkąt BSC jest równoramienny, więc
180
120
30
2
SBC
SCB








, zatem
2
30

, czyli
15

. Stąd
45
CBA 


,
75
ACB 


B
A
C
S



z
x
y
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
15
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 pkt
 Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:
BAS



,
2
CBS



i
3
ACS



albo
 wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC i ASC oraz odpowiednimi
kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np.:


2
2
180
y
z






 i


2
2
180
z
x






i


2
2
180
x
y






,
gdzie x
CAS

, y
ABS

, z
BCS

,
CBS

,
ACS

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
 Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.:
BAS



,
2
CBS



i
3
ACS



oraz
 wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC, ASC oraz odpowiednimi
kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema
niewiadomymi, np.:


6
2
180
y
z






 i


2
4
2
180
z
y






i


3
4
2
180
x
y






.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie miary kąta CAB:
60
x


.
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Obliczenie miar kątów trójkąta ABC:
60
BAC 


,
45
CBA 


,
75
ACB 

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Równanie ma trzy rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Metoda Hornera (szukanie pierwiastka wymiernego + rozkład)

\n

Krok 1: Szukamy wymiernego pierwiastka.

\n

Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego \\((4)\\) podzielone przez dzielniki współczynnika przy \\(x^3\\) \\((3)\\):
\\[\\pm1,\\ \\pm2,\\ \\pm4,\\ \\pm\\frac{1}{3},\\ \\pm\\frac{2}{3},\\ \\pm\\frac{4}{3}\\]

\n

Sprawdzamy \\(x = 1\\):
\\[3(1)^3 - 4(1)^2 - 3(1) + 4 = 3 - 4 - 3 + 4 = 0 \\checkmark\\]

\n

Krok 2: Dzielimy wielomian przez \\((x - 1)\\) schematem Hornera.

\n

| | 3 | -4 | -3 | 4 |
| \\(x=1\\) | | 3 | -1 | -4 |
| | 3 | -1 | -4 | 0 |

\n

Wynik: \\(3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = (x-1)(3x^2 - x - 4)\\)

\n

Krok 3: Rozwiązujemy \\(3x^2 - x - 4 = 0\\).

\n

\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-4) = 1 + 48 = 49\\]
\\[x = \\frac{1 \\pm \\sqrt{49}}{6} = \\frac{1 \\pm 7}{6}\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{1 + 7}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}, \\qquad x_3 = \\frac{1 - 7}{6} = \\frac{-6}{6} = -1\\]

\n

Wynik:
\\[\\boxed{x = -1 \\quad \\text{lub} \\quad x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{4}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)

\n

To szybszy i elegantszy sposób - dostrzeżemy wspólny czynnik po zgrupowaniu.

\n

Krok 1: Grupujemy wyrazy parami.

\n

\\[3x^3 - 4x^2 - 3x + 4 = \\underbrace{3x^3 - 4x^2}{\\text{grupa 1}} + \\underbrace{(-3x + 4)}{\\text{grupa 2}}\\]

\n

Krok 2: Wyłączamy czynnik wspólny z każdej grupy.

\n

\\[= x^2(3x - 4) - 1 \\cdot (3x - 4)\\]

\n

Zauważamy, że \\((3x - 4)\\) to wspólny czynnik!

\n

Krok 3: Wyłączamy \\((3x-4)\\).

\n

\\[= (3x - 4)(x^2 - 1)\\]

\n

Krok 4: Rozkładamy różnicę kwadratów \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):

\n

\\[= (3x - 4)(x - 1)(x + 1)\\]

\n

Krok 5: Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

\n

\\[3x - 4 = 0 \\implies x = \\frac{4}{3}\\]
\\[x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]
\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]

\n

Wynik: \\(x = -1\\), \\(x = 1\\), \\(x = \\frac{4}{3}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 1, gdy po wyciągnięciu czynnika \\((x-1)\\) pozostał trójmian \\(3x^2 - x - 4\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - różnica kwadratów:
\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2, gdy rozkładaliśmy \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W metodzie grupowania kluczowe jest zauważenie, że \\(-3x + 4 = -1 \\cdot (3x - 4)\\). Błąd: wyłączenie \\(+1\\) zamiast \\(-1\\), co da \\(+(3x-4)\\) - wtedy czynnik wspólny nie wychodzi.
\n
⚠️ Uwaga: Przy sprawdzaniu kandydatów na pierwiastki wymierne - nie zapomnij o ułamkach! Wiele uczniów sprawdza tylko liczby całkowite i nie znajduje \\(x = \\frac{4}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Równanie trzeciego stopnia ma (z uwzględnieniem krotności i liczb zespolonych) zawsze dokładnie 3 pierwiastki. Jeśli znalazłeś jeden i sprowadzasz do trójmianu - musisz go jeszcze rozwiązać, a nie przerywać w połowie!
\n

Odpowiedź: \\(x=\\dfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\) lub \\(x=1\\).

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania
\n

Grupujemy wyrazy:
\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = x^{2}(3x-4) - (3x-4) = (3x-4)(x^{2}-1).\\]
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}-1=(x-1)(x+1)\\):
\\[(3x-4)(x-1)(x+1) = 0.\\]
Stąd:
\\[3x-4=0 \\Rightarrow x = \\dfrac{4}{3}, \\quad x-1=0 \\Rightarrow x=1, \\quad x+1=0 \\Rightarrow x=-1.\\]

\n
Sposób 2 - Alternatywne grupowanie
\n

\\[3x(x^{2}-1) - 4(x^{2}-1) = (x^{2}-1)(3x-4) = (x-1)(x+1)(3x-4).\\]
Ta sama faktoryzacja, te same pierwiastki.

\n
Sposób 3 - Sprawdzenie twierdzeniem Bézouta
\n

Sprawdzamy \\(x=1\\): \\(3-4-3+4=0\\) ✓. Dzielimy \\(3x^{3}-4x^{2}-3x+4\\) przez \\((x-1)\\):
\\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4 = (x-1)(3x^{2}-x-4).\\]
Rozwiązujemy \\(3x^{2}-x-4=0\\): \\(\\Delta=1+48=49\\), \\(x=\\dfrac{1\\pm 7}{6}\\), czyli \\(x=\\tfrac{4}{3}\\) lub \\(x=-1\\).

\n
Zgodnie z CKE
\n

Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie równania w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, 2 pkt za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań.

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$0$

"}]}