{"id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2013-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2013,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że\n0,\n\n\n\nx\ny\nz\nprawdziwa\njest nierówność\n0\nxy\nyz\nzx\n\n\n\nMożesz skorzystać z tożsamości \n\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\ny\nz\nx\ny\nz\nxy\nxz\nyz\n\nPoziom podstawowy\n13\nUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x+y+z = 0, prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx =< 0. Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{11}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie czynnika wspólnego + jedynka trygonometryczna\n\n**Krok 1: Wyznacz sin α**\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{7}{16} = \\frac{9}{16}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\n**Krok 2: Uprość wyrażenie algebraicznie**\n\nZauważamy, że z dwóch ostatnich składników można wyłączyć \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[2 + \\sin^3\\alpha + \\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = 2 + \\sin\\alpha\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1}\\]\n\n**To jest kluczowy trik!** Nawiasie w środku to jedynka trygonometryczna - upraszcza się do 1.\n\n\\[= 2 + \\sin\\alpha \\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Podstaw wartość**\n\n\\[2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4} = \\boxed{\\frac{11}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (obliczanie każdego składnika)\n\nMamy: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\), \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)\n\nObliczamy każdy składnik z osobna:\n\n\\[\\sin^3\\alpha = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^3 = \\frac{27}{64}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{7}{16} = \\frac{21}{64}\\]\n\nSumujemy:\n\\[2 + \\frac{27}{64} + \\frac{21}{64} = 2 + \\frac{48}{64} = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{11}{4}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{11}{4}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z wartości \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) w nawiasie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie podstawiaj wartości od razu - **najpierw upraszczaj algebraicznie**. Wyłączenie \\(\\sin\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej to serce tego zadania. Kto liczy \"na piechotę\" od razu, straci czas i łatwo popełni błąd arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(\\alpha\\) jest **ostry**, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) - dlatego bierzemy pierwiastek dodatni: \\(\\sin\\alpha = +\\dfrac{3}{4}\\), nie \\(-\\dfrac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos^2\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^2 = \\dfrac{7}{16}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{16}\\). Potęgowanie pierwiastka usuwa znak pierwiastka!\n\n**Odpowiedź: \\(2\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{11}{4}\\).**\n\n### Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia\nWyciągamy wspólny czynnik \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[2 + \\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = 2 + \\sin\\alpha(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = 2 + \\sin\\alpha\\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha.\\]\nObliczamy \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{7}{16} = \\dfrac{9}{16}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]\nZatem:\n\\[2 + \\dfrac{3}{4} = 2\\dfrac{3}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Konstrukcja trójkąta prostokątnego (CKE II sposób)\nW trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \\(4\\) i przyprostokątnej przyległej do \\(\\alpha\\) równej \\(\\sqrt{7}\\):\n\\[a^{2} + (\\sqrt{7})^{2} = 4^{2} \\Rightarrow a^{2} = 9 \\Rightarrow a = 3.\\]\nZatem \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\). Dalej jak w Sposobie 1.\n\n### Sposób 3 - Weryfikacja\n\\(\\sin^{3}\\alpha = \\tfrac{27}{64}\\); \\(\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{7}{16}\\).\n\\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{7}{16} = \\tfrac{21}{64}\\).\nSuma: \\(2 + \\tfrac{27}{64} + \\tfrac{21}{64} = 2 + \\tfrac{48}{64} = 2 + \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{11}{4}\\) ✓.\n\n### Zgodnie z CKE\n1 pkt za zauważenie, że \\(\\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cos^{2}\\alpha = \\sin\\alpha\\), lub za obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\).\n2 pkt za podanie wyniku \\(2\\tfrac{3}{4}\\).\n\n### Gdzie uczniowie popełniają błędy\n- Nie zauważenie jedynki trygonometrycznej.\n- Pomylenie znaku przy \\(\\sin\\alpha\\) (pamiętaj: kąt ostry → dodatni sinus).\n- Błąd obliczeniowy \\(1 - \\tfrac{7}{16}\\).","image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2013 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że
0,



x
y
z
prawdziwa
jest nierówność
0
xy
yz
zx



Możesz skorzystać z tożsamości 

2
2
2
2
2
2
2








x
y
z
x
y
z
xy
xz
yz

\n

Poziom podstawowy
13
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x+y+z = 0, prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx =< 0. Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{11}{4}\\)

\n

Sposób 1 - Wyłączenie czynnika wspólnego + jedynka trygonometryczna

\n

Krok 1: Wyznacz sin α

\n

Z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{7}{16} = \\frac{9}{16}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)

\n

Krok 2: Uprość wyrażenie algebraicznie

\n

Zauważamy, że z dwóch ostatnich składników można wyłączyć \\(\\sin\\alpha\\):
\\[2 + \\sin^3\\alpha + \\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = 2 + \\sin\\alpha\\underbrace{(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}_{= 1}\\]

\n

To jest kluczowy trik! Nawiasie w środku to jedynka trygonometryczna - upraszcza się do 1.

\n

\\[= 2 + \\sin\\alpha \\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha\\]

\n

Krok 3: Podstaw wartość

\n

\\[2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4} = \\boxed{\\frac{11}{4}}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (obliczanie każdego składnika)

\n

Mamy: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\), \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\)

\n

Obliczamy każdy składnik z osobna:

\n

\\[\\sin^3\\alpha = \\left(\\frac{3}{4}\\right)^3 = \\frac{27}{64}\\]

\n

\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{7}{16} = \\frac{21}{64}\\]

\n

Sumujemy:
\\[2 + \\frac{27}{64} + \\frac{21}{64} = 2 + \\frac{48}{64} = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{11}{4}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\dfrac{11}{4}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej dwukrotnie: do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z wartości \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha\\) w nawiasie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie podstawiaj wartości od razu - najpierw upraszczaj algebraicznie. Wyłączenie \\(\\sin\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej to serce tego zadania. Kto liczy "na piechotę" od razu, straci czas i łatwo popełni błąd arytmetyczny.
\n
⚠️ Uwaga: Skoro \\(\\alpha\\) jest ostry, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) - dlatego bierzemy pierwiastek dodatni: \\(\\sin\\alpha = +\\dfrac{3}{4}\\), nie \\(-\\dfrac{3}{4}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos^2\\alpha = \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^2 = \\dfrac{7}{16}\\), nie \\(\\dfrac{\\sqrt{7}}{16}\\). Potęgowanie pierwiastka usuwa znak pierwiastka!
\n

Odpowiedź: \\(2\\dfrac{3}{4} = \\dfrac{11}{4}\\).

\n
Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia
\n

Wyciągamy wspólny czynnik \\(\\sin\\alpha\\):
\\[2 + \\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = 2 + \\sin\\alpha(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = 2 + \\sin\\alpha\\cdot 1 = 2 + \\sin\\alpha.\\]
Obliczamy \\(\\sin\\alpha\\):
\\[\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{\\sqrt{7}}{4}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{7}{16} = \\dfrac{9}{16}.\\]
Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:
\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}.\\]
Zatem:
\\[2 + \\dfrac{3}{4} = 2\\dfrac{3}{4}.\\]

\n
Sposób 2 - Konstrukcja trójkąta prostokątnego (CKE II sposób)
\n

W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \\(4\\) i przyprostokątnej przyległej do \\(\\alpha\\) równej \\(\\sqrt{7}\\):
\\[a^{2} + (\\sqrt{7})^{2} = 4^{2} \\Rightarrow a^{2} = 9 \\Rightarrow a = 3.\\]
Zatem \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{3}{4}\\). Dalej jak w Sposobie 1.

\n
Sposób 3 - Weryfikacja
\n

\\(\\sin^{3}\\alpha = \\tfrac{27}{64}\\); \\(\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{7}{16}\\).
\\(\\sin\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{7}{16} = \\tfrac{21}{64}\\).
Suma: \\(2 + \\tfrac{27}{64} + \\tfrac{21}{64} = 2 + \\tfrac{48}{64} = 2 + \\tfrac{3}{4} = \\tfrac{11}{4}\\) ✓.

\n
Zgodnie z CKE
\n

1 pkt za zauważenie, że \\(\\sin^{3}\\alpha + \\sin\\alpha\\cos^{2}\\alpha = \\sin\\alpha\\), lub za obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{3}{4}\\).
2 pkt za podanie wyniku \\(2\\tfrac{3}{4}\\).

\n
Gdzie uczniowie popełniają błędy
\n"}]}